公因数和最大公因数（教学设计）-2025-2026学年数学五年级下册苏教版

该小学数学教学设计聚焦公因数和最大公因数概念，通过“花园铺路沿”情境导入，先复习因数概念，再用18cm×12cm长方形铺砖实验（6cm和4cm正方形）引出公有因数，搭建从旧知到新知的学习支架。 特色在于情境生活化与探究动手化，通过铺砖实验、列举法等培养数学思维（推理能力、有序思考），结合分糖、铺砖等生活应用发展数学眼光和应用意识，助力学生理解概念，为教师提供可操作的情境与方法。

公因数和最大公因数 教学设计 教学内容： （1）本节课的主要教学内容是理解公因数和最大公因数的概念，掌握用列举法求 100 以内两个数的公因数及最大公因数，并能运用所学知识解决实际问题。学生需要通过具体情境（如铺地砖）发现 “公有因数” 的必要性，进而抽象出 “公因数” 概念，再通过列举、集合图等方法明确最大公因数的求法。 （2）本节课主要介绍了三个核心知识点：一是回顾因数的概念，为理解 “公有因数” 做铺垫；二是通过实际问题（如边长为 6cm 或 4cm 的正方形铺长方形）引出 “公因数” 的定义，即两个数公有的因数；三是明确 “最大公因数” 的定义，即公因数中最大的一个，并掌握用列举法和集合图表示公因数与最大公因数的方法。 （3）通过学习本节课，学生能够：①熟练运用列举法找出 100 以内两个数的公因数和最大公因数；②理解 “公因数” 在实际问题中的意义（如铺地砖时避免裁砖）；③在探究过程中发展观察、分析和归纳能力，体会数学与生活的联系，提升解决实际问题的能力。 教学目标： （1）数学眼光：通过观察铺方砖等生活情境，能用数学的眼光发现正方形边长需同时是长方形长和宽的因数这一特征，理解公因数和最大公因数的实际意义。 （2）数学思维：在探究公因数和最大公因数的过程中，经历分析、归纳等数学活动，发展初步的逻辑推理能力，掌握用列举法求 100 以内两个数的公因数和最大公因数的方法，培养有序思考的数学思维。 （3）数学语言：能用数学语言清晰表达求公因数和最大公因数的过程（如列举法的步骤）与结果，结合具体问题（如铺方砖、分小组）用数学语言解释最大公因数的实际应用，提升数学表达与应用能力。 教学重难点： （1）结合铺地砖等实际情境，理解公因数和最大公因数的意义，能用列举法求 100 以内两个数的公因数和最大公因数（知识与方法：掌握概念及基本求法；素养导向：在真实情境中应用数学知识）。 （2）从具体情境（如铺地砖）中抽象出 “同时是两个数的因数” 这一核心条件，理解公因数的本质；在列举法中不重复、不遗漏地找出所有公因数，发展观察、分析、归纳的推理能力（学生难点：抽象概念的理解；素养发展：通过操作与推理提升数学思维）。 教学方法： 情境教学法、小组讨论法、观察分析法、列举法、练习法、归纳推理法、图示法、复习导入法 教学过程： 一、巧设情境 — 引 “探究” 师：同学们，咱们学校操场边要建一个长 12 米、宽 8 米的小花园（课件展示花园平面图，标注尺寸），想用正方形石板铺路沿，现在有三种规格：30cm×30cm、40cm×40cm、50cm×50cm。（停顿，观察学生反应）大家先思考：哪种石板不用裁剪就能铺满花园的边？ （生 1 举手） 生 1：我觉得要看石板边长能不能同时整除 12 米和 8 米，不然会有剩余。 师：非常好！（板书单位换算：12 米 = 1200 厘米，8 米 = 800 厘米）也就是说，石板边长必须是 1200 和 800 的公因数。但直接找大数的因数有点麻烦，我们先从简单的图形铺砖开始，理解 “能铺满的边长” 需要满足什么条件，再用这个规律解决实际问题。 【设计意图】：通过 “花园铺路沿” 的生活化情境替代 “客厅铺地砖”，既保持探究逻辑，又避免重复；用提问 “边长能不能同时整除” 引导学生初步感知 “公因数” 的核心，为后续学习铺垫。 二、知识链接 — 构 “联系” 师：在解决问题前，我们先来复习 “因数” 的概念。（课件出示任务：用两种方法找 24 的因数）谁能说说 24 的因数有哪些？可以用 “列举法” 或 “短除法”。 （学生分组讨论，约 2 分钟后） 生 2：用列举法，24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24。 师：（板书：1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24）按顺序写就不容易遗漏。那如果用分解质因数呢？（生 3 用短除法演示：24÷2=12，12÷2=6，6÷2=3，3÷3=1，所以 24=2×2×2×3） 师：（指向分解式）这些数的质因数组合能生成所有因数，比如 18=2×3×3，它的因数就是 1、2、3、6、9、18。现在我们要学的 “公因数”，就是两个数共有的因数，而 “最大公因数” 就是其中最大的那个。（板书：公因数 = 共有因数，最大公因数 = 公因数中最大的） 【设计意图】：通过 “找 24 的因数” 复习旧知，用 “分解质因数” 为新知 “公因数” 做铺垫，用 “共有因数” 替代生硬定义，降低理解难度。 三、新知探究 — 习 “方法” （1）任务 01：理解和认识公因数 1. 动手铺砖实验：找 “能铺满的边长” 师：（课件出示长方形卡片：长 18cm，宽 12cm）请各小组用边长为 6cm 和 4cm 的正方形纸片铺这个长方形（每组发纸片和直尺），注意记录铺的块数和剩余情况。 （学生分组操作，教师巡视指导：有的小组用画图法，有的用除法计算，有的用小棒模拟） （5 分钟后） 生 4：我们用 6cm 的纸片铺，18÷6=3（行），12÷6=2（列），3×2=6 块，没有剩余！ 生 5：我们试了 4cm 的纸片，18÷4=4 块余 2cm，12÷4=3 块，最后剩下 2cm，铺不了！ 师：为什么 6cm 能铺，4cm 不能？（指向算式） 生 6：因为 6 是 18 和 12 的因数，4 只是 18 或 12 的因数，不是另一个的因数！ 师：那还有哪些边长能铺满？（生讨论后） 生 7：1cm、2cm、3cm、6cm 都能铺！因为 18÷1=18，12÷1=12；18÷2=9，12÷2=6；18÷3=6，12÷3=4，都没有余数！ 2. 归纳公因数概念 师：请大家把 12 和 18 的所有因数列出来，看看哪些是共有的？（学生在练习纸上完成） （生 8 汇报） 生 8：12 的因数：1、2、3、4、6、12；18 的因数：1、2、3、6、9、18。 师：共同的因数有哪些？（生齐答：1、2、3、6！） 师：（板书：12 和 18 的公因数：1、2、3、6；最大公因数：6）这些数既是 12 的因数，又是 18 的因数，我们把它们叫做公因数，其中最大的 6 就是最大公因数。 【设计意图】：通过 “铺 18×12 长方形” 的动手实验，让学生在操作中发现 “能铺满的边长是长和宽的公因数”，用不同边长引导学生思考 “最小到最大” 的公因数，自然归纳概念，避免抽象定义。 （2）任务 02：探究求公因数和最大公因数的方法 1. 方法一：列举法 师：用 8 和 12 举例，怎么找它们的公因数？（生 9 独立尝试） 生 9：8 的因数：1、2、4、8；12 的因数：1、2、3、4、6、12；共同的是 1、2、4，最大是 4！ 师：（板书步骤）按顺序列举两个数的因数，再找重叠部分，就是公因数。 2. 方法二：筛选法 师：能不能更快找到？比如从 8 的因数里找 12 的因数？（生 10 尝试） 生 10：8 的因数是 1、2、4、8，其中 12÷1=12，12÷2=6，12÷4=3，所以 1、2、4 也是 12 的因数！ 师：（板书）这种从一个数的因数中筛选出另一个数的因数的方法，叫筛选法，更快捷！ 3. 方法三：集合图法 师：我们可以用两个重叠的圈表示 8 和 12 的因数（课件展示集合图），左边圈填 8 的因数，右边圈填 12 的因数，重叠部分就是公因数。（学生分组完成填空，教师巡视） （生 11 上台展示） 生 11：8 的因数：1、2、4、8；12 的因数：1、2、3、4、6、12；重叠部分：1、2、4。 师：（指向集合图）从图中能直观看到，重叠区域的数就是共同的，最大的 4 就是最大公因数。 【设计意图】：通过 8 和 12 的实例，用 “列举→筛选→集合图” 的梯度方法，让学生掌握不同求公因数的策略，结合动手画图加深对 “重叠区域” 的理解。 四、达标练习 — 活 “应用” （1）基础训练 1. 填一填 ① 15 和 20 的公因数有（ ），最大公因数是（ ）。 ② 30 和 45 的最大公因数是（ ）。 （生 12 独立完成后，同桌互查） 生 12：①15 的因数 1、3、5、15；20 的因数 1、2、4、5、10、20；公因数 1、5，最大 5；②30 的因数 1、2、3、5、6、10、15、30；45 的因数 1、3、5、9、15、45；最大公因数 15。 （2）生活应用 1. 分糖问题 （课件出示）妈妈买了 48 颗糖和 36 颗巧克力，要分给小朋友，每人分到的糖和巧克力数量相同，最多能分给几个小朋友？ （生 13 思考后） 生 13：求 48 和 36 的最大公因数！48 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36；最大公因数是 12！ 师：所以最多分给 12 个小朋友，每人 48÷12=4 颗糖，36÷12=3 颗巧克力。 2. 教室铺砖问题 师：回到导入的 “1200×800cm 花园”，用三种规格石板（30cm、40cm、50cm）选哪种？先算 1200 和 800 的最大公因数！（生 14 用列举法计算） 生 14：1200 的因数有 1、2、3、4、5、…、1200；800 的因数有 1、2、4、5、…、800；最大公因数是 400！ 师：400cm 不在选项中，那哪个规格最接近且能整除？（生讨论后） 生 15：40cm 是 400 的因数，1200÷40=30，800÷40=20，正好铺满！所以选 40cm×40cm 的石板！ 【设计意图】：通过 “分糖”“铺教室” 等生活化问题，让学生在不同场景中巩固公因数，区分 “最大公因数” 与 “实际规格选择”，培养应用意识。 五、课堂小结 — 拓 “延伸” 1. 知识梳理 师：今天我们学了什么？（生齐答：公因数和最大公因数） 师：如何求两个数的最大公因数？（生 16：列举法、筛选法、集合图法） 师：用自己的话说说，为什么铺地砖时边长要选公因数？（生 17：因为这样没有剩余，不用裁剪！） 2. 拓展思考 师：如果把一张长 24cm、宽 18cm 的长方形纸剪成同样大小的正方形，没有剩余，正方形边长最大是多少？（生 18：最大公因数18 和 24 的最大公因数 6！） 【设计意图】：通过开放性问题（剪正方形）和总结，让学生灵活运用知识，感受 “公因数” 在生活中的多场景应用，提升思维深度。 课后作业： （1）用列举法分别找出下面每组数的公因数和最大公因数：①12 和 18；②15 和 25。（要求：先分别列出两个数的所有因数，再找出公有的因数，标最大的那个。） （2）一张长方形纸板长 30 厘米、宽 24 厘米，要把它分成同样大小的小正方形（边长为整厘米数，且无剩余），小正方形的边长最大是多少厘米？至少可以分成多少个这样的小正方形？ 学科网（北京）股份有限公司 $