第3卷 函数的定义域·单调性·奇偶性·周期性·对称性四川省（对口招生）《数学真题同源卷》（教师讲解卷）（原卷版+解析版）

编写说明：2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》 第3卷 函数定义域·单调性·奇偶性·周期性·对称性 （教师讲解卷） 【概念回顾】 （一）函数的概念及其表示 1.函数的定义域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域　；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域　. (2)如果两个函数的定义域相同，并且 对应关系　完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．求定义域的步骤 (1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)； (3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 3．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R. (2)分式函数中分母 不等于0　. (3)偶次根式函数被开方式 大于或等于0　. (4)一次函数、二次函数的定义域均为 R　. (5)函数f(x)＝x0的定义域为 {x|x≠0}　. (6)指数函数的定义域为 R　. (7)对数函数的定义域为 (0，＋∞)　. 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法　、图象法和列表法． （二）函数的单调性 1. 单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增　 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递减　 图象 描述 自左向右看图象是 上升的　 自左向右看图象是 下降的　 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性　，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间　． （三）函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)是偶函数 都有 f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于 y轴　对称 关于 原点　对称 1.函数的奇偶性性质 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内 (1)y＝f(x)±g(x)为奇函数； (2)y＝f(x)g(x)与y＝为偶函数； 同理若y＝f(x)与y＝g(x)在公共定义域内均为偶函数，则y＝f(x)±g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝，y＝f[g(x)]，y＝g[f(x)]均为偶函数． 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数，则在公共定义域内y＝f(x)g(x)与y＝均为奇函数。（四）函数的周期性 1. 周期函数的定义 对于函数 ，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期． 2. 最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在最小的正数，那么这个最小正数就叫作的最小正周期． 3. 周期函数的常见形式： ①，周期； ②，周期； ③，周期； ④ ，周期； ⑤，周期. （五）对称性 已知点，则其： (1) 关于轴对称的点：； (2)关于轴对称的点：； (3)关于原点对称的点：； (4)关于直线对称的点：； (5)关于直线对称的点：； (6)关于点对称的点：. 【真题精讲】 考点01 函数的定义域 1. （2025年对口招生） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意，结合根式、对数式有意义需满足的条件，即可列式求解. 【解析】因为函数，所以，解得， 即函数的定义域为.故选：C. 2. （2024年对口招生）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据指数函数定义域为与对数函数真数大于零可求定义域. 【解析】函数有意义， 则，，即，则函数的定义域是； 故选：C. 3. （2023年对口招生）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； 【解析】要使得函数有意义， 必须满足，∴，∴函数的定义域是. ∴选B. 考点02 函数的函数值 1. （2025年对口招生） 已知函数，则的最大值为__________. 【答案】； 【分析】画出和的图像，由此得到的最大值. 【解析】设，画出和的图像， 由图可知，当时，取得最大值，故答案为：. 考点03函数的单调性 1.（2021年职教师资和高职班对口考试）设函数 (I)判断函数的单调性，并说明理由； （II）证明：对于任意不小于5的正整数n，都有 【答案】(I) ，解得，又，得， 则，设，则由是增函数，知， 则， 则，故函数在上单调递增. （II）. 下面证明：当时，， 由二项式定理可知， 考点04 函数的奇偶性 1.（2024年对口招生） 已知函数是偶函数，其中，则__________. 【答案】2 【分析】利用对数函数的定义域结合函数奇偶性求出即可. 【解析】函数是偶函数，则，， 则，或，； 当时，，此时定义域不关于原点对称，不符合偶函数， 若，则，则有或，无解，不符合题意； 若，则，则或， 因偶函数定义域关于原点对称，则，则； 则解析式为 则，即， 即，则，即，解得； 则； 故答案为：2. 2. （2023年对口招生）设定义在上的函数是奇函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由奇函数的定义域中包含0，所以由奇函数性质得出值，进而得出解析式,进而由得出关于p的不等式，解之即可得实数的取值范围。 【解析】∵定义在上的函数是奇函数， ∴， ∴，∴，∴，分离常数得， ∵，∴，∴，∴，∴，∴实数的取值范围是. ∴选D. 考点05 函数的周期性 2. （2024年对口招生）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据可知的周期为，再根据解析式分别求出的值，再根据周期函数的性质求值即可. 【解析】已知定义在上的函数满足， 所以的周期为，且当时，， 当时，，所以， ， ， ， ， ， ， 所以， 因为，所以 . 故选：D. 考点06 函数的对称性 5.（2021年职教师资和高职班对口考试）定义在R上的函数满足， 若函数与函数 的图象的交点的坐标是则 . 【答案】60； 【分析】由题意得，函数满足，即函数图像关于（0,2）对称；函数的图像也关于（0,2）对称；因此，两个函数的交点成对关于（0,2）对称。设交点为，则4，两个函数一共有15对交点，总和为60. 考点07 函数的奇偶周期性质与数列结合 1. （2025年对口招生）已知定义在上的函数满足对任意的，都有，. （1）判断函数的奇偶性； （2）若数列，求数列的前项和. 【答案】（1）函数为偶函数 ； （2） 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可. （2）运用函数方程推导数列的递推关系，发现周期性进而分组求和即可. 【解析】（1）已知函数的定义域为，关于原点对称， 当时，， 即，解得或， 若，设，此时，不满足题意，所以， 当时，得， 即，整理得，所以函数为偶函数. （2）已知数列，当时，， 因为，所以， 即数列，且， 当时，则， ，解得，即， 由，得， 由，得， 由，得， 数列的周期为，每项的和为，前项中有个周期余两项， 所以. 【举一反三】 1.（2021年职教师资和高职班对口考试）函数的定义域是（ ） A.[1,+∞） B.(1,+∞) C.[3,+∞) D.(3,+∞) 【答案】A 【分析】根据题意，结合根式有意义需满足的条件，即可列式求解. 【解析】因为函数，所以x-1≥0，解得x≥1，故选A. 2．已知的定义域为，的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可求出函数的定义域. 【解析】的定义域为；；； 的定义域为；；； 的定义域为． 故选：D. 3．已知函数的定义域为R，任取，当时，有，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据减函数的概念列不等式，再由一元二次 不等式的解法求解即可. 【解析】由当时，有， 则由， 可得， 即，则， 解得，即实数a的取值范围是， 故选：A. 4．已知函数为上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义及性质，分析求解即可. 【解析】因为函数为上的偶函数，当时，， 所以，在单调递增函数，在单调递减函数， 所以不等式等价为或， 解得：或，即不等式的解集为. 故选：D. 5．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则等于（    ） A． B．0 C．2 D．50 【答案】C 【分析】根据条件可得，函数是周期为4的周期函数，图象关于直线对称，由此求解即可. 【解析】∵是定义域为的奇函数， ∴，即. ∵，∴，∴， ∴， ∴函数是周期为4的周期函数. 由为奇函数且定义域为R，得， 又∵， ∴的图象关于直线对称， ∴， 又，∴， ∴， ∴ . 故选：C. 【拓展提升】 1． 选择题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根底数为非负，且分母不为零，即可解得. 【解析】要使函数有意义，则， 即，所以函数的定义域为. 故选：B 2．下列函数是定义域上的奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及三角函数的诱导公式分析判断即可. 【解析】对于选项A：定义域为，关于原点对称， 且，满足奇函数的定义，故A正确； 对于选项B：定义域为，关于原点对称， 且，为偶函数，故B错误； 对于选项C：定义域为，关于原点对称，且 ，为偶函数，故C错误； 对于选项D：定义域为，关于原点对称，且 ，为偶函数，故D错误， 故选：A. 二．填空题 3．函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【分析】由已知得在上恒成立，利用一元二次不等式恒成立的解法求解. 【解析】由已知得在上恒成立， 当时，不等式化为，在上恒成立； 当时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 4．已知函数，若，则 . 【答案】1 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，即可求解. 【解析】因为函数， 令，定义域为R，关于原点对称， 又， 所以， 所以函数是奇函数， 所以， 又，即，解得， 所以. 故答案为：1. 5．已知函数满足，且函数关于中心对称，，则 . 【答案】5 【分析】根据函数的周期性，奇偶性即可求解. 【解析】由可知的对称轴为直线关于中心对称， 故关于原点对称即为奇函数，所以，， 则，得， 所以，所以周期为， 则. 故答案为：. 三．解答题 6．已知是定义在上的函数． (1)判断函数的奇偶性和单调性，并说明理由； (2)若，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义和单调性的定义，判断并证明即可. （2）根据函数的单调性列不等式求解即可. 【解析】（1）因为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数， 设为上任意两个不相等的实数，且， 则， 因为， 所以，，， 所以，即， 则函数在上为单调递增函数. （2）不等式，即, 因为为奇函数，所以， 因为函数是定义在的增函数， 所以，即， 解得：，所以的取值范围为. 7.已知定义在上的函数满足对任意的，都有，. (1)判断函数的奇偶性； (2)若数列，求数列的前项和. 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可. （2）运用函数方程推导数列的递推关系，发现周期性进而分组求和即可. 【解析】（1）已知函数的定义域为，关于原点对称， 当时，， 即，解得或， 若，设，此时，不满足题意， 所以， 当时，得， 即，整理得， 所以函数为偶函数. （2）已知数列， 当时，， 因为，所以， 即数列，且， 当时，则， ，解得，即， 由，得， 由，得， 由，得， 数列的周期为，每项的和为， 前项中有个周期余两项， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》 第3卷 函数定义域·单调性·奇偶性·周期性·对称性 （教师讲解卷） 【概念回顾】 （一）函数的概念及其表示 1.函数的定义域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域　；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域　. (2)如果两个函数的定义域相同，并且 对应关系　完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．求定义域的步骤 (1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)； (3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 3．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R. (2)分式函数中分母 不等于0　. (3)偶次根式函数被开方式 大于或等于0　. (4)一次函数、二次函数的定义域均为 R　. (5)函数f(x)＝x0的定义域为 {x|x≠0}　. (6)指数函数的定义域为 R　. (7)对数函数的定义域为 (0，＋∞)　. 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法　、图象法和列表法． （二）函数的单调性 1. 单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增　 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递减　 图象 描述 自左向右看图象是 上升的　 自左向右看图象是 下降的　 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性　，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间　． （三）函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)是偶函数 都有 f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于 y轴　对称 关于 原点　对称 1.函数的奇偶性性质 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内 (1)y＝f(x)±g(x)为奇函数； (2)y＝f(x)g(x)与y＝为偶函数； 同理若y＝f(x)与y＝g(x)在公共定义域内均为偶函数，则y＝f(x)±g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝，y＝f[g(x)]，y＝g[f(x)]均为偶函数． 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数，则在公共定义域内y＝f(x)g(x)与y＝均为奇函数。（四）函数的周期性 1. 周期函数的定义 对于函数 ，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期． 2. 最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在最小的正数，那么这个最小正数就叫作的最小正周期． 3. 周期函数的常见形式： ①，周期； ②，周期； ③，周期； ④ ，周期； ⑤，周期. （五）对称性 已知点，则其： (1) 关于轴对称的点：； (2)关于轴对称的点：； (3)关于原点对称的点：； (4)关于直线对称的点：； (5)关于直线对称的点：； (6)关于点对称的点：. 【真题精讲】 考点01 函数的定义域 1. （2025年对口招生） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. （2024年对口招生）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. （2023年对口招生）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 考点02 函数的函数值 1. （2025年对口招生） 已知函数，则的最大值为__________. 考点03函数的单调性 1.（2021年职教师资和高职班对口考试）设函数 (I)判断函数的单调性，并说明理由； （II）证明：对于任意不小于5的正整数n，都有 考点04 函数的奇偶性 1.（2024年对口招生） 已知函数是偶函数，其中，则__________. 2. （2023年对口招生）设定义在上的函数是奇函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 考点05 函数的周期性 2. （2024年对口招生）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（ ） A. B. C. D. 考点06 函数的对称性 5.（2021年职教师资和高职班对口考试）定义在R上的函数满足， 若函数与函数 的图象的交点的坐标是则 . 考点07 函数的奇偶周期性质与数列结合 1. （2025年对口招生）已知定义在上的函数满足对任意的，都有，. （1）判断函数的奇偶性； （2）若数列，求数列的前项和. 【举一反三】 1.（2021年职教师资和高职班对口考试）函数的定义域是（ ） A.[1,+∞） B.(1,+∞) C.[3,+∞) D.(3,+∞) 2．已知的定义域为，的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为R，任取，当时，有，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数为上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则等于（    ） A． B．0 C．2 D．50 【拓展提升】 1． 选择题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数是定义域上的奇函数的是（     ） A． B． C． D． 二．填空题 3．函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 4．已知函数，若，则 . 5．已知函数满足，且函数关于中心对称，，则 . 三．解答题 6．已知是定义在上的函数． (1)判断函数的奇偶性和单调性，并说明理由； (2)若，求实数的取值范围． 7.已知定义在上的函数满足对任意的，都有，. (1)判断函数的奇偶性； (2)若数列，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $