湖北黄梅一中2025-2026学年高二上学期实验班期末复习摸底考试数学试卷（1.27）

黄梅一中高二实验班期末复习摸底考试2026.01.27 数学试卷 考试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线的方程、数列 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知点A（1，0，1），B（0，1，3），C（0，0，1），P（1，x，2）在平面ABC内，则x值为（ ） A． B．－ C．1 D．－1 2. 已知实数－1，x，y，z，－16成等比数列，则xyz＝（ ） A．－8 B．±64 C．－64 D．±8 3. 如图，已知两点A（22，0），B（0，11），从点P（2，0）射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上，最后经直线OB上的点N反射后又回到点P，则直线MN的方程为（ ） A．4x－3y－6＝0 B．4x＋3y＋8＝0 C．3x－4y＋6＝0 D．4x－3y＋8＝0 4. 已知点F是双曲线C1：－x2＝1的上焦点，M是C1下支上的一点，点N是圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，则|MF|＋|MN|的最小值是（ ） A．7 B．6 C．5 D．－1 5. 已知圆C：x2＋y2＝25，直线l1：(m＋1)x－my＋3m＋1＝0，直线l2：mx＋(m＋1)y－m－2＝0，m∈R，则下列说法正确的是（ ） A．存在m∈R，使得l1∥l2 B．存在m∈R，使得l1与圆C相切 C．l1⊥l2，且l1，l2都与圆C相交，但被圆C截得的两条弦长不可能相等 D．设原点O（0，0）到l1，l2的距离分别为d1，d2，则＋为定值 6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝5，an＝＋2(n－1)，若对任意n∈N*，λ≤Sn恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A．（－∞，－6］ B．（－∞，－5］ C．（－∞，－3］ D．（－∞，－2］ 7. 已知P，N是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）右支上不同的两点，F是C的右焦点，点P关于原点O的对称点为M，且·＝0，3＝2，则C的渐近线方程为（ ） A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 8. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a4＝6，S5＝20，设bn＝，则数列{bn}的前n项和为（ ） A．cos 2n B．cos(2n＋2) C．tan 2n D．tan(2n＋2) 二、多选题 9. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，PC的中点为M，点S，T 分别在棱PB，PD上（均与P不重合），且A，M，S，T四点共面，记四棱锥P－ABCD的体积为V，三棱锥P－ASM的体积为V1，三棱锥P－ATM的体积为V2，四棱锥P－ATMS的体积为V3，则（ ）    A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 10. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（ ） A．a6＞0 B．d的一个可能值为－3.5 C．若Sn＜0，则n的最小值为13 D．数列{}中最小项为 11. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点．点P在l上的射影为P1，点O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A．过点M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条 B．以PQ为直径的圆与x＝0相切 C．设M（0，1），则|PM|＋|PP1|≥ D．若|PQ|＝8，则△OPQ的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 若直线y＝k(x－4)与曲线x＝只有一个公共点，则k的取值范围是 ． 13. 已知点A（0，2），若圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1上存在点P，使得|PO|2＋|PA|2＝20，其中O为坐标原点，则实数a的取值范围为 ． 14. 已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝4an＋2bn＋5，bn＋1＝2an＋4bn，n∈N*，且数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，则Sn－2Tn ＝ ． 四、解答题 15. 已知圆O：x2＋y2＝4，点A（1，2）． （1）线段AB的端点B在圆O上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程； （2）若经过点A的直线l截圆O所得弦长为，求直线l的方程.． 16. 在如图所示的几何体中，底面ABCD是菱形，AD＝DB＝2，ED⊥底面ABCD，ED∥CF，BF＝FE，且平面FEB⊥平面EDB． （1）在线段EB上是否存在点M，使得A，C，M，F四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． （2）若ED＝4，求二面角A－BE－F的正弦值． 17. 已知双曲线C过点（，），且渐近线方程为y＝±2x，抛物线D：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线C的顶点重合，动直线l与抛物线D交于点M，N，与x轴交于点Q． （1）求双曲线C的方程； （2）已知点G（－4，0），若∠MGQ＝∠NGQ，试探究点Q是否为定点，如果是，求出点Q的坐标；如果不是，请说明理由． 18. 已知等差数列{an}与递增等比数列{bn}满足：a1＝b1＝1，a3＝b2，a4＋a5＝b3． （1）求{an}和{bn}通项公式； （2）保持数列{an}的各项顺序不变，在ak与ak＋1之间插入bk个3（k∈N*），使它们与数列{an}的项组成一个新数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Tn，求T100； （3）记dn＝（其中k∈N*），证明：＜2． 19. 已知点P1（t＋1，t）在抛物线C：x2＝4y上，按照如下方法依次构造点Pn（n＝2，3，4，…），过点Pn－1作斜率为－1的直线与抛物线C交于另一点Qn－1，令Pn为Qn－1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为（xn，yn）． （1）求t的值； （2）求证：数列{xn}是等差数列，并求xn，yn； （3）求△PnPn＋1Pn＋2的面积． 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《黄梅一中高二实验班期末复习摸底考试2026.01.27》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D B D A D C BCD ACD ACD 1．A 【难度】0.65 【来源】辽宁省大连育明高级中学2025－2026学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】由题意得到存在使得，列出方程组求解即可. 【详解】， 因为在平面内，所以存在使得， 即，所以，解得， 故选：A 2．C 【难度】0.65 【来源】甘肃省兰州市西北中学2025－2026学年高二上学期期中数学试题 【分析】利用等比数列的性质和等比中项的性质即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比数列的性质可得，，所以，，所以. 故选：C. 3．D 【难度】0.85 【来源】重庆市第十八中学2023－2024 学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】分别求出点P关于直线与y轴的对称点，从而得到结果. 【详解】由题意易得AB所在的直线方程为，即. 设点关于直线的对称点为，则，解得， 所以点P关于直线AB对称的点为，点P关于y轴对称的点为，则直线MN即直线， 则直线MN的方程为， 故选：D 4．B 【难度】0.65 【来源】云南省楚雄州2023－2024学年高二上学期期末教育学业质量监测数学试卷 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则，由双曲线定义可得， 所以，当且仅当四点共线时，取得最小值， 即的最小值是. 故选：B. 5．D 【难度】0.65 【来源】湖北省孝感市2026届高三第一次统一考试数学试题 【分析】根据线线平行列方程求解判断A；根据直线过定点在圆C内判断B；根据弦长公式列方程求解判断C；根据垂径定理求解即可判断D. 【详解】对于A：若，则，即，无解，所以A错误； 对于B：直线，令则， 所以直线过定点，又因为，即在圆C内， 所以直线与圆C相交，所以B错误; 对于C：若两弦长相等，则， 所以，所以或，所以或，所以C错误 对于D：直线，令，则， 所以直线也过定点，因为，所以为定值，所以D正确. 故选：D 6．A 【难度】0.65 【来源】八省联考（T8）2025－2026学年高三上学期12月检测数学试题 【分析】根据与的关系，当时，将已知等式转化为，结合等差数列的定义与通项公式即可求得，作差求解判断的单调性，从而得的最值，即可求得实数的取值范围. 【详解】已知数列的前n项和为，且满足， 则当时，，整理得， 所以，又当时，， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意，恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A. 7．D 【难度】0.4 【来源】江苏省南京市第一中学2025－2026学年高二上学期12月阶段性检测数学试卷 【分析】利用双曲线对称性结合题意可得四边形为矩形，利用双曲线定义及与勾股定理计算可用表示出，，再利用为直角三角形，借助勾股定理可列出与、、有关齐次方程，即可计算出，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以，所以四边形为矩形， 因，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形，所以， 则，得，则， 又因为为直角三角形，，所以， 则， 所以，即，其渐近线方程为. 故选：D. 8．C 【难度】0.4 【来源】河北省衡水中学2025－2026学年高三上学期期中综合素质评价数学试卷 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求出等差数列的通项，再求出数列的通项公式，后利用两角差的正弦公式和叠加法即可求数列的前项和. 【详解】设数列的公差为，则，解得， 则； ， 设数列的前项和为， ， ， …… 将这个式子累加，可得. 故选：C. 9．BCD 【难度】0.4 【来源】河南省鹤壁市2026届高三上学期一模数学试题 【分析】根据棱锥的结构特征与体积计算，利用空间向量，可得答案. 【详解】连接． 设， 则， 因为四边形是平行四边形，为的中点， 所以． 由四点共面，可知存在实数，满足， 即， 所以则，化简得， 由，得，同理可得，所以． 对于AB，由题意知，又， 所以，故A错误，B正确； 对于C，同理可得，所以，故C正确； 对于D， 因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为，故D正确． 故选：BCD. 10．ACD 【难度】0.65 【来源】江苏省连云港市东海高中、灌云高中2025－2026学年高二上学期12月联考数学试题 【分析】由已知结合等差数列的性质可得，可判断A，求得的范围判断B；利用，可判断C；利用等差数列的性质求得的最小项判断D. 【详解】由题意可得，即， 又，又，所以，则，故A正确； 又因为， 所以，解得，，故不可能值为，故B错误； 因为，又因为，所以，的最小值为13，故C正确； 由上可知，当时，，当时，，又当时，，当时，， 令，当时，，又因为， 因为，，所以， 所以在上为单调递增，所以数列中最小项为，故D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【难度】0.4 【来源】山东省寿光市第一中学2025－2026学年高二上学期第四次段测数学试题 【分析】选项A：分斜率存在、不存在两类，用判别式求切线，统计满足条件的直线数量.选项B：用抛物线定义＋梯形中位线，判断圆与准线相切，否定与相切.选项C：定义转化，由两点间线段最短得最小值.选项D：设直线并联立抛物线，用韦达定理、弦长公式、点线距离求面积. 【详解】对于A，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线必有； 当直线斜率存在时，可设直线方程为， 当直线与抛物线有且仅有一个公共点， 联立整理可得，所以； 解得，所以切线方程为， 综上可知，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，即A正确； 对于B，如下图所示： 设点在上的射影为，取的中点为，的中点为，    由抛物线定义可知，在梯形中，有， 所以以为直径的圆与准线相切，切点为，可得B错误； 对于C，易知，由抛物线定义可知，所以， 当三点共线时，有最小值为，所以，即C正确； 对于D，设的方程为，联立整理可得， 可得，可得， 因此， 又可得，解得；易知到直线的距离为， 所以的面积为，即D正确. 故选：ACD 12． 【难度】0.65 【来源】河南省南阳地区十校2025－2026学年高二上学期12月阶段联考数学试题 【分析】将整理为，发现该曲线为双曲线的一支，在坐标系中画出该曲线及其渐近线，再结合双曲线的性质，数形结合即可确定的取值范围. 【详解】可整理为，其图象为双曲线的一支，其渐近线为. 过定点，过该定点且与渐近线平行的直线为与. 由双曲线的性质，并结合图象可知，当时，与双曲线的右支只有一个公共点. 故答案为：. 13． 【难度】0.4 【来源】专题02 平面解析几何初步02（期末复习讲义）高二数学上学期湘教版 【分析】先设出点的坐标，根据得出点的轨迹方程，再根据圆与圆的位置关系求出实数的取值范围. 【详解】设点，因为，，； 所以，化简得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 由圆，知圆心为，半径； 若圆上存在点满足条件，则两圆有公共点； 又两圆的圆心距； 所以，即，即，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14． 【难度】0.4 【来源】黑龙江省大庆实验中学2025－2026学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】先由两个递推关系可得数列及 均为等比数列，从而可得，再对数列进行分组求和可得及，故可得所求值. 【详解】因为数列，满足，，——①，——②， 所以①②两式相加得，即， 所以数列是以4为首项，以6为公比的等比数列，所以，即——③， 又将①②两式相减得，即， 所以是以6为首项，以2为公比的等比数列，所以，即——④， 联立③④解得，， 所以 ， 即. ， 即. 所以. 故答案为：. 15．(1)；(2)或 【难度】0.65 【来源】广西邕衡教育�名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联合测试数学试题（人教A版） 【分析】（1）根据相关点法求解出点的轨迹方程； （2）先计算出到的距离，然后根据的斜率是否存在进行分类讨论，由此求解出结果. 【详解】（1）设点，由点是的中点，得， 所以，故点， 因为在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 所以，化简得， 故点的轨迹方程是. （2）因为直线截圆所得弦长为， 所以直线到圆心的距离为， ①若直线的斜率不存在，直线的方程为， 此时到的距离为，故直线符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 则直线，即为， 综上所述，直线的方程为或. 16．(1)存在，证明见解析；(2) 【难度】0.65 【来源】辽宁省大连市第三十六中学2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明得平面，再由面面垂直的性质定理证明得平面，从而证明得，可得四点共面； （2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式计算即可. 【详解】（1）线段上存在点，且为的中点，使得四点共面.证明如下： 连接.∵四边形是菱形，. 又平面，平面，. 又，平面，平面. 连接.∵为的中点，，. 又平面平面，平面平面，平面，平面. ，（垂直于同一个平面的两条直线互相平行）， ∴在线段上存在点，且为的中点，使得四点共面. （2）取的中点，连接，设交于点，连接，， 则，且. 平面，平面. 又，∴以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.    ∵底面是菱形，，，. ，. 由（1）知，∴四边形是矩形，， ∴，，，， ，，. 设平面的法向量为，则，即， 取，则. 设平面的法向量为，所以，即， 取，则.， 所以二面角的正弦值为. 17．(1)；(2) 【难度】0.65 【来源】辽宁省锦州市2025－2026学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】（1）由渐近线方程为可设双曲线的方程为，将点代入解得的值，从而得到双曲线C的方程. （2）设点坐标为，动直线的方程为，将直线代入抛物线方程整理得到，设，利用韦达定理得， 由知直线与的斜率互为相反数，即，将代入中整理得到， 代入，通过计算得到点的定点. 【详解】（1）渐近线方程为， 设双曲线的方程为， 将点代入得：，解得，故双曲线C的方程为，即. （2） 双曲线的顶点为，抛物线的焦点为， 由题意得，解得，故抛物线的方程为. 设点坐标为，动直线的直线方程为，代入抛物线方程得，整理得到， 设，由韦达定理得， 由，，知直线与的斜率互为相反数，即：， 将代入得到， 整理得到，即， 即，代入，得到，解得， 因为为任意实数，所以，解得，即点为定点. 18．(1)，.；(2)300；(3)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题可得，据此可得答案； （2）设在数列的前100项中，来自的有项，分与两种情况讨论，可得数列前100项包含，，，，及95个3，据此可得答案； （3）设，由题意及错位相减法，可得；设，由裂项相消法可得.据此可完成证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意得，解得，或，， 因为等比数列递增，，所以，所以， 所以，. （2）设在数列的前100项中，来自的有项，若， 则应有，整理可得， 注意到函数在上单调递增，，， ，因，则无整数解，不满足题意. 若，则应有， 由以上分析，可得. 又在上单调递增，，. 则当时，满足题意.即数列前100项包含，，，，及95个3， 所以. （3）当时，， 设，则，. 从而，得，即； 当时，. 设，则. 所以，即. 19．(1)1；(2)证明见解析，，；(3)16 【难度】0.4 【来源】浙江省杭州学军中学2025－2026学年高二上学期模拟考试（二）数学试卷 【分析】（1）根据抛物线的概念，直接求出参数值即可； （2）根据题干中点的构造方法，以及抛物线方程，列出方程组，求出和之间的关系，根据等差数列定义，直接写出通项公式，进而根据抛物线方程求出； （3）根据（2）的结论，写出点的坐标，根据几何图像的性质，计算梯形面积，进而求出三角形面积即可. 【详解】（1）由题意可得，化简得，解得. （2） 如图所示，，即，设，，， 由抛物线方程，可得，作差可得， 化简得，由，可得，化简得， 则，可知数列是首项为，公差为的等差数列， 则，则. （3） 如图所示，过作垂直于轴于，过作垂直于轴于，过作垂直于轴于， 由（2）可知， 则， 则， ， ， 可知， 即. 答案第6页，共8页 答案第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $