专题 8.2（1） 特殊平行四边形——矩形（知识梳理+题型精析+中考真题）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.2（1） 特殊平行四边形——矩形（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】矩形定义 1 ★【题型 1】利用矩形的定义进行证明或求值 1 【知识点二】矩形的性质 3 ★【题型2】利用矩形的性质求值证明 4 ★★【题型3】利用矩形的性质求值证明 6 【知识点二】矩形的判定 10 ★【题型 4】矩形性质与判定理解 10 ★【题型 5】矩形的判定 12 【知识点三】平行线间的距离 15 ★【题型 6】求平行线间的距离 15 ★★【题型 7】平行线间的距离的应用 18 ★【题型 8】矩形的性质与判定综合 23 ★★【题型 9】矩形的性质与判定综合 27 二.中考真题 33 （一）单选题（6题） 33 （二）填空题（6题） 37 （三）解答题（4题） 42 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】矩形定义 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形也叫长方形. ★【题型 1】利用矩形的定义进行证明或求值 【例题1】（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在平行四边形中，点E是的中点，且，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据平行四边形性质，证明，结合全等三角形性质推出，即可证明四边形是矩形． 证明：四边形是平行四边形， ， ∴， 点E是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，，，，则当 时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角为90度的平行四边形是矩形，进行判断即可． 解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：45． 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当 时，四边形的面积最大，此时四边形是 形． 【答案】 90 矩 【分析】本题考查了矩形的判定，过作于点，再根据题意，当即可求解，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 解：如图，过作于点， 根据题意可得：的面积为， ∵不变， ∴当时，面积最大， ∴， ∴是矩形， 故答案为：90，矩． 【知识点二】矩形的性质 矩形的四个角都是直角，对角线相等. ★【题型2】利用矩形的性质求值证明 【例题2】（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形（点、、的对应点分别是点、、），使得点落在边上，的延长线与交于点，连接． (1)求证：平分； (2)试判断与的长度是否相等，并说明理由． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定， 对于（1），先根据等边对等角得，再根据矩形的性质得，此题可证； 对于（2），根据矩形的性质得，进而得，即可证明，则此题可证. （1）证明：根据旋转得， ∴. ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：将矩形旋转得到矩形， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式1】（24-25八年级下·贵州黔西·期末）如图所示，在矩形中，已知于，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的性质．根据矩形的性质求出，得出，然后利用勾股定理求解即可． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去） 故选A． 【变式2】（23-24九年级上·河南郑州·月考）如图，在矩形中，点在边上，点是的中点，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，，，而，所以，则，所以，则，于是得到问题的答案． 解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地求出的长是解题的关键． ★★【题型3】利用矩形的性质求值证明 【例题3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，对角线的中点为，点，在对角线上，，直线绕点逆时针旋转角，与边、分别相交于点、（点不与点、重合）． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由矩形的性质，根据“”可证，可得，结合，可证四边形是平行四边形； （2）连接，可证明垂直平分，可得，在中，由勾股定理可求的长． （1）证明：在矩形中，对角线的中点为， ， ， ，即， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，点在上，已知矩形的长为，宽为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，由全等图形的性质可证，即得到，，进而可得是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：∵矩形和矩形全等， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，则的长为______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质推出， ，进而推出，即可得证； （2）根据平行的性质及角平分线定义可证明，然后根据等腰三角形的判定推出，设，则， 在中，根据勾股定理列方程求解即可． （1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， 平分， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点O，点E，F分别在边，上，连接交对角线于点P．若，，则 ．   【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，根据等边对等角得到，利用平行线的性质求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【知识点二】矩形的判定 三个角是直角的四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. ★【题型 4】矩形性质与判定理解 【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 根据矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 解：A、有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），该选项说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 根据矩形的性质对每个选项进行逐一分析判断． 解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形中，只有当矩形为正方形时，对角线才会平分，即，故该选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，所以，故选项说法正确，符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以，只有当的内角中有一个角为，可得到是等边三角形，才能得到，故该选项错误，不符合题意； D、矩形是轴对称图形，但是所在直线不是矩形的对称轴，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江西抚州·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定定理；根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，而其他选项均不符合矩形的定义或性质. 解：A、四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C符合题意； D、对边相等是平行四边形的性质，平行四边形的对边都相等，所以对边相等不能作为判定平行四边形是矩形的条件，故D不符合题意. 故选：C. 【变式3】（25-26九年级上·山东青岛·月考）测量一个桌面是否为矩形，其中正确的是（    ） A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线是否相等 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定方法，根据矩形判定定理逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：、根据三个角是直角的四边形是矩形，可以判定为矩形，原选项符合题意； 、测量两组对边是否相等不可以判定为矩形，原选项不符合题意； 、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，不可以判定为矩形，原选项不符合题意； 、测量对角线是否相等不可以判定为矩形，原选项不符合题意； 故选：． ★【题型 5】矩形的判定 【例题5】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 【答案】(1)②或③ (2)选择②或③，证明见解析 【分析】（）根据矩形的判定定理选择条件即可； （）先证明四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理即可求证； 本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）解：选择的补充条件是②或③， 故答案为：②或③； （2）解：选择②，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； 选择③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 【变式1】（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，在中，点，，分别在，，上，且，，若，四边形是 ．（填写一种特殊的平行四边形） 【答案】矩形 【分析】本题考查了平行四边形的定义，矩形的判定，分别根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理进行判断即可． 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形． 【变式2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且，，则的度数是 °． 【答案】50 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和矩形的判定，首先根据题意平行四边形是矩形，进而求出的度数． 解：∵平行四边形对角线相交于点O，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴． 故答案为：50． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质是解题的关键． 由，可得四边形是平行四边形，由四边形是菱形，可得，则，从而四边形是矩形，根据矩形对角线相等，则有． 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 【知识点三】平行线间的距离 平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离. 平行线间距离性质：两条平行线之间的距离处处相等. ★【题型 6】求平行线间的距离 【例题6】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，直线点在直线m上，点C在直线n上，且，．求： (1)直线m与直线n的距离； (2)点A到的距离； (3)点D到的距离． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，点到直线的距离： （1）根据平行线间的距离解答，即可； （2）根据点到直线的距离解答，即可； （3）设点D到的距离为h，根据，解答即可． （1）解∶∵，， ∴直线m与直线n的距离为； （2）解∶ ∵，， ∴点A到的距离为； （3）解∶设点D到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即点D到的距离为． 【变式1】（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·湖北黄石·月考）如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，两条平行线之间的距离等，熟练掌握相关知识点，作出适当的辅助线是解题的关键； 过点P作的垂线，交于点M，交于点N，先说明与之间的距离等于线段的长，再利用角平分线的性质定理求出的长． 解：如图，过点P作的垂线，交于点M，交于点N， 则，， ， ， ， 与之间的距离等于线段的长， ，，平分， ， 同理可得，， ， 与之间的距离等于． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，菱形的对角线与相交于点，点为中点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长为40，平行线与间的距离为6，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，掌握菱形的性质是解题的关键． （1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，即可得证； （2）根据菱形的周长为40求出，由平行线与间的距离为6求出，然后根据矩形面积公式求解即可． （1）证明：点为中点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：∵若菱形的周长为40， ∴， 又∵平行线与间的距离为6，且， ∴， ∴， ∴． ★★【题型 7】平行线间的距离的应用 【例题7】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【答案】(1) (2)木木的方法正确，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间线段最短，平移的性质； （1）根据平行线间的线段相等，进而得出答案； （2）分别用两种方法求处于从到的路程，进行比较即可； （3）作图，，可以看作平移的结果，则，若设另在处架桥，同理可得，则＞，所以在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． （1）解：∵桥与河岸垂直， 根据平行线间的线段相等，则 （2）木木的方法正确，理由如下：            由平移性质知， 亮亮的方法，从到的路程为 木木的方法，从到的路程为     ， ， 木木的方法正确． （3）如图b．①作交于，．②把 平移至，连结 ，交于． ③作于 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                             理由：由作图，，可以看做 平移的结果， ， 若设另在 处架桥，同理可得，则， 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                          【变式1】（23-24八年级上·山东德州·期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下；如图，，相邻两平行线间的距离相等．，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度． 【答案】标语的长度为16米 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得成为解题的关键． 由平行线的性质可得，利用定理可得，然后根据全等三角形的性质即可解答． 解：∵， ∴， ， ， ，即， ∵相邻两平行线间的距离相等， ， 在与中， ， ∴， 米． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为．已知两船均于出发，两岸平行，水面宽为，求两船距离最近时的时刻． 【答案】 【分析】此题考查一元一次方程的应用，根据题意过点分别作南岸，北岸的垂线，垂足分别为，得到两船距离最近时，由此列方程解答． 解：如图，过点分别作南岸，北岸的垂线，垂足分别为． 设出发后，甲船运动到点，乙船运动到点时，两船距离最近， 即时，两船距离最近． 根据题意，得， 解得． ． 故两船距离最近时的时刻为． 【变式3】（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，，直线交轴于，过点A作交轴于点D． (1)求直线和直线的关系式； (2)点M在直线上，且与的面积相等，求点M的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为：；直线的解析式为： (2)或 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、平行线间的距离处处相等等知识点，掌握待定系数法是解题关键． （1）设直线的解析式为：，将两点代入即可求解；设直线的解析式为：，将点代入即可求解； （2）求出直线的解析式，过点作的平行线，则点M是直线与直线的交点，据此即可求解； （1）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵ ∴设直线的解析式为：， 则, 解得： ∴直线的解析式为：， （2）解：如图所示：过点作的平行线， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 则直线的解析式为：， ∵点M在直线上，且与的面积相等， ∴点M是直线与直线的交点 则， 解得： ∴ 点关于点的对称点为： 综上所述：点M的坐标为或 ★【题型 8】矩形的性质与判定综合 【例题6】（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）由，可得四边形是平行四边形，再由即可得四边形是矩形； （2）由题意求得，由矩形的性质得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解． （1）证明：，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2）解：，， ． 又矩形中，， ∴是等边三角形， ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折．点落在点位置，交轴于点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 过点D作轴于点M，作轴于点N，则四边形是矩形，再证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可． 解：如图，过点D作轴于点M，作轴于点N， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴点E的坐标为． 故选：B 【变式2】（25-26九年级上·山东枣庄·月考）如图，点在正方形的对角线上，于点，于点，连接，若，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，连接，先证明得到，再证明四边形是矩形即可求证． 解：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河南信阳·期末）舞狮文化源远流长，独山花灯表演里的“迎龙舞狮”（如图①）是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，是优秀的中国传统文化，舞狮的台桩可以抽象为数学几何图形（如图②），和垂直于水平线，且点B，D，F在同一水平线上，，，． (1)求的度数； (2)若，求台柱与的高度差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质，关键是由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由勾股定理求出的长． （1）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，即可得到答案； （2）过C作于H，判定四边形是矩形，推出，由勾股定理求出，即可得到答案． （1）解：，，， ， ； （2）解：过C作于H，如图所示： ，， ， 四边形是矩形， ， ， 台柱与的高度差是． ★★【题型 9】矩形的性质与判定综合 【例题9】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）先求得，推出四边形是平行四边形，利用有一个是直角的平行四边形是矩形即可判断结论成立； （2）先证明四边形是平行四边形，利用直角三角形斜边中线的性质及角直角三角形的性质证明，推出，再证明，求得，据此求解即可． （1）证明：，点是的中点， ，， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：如图，连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ∴， ，， 四边形是矩形， ， ， 点为的中点，， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 【变式2】（23-24八年级上·江苏扬州·月考）已知如图所示，，，于P，，则四边形的面积 ．    【答案】9 【分析】过点D作交的延长线于E，得到矩形，根据矩形的性质可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而求出四边形是正方形，再求出四边形的面积等于正方形的面积，然后求解即可． 解：如图，过点D作交的延长线于E，    ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积=正方形的面积． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由矩形性质可知，，因为，可证，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明； （2）过点作，垂足为，则，可证四边形是矩形，则，，再利用勾股定理即可求出长． （1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作，垂足为， ，， ， ， 四边形是矩形，， ， 四边形是矩形， ，， ， ∵， ． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·贵州·中考真题）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果． 解：∵， ∴， ∴； 故选B． 3．（2025·四川德阳·中考真题）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形等 ）是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项，判断哪个条件能使平行四边形成为矩形． 解：选项A：∵ 平行四边形本身就有的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项B：∵ ，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项C：∵ 平行四边形本身就有的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项D：∵ 矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形中， ∴ 平行四边形是矩形，该选项正确． 故选：D ． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 5．（2025·黑龙江绥化·中考真题）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为，则这个矩形的面积是（    ） A．25 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确画出图形并灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：根据矩形的对角线互相平分且相等求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据矩形的面积公式求解即可． 解：如图，∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴矩形的面积． 故选：B． 6．（2025·山东德州·中考真题）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和面积公式，平行四边形的性质和面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据题意可得D点的纵坐标是C点纵坐标的一半，，过D点作轴，交轴于点，用勾股定理求出长即可． 解：过D点作轴，交轴于点，如图： 与矩形周长相等，， ， 的面积是矩形面积的一半，， ， 由勾股定理得：， 点D的坐标为． 故选：A． （二）填空题（6题） 7．（2025·湖北·中考真题）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】该题考查了列代数式，根据矩形的性质求面积，根据矩形的面积是长宽即可解答． 解：根据题意可得矩形的面积是， 故答案为：． 8．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，先证明，，，再进一步利用勾股定理计算即可． 解：∵矩形，，， ∴，，， ∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点， ，． ∴， 同理可得：， ∴四边形的周长为； 故答案为： 9．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知、运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 10．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点M处．若A、、三点共线，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，根据矩形的性质及平行线的性质得到，再根据等角对等边推出，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， 由翻折得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为． 11．（2025·四川·中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断是等边三角形是解题的关键． 根据矩形的对角线互相平分且相等，可知，然后由可得为等边三角形，然后可求得，进而即可求解 ∵四边形为矩形， ∴，且， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ 故答案为： 12．（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ． （2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格，矩形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离等，掌握相关知识点是解题关键． （1）由勾股定理可得，根据矩形的对角线互相平分找出的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，由垂线段最短可知此时最短； （2）作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得当、、三点共线时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 解：（1）如图，点即为所求作， 故答案为： （2）如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， 过点作，由方格和为的中点知，，， ， 故答案为：． （三）解答题（4题） 13．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质： （1） 结合矩形的性质，根据“边角边”证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得，结合，可得． （1）证明：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 又， ， ． 14．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）以为圆心，为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，即为所求； （2）折叠的性质，得到，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． （1）解：如图，即为所求； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵由折叠可得， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 15．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，可得，结合可得结论； （2）由，点是边上的中点，可得即，结合由（1）得四边形是平行四边形，从而可得结论. （1）证明：∵点为的中点 ∴， ∵ ∴，， 在和中 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）证明：当时，四边形是矩形， 理由如下： ∵ ，点是边上的中点， ∴ 即， ∵ 由（1）得四边形是平行四边形， ∴ 四边形是矩形. 16．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 【答案】(1) (2)①四边形是矩形，理由见解析；② 【分析】（1）由是等腰三角形，，，分别讨论：当时和当时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可； （2）①利用，，得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；②过点作于点，利用，得出是直角三角形，且，证明，得出，，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解． （1）解：∵是等腰三角形，，， ∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意； 当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，， 故答案为：； （2）解：①四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ②过点作于点， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.2（1） 特殊平行四边形——矩形（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】矩形定义 1 ★【题型 1】利用矩形的定义进行证明或求值 2 【知识点二】矩形的性质 2 ★【题型2】利用矩形的性质求值证明 2 ★★【题型3】利用矩形的性质求值证明 3 【知识点二】矩形的判定 4 ★【题型 4】矩形性质与判定理解 4 ★【题型 5】矩形的判定 5 【知识点三】平行线间的距离 6 ★【题型 6】求平行线间的距离 6 ★★【题型 7】平行线间的距离的应用 7 ★【题型 8】矩形的性质与判定综合 9 ★★【题型 9】矩形的性质与判定综合 10 二.中考真题 11 （一）单选题（6题） 11 （二）填空题（6题） 12 （三）解答题（4题） 14 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】矩形定义 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形也叫长方形. ★【题型 1】利用矩形的定义进行证明或求值 【例题1】（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在平行四边形中，点E是的中点，且，求证：四边形是矩形． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，，，，则当 时，四边形是矩形． 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当 时，四边形的面积最大，此时四边形是 形． 【知识点二】矩形的性质 矩形的四个角都是直角，对角线相等. ★【题型2】利用矩形的性质求值证明 【例题2】（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形（点、、的对应点分别是点、、），使得点落在边上，的延长线与交于点，连接． (1)求证：平分； (2)试判断与的长度是否相等，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·贵州黔西·期末）如图所示，在矩形中，已知于，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·河南郑州·月考）如图，在矩形中，点在边上，点是的中点，，，则的长为 ．    ★★【题型3】利用矩形的性质求值证明 【例题3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，对角线的中点为，点，在对角线上，，直线绕点逆时针旋转角，与边、分别相交于点、（点不与点、重合）． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，点在上，已知矩形的长为，宽为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，则的长为______． 【变式3】（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点O，点E，F分别在边，上，连接交对角线于点P．若，，则 ．   【知识点二】矩形的判定 三个角是直角的四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. ★【题型 4】矩形性质与判定理解 【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 【变式2】（25-26九年级上·江西抚州·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形 【变式3】（25-26九年级上·山东青岛·月考）测量一个桌面是否为矩形，其中正确的是（    ） A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线是否相等 ★【题型 5】矩形的判定 【例题5】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 【变式1】（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，在中，点，，分别在，，上，且，，若，四边形是 ．（填写一种特殊的平行四边形） 【变式2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且，，则的度数是 °． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 【知识点三】平行线间的距离 平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离. 平行线间距离性质：两条平行线之间的距离处处相等. ★【题型 6】求平行线间的距离 【例题6】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，直线点在直线m上，点C在直线n上，且，．求： (1)直线m与直线n的距离； (2)点A到的距离； (3)点D到的距离． 【变式1】（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【变式2】（25-26八年级上·湖北黄石·月考）如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是 ． 【变式3】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，菱形的对角线与相交于点，点为中点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长为40，平行线与间的距离为6，求四边形的面积． ★★【题型 7】平行线间的距离的应用 【例题7】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·山东德州·期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下；如图，，相邻两平行线间的距离相等．，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为．已知两船均于出发，两岸平行，水面宽为，求两船距离最近时的时刻． 【变式3】（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，，直线交轴于，过点A作交轴于点D． (1)求直线和直线的关系式； (2)点M在直线上，且与的面积相等，求点M的坐标． ★【题型 8】矩形的性质与判定综合 【例题6】（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折．点落在点位置，交轴于点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东枣庄·月考）如图，点在正方形的对角线上，于点，于点，连接，若，则的长为 【变式3】（24-25八年级下·河南信阳·期末）舞狮文化源远流长，独山花灯表演里的“迎龙舞狮”（如图①）是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，是优秀的中国传统文化，舞狮的台桩可以抽象为数学几何图形（如图②），和垂直于水平线，且点B，D，F在同一水平线上，，，． (1)求的度数； (2)若，求台柱与的高度差． ★★【题型 9】矩形的性质与判定综合 【例题9】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【变式2】（23-24八年级上·江苏扬州·月考）已知如图所示，，，于P，，则四边形的面积 ．    【变式3】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州·中考真题）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·四川德阳·中考真题）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江绥化·中考真题）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为，则这个矩形的面积是（    ） A．25 B． C． D． 6．（2025·山东德州·中考真题）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2025·湖北·中考真题）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ． 8．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为 ． 9．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 10．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点M处．若A、、三点共线，则的值为 ． 11．（2025·四川·中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为 ． 12．（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ． （2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ． （三）解答题（4题） 13．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： (1)； (2)． 14．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 15．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 16．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $