专题12 函数的应用 -（高教版）基础模块上册（原卷版+解析版）

专题12 函数的应用 一、知识梳理 （1）一次函数的实际应用 适用场景：描述两个变量成线性变化的过程，如匀速运动、单一单价的计费问题。  核心公式： y = kx + b （ k 为斜率， b 为初始值） 一次函数建模: 确定变量：明确自变量与因变量; 分析关系：找出初始值与变化率，确定斜率 k 与截距 b ; 建立函数：代入一次函数公式并确定定义域;  验证合理性：检查定义域与实际场景是否匹配. （2）分段函数的实际应用 适用场景：当自变量的取值范围不同，变量间的对应关系发生变化时，需用分段函数表示，如阶梯收费、分段计价等问题。 核心要点:明确划分定义域区间，每个区间对应不同的函数表达式；验证区间端点处的函数值连续性，保证逻辑合理. 分段函数建模: 划分区间：根据题目条件，将定义域划分为不同区间; 分别建模：针对每个区间，建立对应的函数表达式; 整合解析式：用大括号写出分段函数，并标注各区间; 验证端点：检查区间端点处的函数值是否连续或符合实际意义. （3）二次函数的最值应用 适用场景：求解实际问题中的最大值或最小值，如面积最大、收入最高、距离最近等问题。 核心方法: 建立二次函数模型 ;通过配方法或顶点公式求最值. 二次函数最值求解: 建立模型：根据题意，设自变量，写出二次函数表达式;  配方变形：将函数化为顶点式  y = a; 判断最值：根据 a 的正负，确定函数有最大值或最小值;  结合实际：验证最值对应的自变量是否在定义域内. 二、题型精练 题型1 一次函数的实际应用 【典例1】．一个机器人在生产线上工作，它的工作效率（单位时间内生产的产品数量）与工作时间成一次函数关系．开始工作 1 小时时，生产了 10 个产品；工作 3 小时时，生产了 30 个产品．设工作时间为小时，生产产品数量为个，则与的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 题型2 分段函数的实际应用 【典例1】．某城市制定了用水收费标准：月用水量不超过20时，按2元/计费；月用水量超过20时，其中的20按2元/计费，超过部分按3.6元/计费．则每月应交水费元与用水量之间的函数关系是 . 【典例2】．电工维修电路，当维修距离在 5 公里以内（含 5 公里）时，每公里收费 30 元；当维修距离超过 5 公里时，超出部分每公里收费 25 元.若一次维修收费 275 元，则维修距离是 公里. 题型3 二次函数的最值应用 【典例1】．某果园有10棵苹果树，平均每一棵树可以结200个苹果．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，现果园增种了x棵苹果树，若苹果总个数为y个，则下列y与x的关系式中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【典例2】．某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（    ） A．120元 B．150元 C．180元 D．210元 三、知识检测 单选题 1．小王去上学时出门有点晚，为了不迟到，他先跑了一段时间，快到学校时发现时间还充足，又走了余下的路.则下列能反映小王离学校的距离与时间的关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．已知等腰三角形的面积为 ，则它的底边上的高 与底边长 之间的函数解析式为 （    ） A． B． C． D． 3．如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园，则矩形的最大面积是（    ）．    A．16平方米 B．18平方米 C．20平方米 D．24平方米 4．小区新增了一家快递店，第一天揽件150件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 5．某商品的进货价为40元／件，当售价为50元／件时，一个月能卖出500件.通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为（    ） A．45元 B．55元 C．65元 D．70元 6．某社区超市的某种商品的日利润（单位元）与该商品的当日售价（单位元）之间的关系为，若该商品的日利润最大值为26元，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．一艘小船从甲地到乙地，在乙地停留一段时间后返回甲地.小船离甲地的距离与经过时间之间的函数关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ）    A．甲地与乙地之间的距离为海里 B．小船在乙地停留的时间为4小时 C．小船的平均速度为(海里/小时) D．小船从甲地行驶到乙地的速度比从乙地返回甲地的速度要慢 填空题 8．某城市制定了用水收费标准：每月用水量不超过10吨的部分，每吨收取2.62元；用水量超过10吨部分每吨收取4元，则每月应交水费元与用水量吨之间的函数关系是 . 9．某蛋糕店销售一种成本为3元的鲜花饼，若按每个5元出售，每天可卖200个，现准备采用提高售价的方式来增加利润．已知每个售价提高1元，每天销售量减少20个．不考虑其他因素，蛋糕店要获得最大收益，则鲜花饼售价应定为 元． 10．医院对住院病人收取护理费，若住院天数不超过 7 天，每天护理费为 80 元；若住院天数超过 7 天但不超过 14 天，超过部分每天护理费为 60 元；若住院天数超过 14 天，超过天的部分每天护理费为 50 元.某病人住院天，需支付护理费 元. 解答题 11．某人计划在空地上用36米长的篱笆围成一个矩形的空地种花，那么他怎样设计当矩形的长是多少时可以使矩形有最大面积？你能求出最大面积是多少吗？ 12．园林工人计划用长的竹篱笆靠墙围一个矩形苗圃．问苗圃长宽各为多少时，苗圃面积最大，并求出最大值． 13．现有两种商品，已知种商品进价8000元，售价10000元；种商品进价4000元，售价6500元．现计划购进、两种商品共40件，要求投入的资金不低于20万元且不高于22万元．求： (1)共有几种进货方案？ (2)哪种进货方案的利润最高？ 14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，水价包括自来水价格和污水处理价格，即水价为两者价格之和.计费方法如下表: 每户月用水量 自来水价格 污水处理价格 不超过12吨的部分 2元/吨 1元/吨 超过12吨但不超过18吨的部分 5元/吨 超过18吨的部分 8元/吨 (1)若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月的用水量是多少? (2)试建立居民交纳水费y（单位:元）关于居民用水量x（单位:吨）的函数解析式. 15．某市出租车的费用标准如下：起步价10元（3以内），超出（含）3km且小于15的路程按2元/计费，超出（含）15的路程按3元/计费.设路程为千米，车费为元. (1)求车费与路程之间的函数解析式 ； (2)若乘客甲的乘坐路程为10千米，乘客乙的乘坐路程为20千米，则甲、乙分别应付多少元车费？ 16．如图所示，用长为的篱笆靠围墙围成中间有隔断的矩形养殖场地，设矩形的宽为，面积为.    (1)求与的函数关系式，并写出定义域； (2)当为何值时，最大？并求出最大值. 17．某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？ 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 函数的应用 一、知识梳理 （1）一次函数的实际应用 适用场景：描述两个变量成线性变化的过程，如匀速运动、单一单价的计费问题。  核心公式： y = kx + b （ k 为斜率， b 为初始值） 一次函数建模: 确定变量：明确自变量与因变量; 分析关系：找出初始值与变化率，确定斜率 k 与截距 b ; 建立函数：代入一次函数公式并确定定义域;  验证合理性：检查定义域与实际场景是否匹配. （2）分段函数的实际应用 适用场景：当自变量的取值范围不同，变量间的对应关系发生变化时，需用分段函数表示，如阶梯收费、分段计价等问题。 核心要点:明确划分定义域区间，每个区间对应不同的函数表达式；验证区间端点处的函数值连续性，保证逻辑合理. 分段函数建模: 划分区间：根据题目条件，将定义域划分为不同区间; 分别建模：针对每个区间，建立对应的函数表达式; 整合解析式：用大括号写出分段函数，并标注各区间; 验证端点：检查区间端点处的函数值是否连续或符合实际意义. （3）二次函数的最值应用 适用场景：求解实际问题中的最大值或最小值，如面积最大、收入最高、距离最近等问题。 核心方法: 建立二次函数模型 ;通过配方法或顶点公式求最值. 二次函数最值求解: 建立模型：根据题意，设自变量，写出二次函数表达式;  配方变形：将函数化为顶点式  y = a; 判断最值：根据 a 的正负，确定函数有最大值或最小值;  结合实际：验证最值对应的自变量是否在定义域内. 二、题型精练 题型1 一次函数的实际应用 【典例1】．一个机器人在生产线上工作，它的工作效率（单位时间内生产的产品数量）与工作时间成一次函数关系．开始工作 1 小时时，生产了 10 个产品；工作 3 小时时，生产了 30 个产品．设工作时间为小时，生产产品数量为个，则与的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可设出函数关系式，利用待定系数法，代入即可求解. 【详解】设，把，和，代入， 得到，两式相减得，解得， 把代入，得，解得， 所以， 故选： A． 题型2 分段函数的实际应用 【典例1】．某城市制定了用水收费标准：月用水量不超过20时，按2元/计费；月用水量超过20时，其中的20按2元/计费，超过部分按3.6元/计费．则每月应交水费元与用水量之间的函数关系是 . 【答案】 【分析】根据题意写出分段函数解析式即可得解. 【详解】因为月用水量不超过20时，按2元/计费； 月用水量超过20时，其中的20按2元/计费，超过部分按3.6元/计费， 则，即， 故答案为：. 【典例2】．电工维修电路，当维修距离在 5 公里以内（含 5 公里）时，每公里收费 30 元；当维修距离超过 5 公里时，超出部分每公里收费 25 元.若一次维修收费 275 元，则维修距离是 公里. 【答案】 【分析】根据题意分维修距离5公里内和5公里外分别计算维修费用即可求解. 【详解】由题意公里内（含 5 公里）时，收费元， 因为，设超出公里的距离为公里， 则，，解得， 所以总维修距离为公里. 故答案为：10. 题型3 二次函数的最值应用 【典例1】．某果园有10棵苹果树，平均每一棵树可以结200个苹果．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，现果园增种了x棵苹果树，若苹果总个数为y个，则下列y与x的关系式中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合二次函数的应用，即可列式求解. 【详解】由题意，若果园增种了x棵苹果树，则平均每棵树就会少结个苹果， 此时苹果树的数量为棵，平均每一棵树可以结个苹果， 所以苹果总个数， 故选：B. 【典例2】．某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（    ） A．120元 B．150元 C．180元 D．210元 【答案】B 【分析】利用配方法，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为， 所以当时，y取最大值. 故选：B. 三、知识检测 单选题 1．小王去上学时出门有点晚，为了不迟到，他先跑了一段时间，快到学校时发现时间还充足，又走了余下的路.则下列能反映小王离学校的距离与时间的关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用上学距离学校越来越近及跑步图像陡走路图像缓可判断. 【详解】小王去上学，所以距离学校应越来越近，故排除， 小王先跑后走，图像应为先陡后缓，故排除B, 故选：D. 2．已知等腰三角形的面积为 ，则它的底边上的高 与底边长 之间的函数解析式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实际条件列出函数解析式，进而得到定义域； 【详解】等腰三角形的面积公式为 ，即 ，解得 . 由于底边长 ，因此函数定义域为 . 故选：D. 3．如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园，则矩形的最大面积是（    ）．    A．16平方米 B．18平方米 C．20平方米 D．24平方米 【答案】B 【分析】设，则，根据面积写出函数解析式，再求最值即可. 【详解】由题意，可设矩形的面积为，米，则（米）， 则， ，该二次函数图象开口向下， 当时，取最大值，最大值为， 所以矩形的最大面积是18平方米. 故选：B. 4．小区新增了一家快递店，第一天揽件150件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，转换成方程，即可求解. 【详解】由题意知，第一天揽件150件，第三天揽件242件，日平均增长率为x， 所以. 故选：A. 5．某商品的进货价为40元／件，当售价为50元／件时，一个月能卖出500件.通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为（    ） A．45元 B．55元 C．65元 D．70元【答案】D 【分析】根据题意，设定售价提高x元，即定价为元，得到与的函数关系式，利用配方法计算二次函数最值，即可求解. 【详解】由题意，设在50元的基础上提高元，每月的月利润为， 则与的函数关系式为， 所以， 所以当，即每件商品的定价为元时，月利润最高． 故选：D. 6．某社区超市的某种商品的日利润（单位元）与该商品的当日售价（单位元）之间的关系为，若该商品的日利润最大值为26元，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的最值求解即可. 【详解】依题意函数取最大值时， 即. 故选：B. 7．一艘小船从甲地到乙地，在乙地停留一段时间后返回甲地.小船离甲地的距离与经过时间之间的函数关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ）    A．甲地与乙地之间的距离为海里 B．小船在乙地停留的时间为4小时 C．小船的平均速度为(海里/小时) D．小船从甲地行驶到乙地的速度比从乙地返回甲地的速度要慢 【答案】D 【分析】结合题意分析图像逐项分析即可得解. 【详解】小船离甲地的距离与经过时间之间的函数关系如图所示， 由图像可知，甲地与乙地之间的距离为海里，故选项错误； 小船在乙地停留的时间为小时，故选项错误； 小船的平均速度为(海里/小时)，故选项错误； 小船从甲地行驶到乙地的速度为(海里/小时)，从乙地返回甲地的速度为(海里/小时)，， 所以小船从甲地行驶到乙地的速度比从乙地返回甲地的速度要慢，故选项正确， 故选：. 填空题 8． 某城市制定了用水收费标准：每月用水量不超过10吨的部分，每吨收取2.62元；用水量超过10吨部分每吨收取4元，则每月应交水费元与用水量吨之间的函数关系是 . 【答案】9 【分析】设某每个售价提高元，利润为元，建立二次函数模型，根据二次函数的最值求解即可. 【详解】设某每个售价提高元，利润为元，则销售单价为元，销量个，由题意可得 ，其中， 所以，当时，，即鲜花饼售价应定为元时，蛋糕店要获得最大收益. 故答案为： 9．某蛋糕店销售一种成本为3元的鲜花饼，若按每个5元出售，每天可卖200个，现准备采用提高售价的方式来增加利润．已知每个售价提高1元，每天销售量减少20个．不考虑其他因素，蛋糕店要获得最大收益，则鲜花饼售价应定为 元． 【答案】9 【分析】设某每个售价提高元，利润为元，建立二次函数模型，根据二次函数的最值求解即可. 【详解】设某每个售价提高元，利润为元，则销售单价为元，销量个，由题意可得 ，其中， 所以，当时，，即鲜花饼售价应定为元时，蛋糕店要获得最大收益. 故答案为： 10．医院对住院病人收取护理费，若住院天数不超过 7 天，每天护理费为 80 元；若住院天数超过 7 天但不超过 14 天，超过部分每天护理费为 60 元；若住院天数超过 14 天，超过天的部分每天护理费为 50 元.某病人住院天，需支付护理费 元. 【答案】 【分析】由题意：某病人住院天，则分别计算出前7的护理费用和后3天的护理费用即可求解. 【详解】由题意：某病人住院天则前天护理费为元， 超过天部分为天，这天护理费为元， 所以总共支付元. 故答案为：740. 解答题 11．某人计划在空地上用36米长的篱笆围成一个矩形的空地种花，那么他怎样设计当矩形的长是多少时可以使矩形有最大面积？你能求出最大面积是多少吗？ 【答案】长是，最大面积 【分析】设出长与宽利用面积公式列式子，利用二次函数模型求最值即可. 【详解】可设长为，则宽为， 则面积，， 整理得，， 则当时，面积最大为. 12．园林工人计划用长的竹篱笆靠墙围一个矩形苗圃．问苗圃长宽各为多少时，苗圃面积最大，并求出最大值． 【答案】 【分析】由题意：某病人住院天，则分别计算出前7的护理费用和后3天的护理费用即可求解. 【详解】由题意：某病人住院天则前天护理费为元， 超过天部分为天，这天护理费为元， 所以总共支付元. 故答案为：740. 13．现有两种商品，已知种商品进价8000元，售价10000元；种商品进价4000元，售价6500元．现计划购进、两种商品共40件，要求投入的资金不低于20万元且不高于22万元．求： (1)共有几种进货方案？ (2)哪种进货方案的利润最高？ 【答案】(1)共6种进货方案 (2)利润最高的进货方案是购进种商品10件、种商品30件 【分析】（1）通过设未知数，根据资金限制列出不等式组，求解不等式组得到进货方案， （2）根据利润公式计算利润，利用一次函数的单调性求出答案. 【详解】（1）设购进种商品件（为非负整数），则购进种商品件． 根据题意，总资金不低于20万元且不高于22万元，可得： ，解得， ∵为商品数量，需取非负整数， ∴的值可以是10、11、12、13、14、15，共6种进货方案． （2）种商品每件利润为元，即万元； 种商品每件利润为元，即万元． 设总利润为万元， 则， ∵，∴随的增大而减小，即越小，总利润越高； 即当时，总利润最高，此时购进种商品件． 所以，利润最高的进货方案是购进种商品10件、种商品30件． 14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，水价包括自来水价格和污水处理价格，即水价为两者价格之和.计费方法如下表: 每户月用水量 自来水价格 污水处理价格 不超过12吨的部分 2元/吨 1元/吨 超过12吨但不超过18吨的部分 5元/吨 超过18吨的部分 8元/吨 (1)若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月的用水量是多少? (2)试建立居民交纳水费y（单位:元）关于居民用水量x（单位:吨）的函数解析式. 【答案】(1)14吨 (2) 【分析】（1）根据题意，先求得用水量为12吨和18吨时应交的水费，易得此户居民本月的用水量在超过12吨但不足18吨，继而求得用水量； （2）根据题意，结合分段函数的概念和应用，分别求出，和时对应的函数解析式，继而求解. 【详解】（1）由题意，用水12吨时，水费为 (元)； 用水18吨时，水费为 (元)， 因此交纳的水费为48元时，用水量超过12吨但不足18吨， 用水量为 (吨)， 即此户居民本月的用水量是14吨； （2）由题意，易得当时，； 当时，； 当时，； 所以水费y关于居民用水量x的函数解析式为. 15．某市出租车的费用标准如下：起步价10元（3以内），超出（含）3km且小于15的路程按2元/计费，超出（含）15的路程按3元/计费.设路程为千米，车费为元. (1)求车费与路程之间的函数解析式 ； (2)若乘客甲的乘坐路程为10千米，乘客乙的乘坐路程为20千米，则甲、乙分别应付多少元车费？ 【答案】(1) (2)甲、乙分别应付24元、49元车费 【分析】（1）根据不同的路程范围确定对应的计费方式，从而列出函数解析式； （2）将具体路程代入解析式计算车费. 【详解】（1）根据题意，当时，； 当时，； 当时，， 所以车费与路程之间的函数解析式为. （2）根据题意，当，则（元）； 当，则（元）. ∴甲、乙分别应付24元、49元车费. 16．如图所示，用长为的篱笆靠围墙围成中间有隔断的矩形养殖场地，设矩形的宽为，面积为.    (1)求与的函数关系式，并写出定义域； (2)当为何值时，最大？并求出最大值. 【答案】(1) (2)当时，面积最大值是 【分析】（1）先根据题意表示出矩形的长为，再根据矩形的面积公式写出函数关系式即可； （2）利用配方法求二次函数的最值. 【详解】（1）因为矩形的宽为，根据题意可得矩形的长为， 所以矩形的面积， 又因为考虑实际意义，矩形的宽大于，矩形的长大于，矩形的面积大于， 所以可得，即， 解得， 所以与的函数解析式为. （2）因为与的函数解析式为， 通过配方得， 所以当时，面积最大，此时面积的最大值为. 17．某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？ 【答案】售价定为元时，最大利润为元. 【分析】根据题意，可设这种台灯的售价上涨了x元，继而表示出售价和月销售量，继而表示出月销售利润，结合二次函数的应用，利用二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】由题意，设这种台灯的售价上涨了x元，每月获得的销售利润为， 则售价为元，月销售量为个， 所以，且，即， 所以， 所以当元，销售利润取得最大值， 故售价定为元时，最大利润元. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $