专题17 正弦函数、余弦函数的图像和性质、已知三角函数值求角-（高教版）基础模块上册（原卷版+解析版）

专题17正弦函数、余弦函数的图像 和性质、已知三角函数值求角 一、知识梳理 （1）正弦函数的图像和性质 一般地，对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任意一个值时，都有 f(x+T) ＝f(x)， 则称函数y＝f(x)为周期函数．非零常数T为y＝f(x)的一个周期． 如果周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 T0，那么这个最小的正数 T0就称为y＝f(x)的最小正周期． 正弦函数图像： 五点法： 因为正弦函数的周期是2π，所以正弦函数值每隔2π重复出现一次．于是，我们只要将函数y＝sinx在 [0,2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2kπ(k∈Z)，就可得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图像.正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线． 正弦函数的性质： 定义域是实数集R. 值域是[-1, 1]. 周期为T=2π 奇偶性：由图像关于原点对称和诱导公式sin(−x)=−sinx可知，正弦函数是奇函数． 单调性： 在闭区间上都是增函数, 函数值从-1增大到1； 在闭区间上都是减函数, 函数值从1减小到-1. （2）余弦函数的图像和性质 余弦函数图像： 五点法： 由诱导公式cos(2kπ+x)＝cosx (k∈Z)可知, 将函数y＝cosx在[0,2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2π, 4π, …, 就得到了余弦函 y＝cos x, x∈R的图像. 余弦函数的图像也称为余弦曲线, 它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线． 余弦函数的性质： 定义域是实数集R. 值域是[-1, 1]. 当x=2kπ(k∈Z)时, y取最大值, ymax=1; 当x=π+2kπ(k∈Z)时, y取最小值, ymin=-1. 周期为T=2π 奇偶性：由图像关于y轴对称和诱导公式cos(−x)=cosx可知, 余弦函数是偶函数． 单调性： 在闭区间[(2k-1)π, 2kπ] (k∈Z) 上都是增函数, 函数值从-1增大到1; 在闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上是减函数, 函数值从1减小到-1． （3）已知三角函数值求角 二、题型精练 题型1 正弦函数的图像和性质 【典例1】． 函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【典例2】．比较与的大小，正确的是（   ） A． B． C． D．无法比较 题型2 余弦函数的图像和性质 【典例1】． 函数的最小值是（   ） A． B． C． D．0 【典例2】．函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 题型3 已知三角函数值求角 【典例1】． 在中，，，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰锐角三角形 C．锐角三角形 D．等腰钝角三角形 【典例2】．已知，则（    ） A．或 B．或 C． D． 三、知识检测 单选题 1．已知的数，则下列说法错误的是（   ） A．函数的周期是 B．函数的值域为 C．函数在内单调递减 D．函数是奇函数 2．函数的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数是奇函数的是（     ） A． B． C． D． 5．函数的最大值为（    ） A． B．0 C．2 D．1 6．下列函数中，属于偶函数的是（   ） A． B． C． D． 7．函数的最大值是5，的值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．已知，则角的值为（   ） A． B． C． D．或 9．若，且，则的值为（    ） A． B． C． D．或 10．“”是“”成立的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 11．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．在中，已知，则（    ） A． B． C． D．或 13．已知是三角形的一个内角，若，则（    ） A． B． C． D．或 14．已知，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 填空题 15．函数取得最小值时， ． 16．函数的最小正周期是 ． 17．函数的最小值为 ． 18．函数的最大值为 ． 19．已知函数的最小正周期为，则 ． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17正弦函数、余弦函数的图像 和性质、已知三角函数值求角 一、知识梳理 （1）正弦函数的图像和性质 一般地，对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任意一个值时，都有 f(x+T) ＝f(x)， 则称函数y＝f(x)为周期函数．非零常数T为y＝f(x)的一个周期． 如果周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 T0，那么这个最小的正数 T0就称为y＝f(x)的最小正周期． 正弦函数图像： 五点法： 因为正弦函数的周期是2π，所以正弦函数值每隔2π重复出现一次．于是，我们只要将函数y＝sinx在 [0,2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2kπ(k∈Z)，就可得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图像.正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线． 正弦函数的性质： 定义域是实数集R. 值域是[-1, 1]. 周期为T=2π 奇偶性：由图像关于原点对称和诱导公式sin(−x)=−sinx可知，正弦函数是奇函数． 单调性： 在闭区间上都是增函数, 函数值从-1增大到1； 在闭区间上都是减函数, 函数值从1减小到-1. （2）余弦函数的图像和性质 余弦函数图像： 五点法： 由诱导公式cos(2kπ+x)＝cosx (k∈Z)可知, 将函数y＝cosx在[0,2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2π, 4π, …, 就得到了余弦函 y＝cos x, x∈R的图像. 余弦函数的图像也称为余弦曲线, 它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线． 余弦函数的性质： 定义域是实数集R. 值域是[-1, 1]. 当x=2kπ(k∈Z)时, y取最大值, ymax=1; 当x=π+2kπ(k∈Z)时, y取最小值, ymin=-1. 周期为T=2π 奇偶性：由图像关于y轴对称和诱导公式cos(−x)=cosx可知, 余弦函数是偶函数． 单调性： 在闭区间[(2k-1)π, 2kπ] (k∈Z) 上都是增函数, 函数值从-1增大到1; 在闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上是减函数, 函数值从1减小到-1． （3）已知三角函数值求角 二、题型精练 题型1 正弦函数的图像和性质 【典例1】． 函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质以及最小正周期公式求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，且最小正周期. 故选：B. 【典例2】．比较与的大小，正确的是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】根据题意，结合正弦函数在的单调性，求解即可． 【详解】因为， 又正弦函数在上单调递减， 所以． 故选：A． 题型2 余弦函数的图像和性质 【典例1】． 函数的最小值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据余弦型函数的最值即可求解． 【详解】因为最小值为，故最小值为． 故选：A． 【典例2】．函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的周期公式求解. 【详解】函数中， 则最小正周期是. 故选：C. 题型3 已知三角函数值求角 【典例1】． 在中，，，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰锐角三角形 C．锐角三角形 D．等腰钝角三角形 【答案】D 【分析】根据题意结合诱导公式求出或，利用三角形的内角和进行取舍即可得解. 【详解】在中，，， 因为，所以或， 当时，，此时为等腰钝角三角形； 当时，，不符合题意， 所以为等腰钝角三角形， 故选：. 【典例2】．已知，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】先由诱导公式化简，再根据三角函数值求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以或. 故选：A. 三、知识检测 单选题 1．已知的数，则下列说法错误的是（   ） A．函数的周期是 B．函数的值域为 C．函数在内单调递减 D．函数是奇函数 【答案】C 【分析】根据正弦函数的图像及性质，求解即可. 【详解】对于选项A：，即函数的周期是，故A正确； 对于选项B：因为，即函数的值域为，故B正确； 对于选项C：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在内单调递减说法错误，故C错误； 对于选项D：因为定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以是奇函数，故D正确. 故选：C. 2．函数的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据余弦函数的值域，即可求解． 【详解】因为， 所以当时，函数取得最大值，即． 故选：C． 3．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的周期公式即可求解． 【详解】对于正弦型函数，最小正周期公式为， 中，代入公式得， 故选：A． 4．下列函数是奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数满足依次分析即可求解. 【详解】易知各选项中函数的定义域为，关于原点对称， 对于A选项，，是奇函数，故A选项正确； 对于B选项， ，不是奇函数，故B选项错误； 对于C选项，，不是奇函数，故C选项错误； 对于D选项，，不是奇函数，故D选项错误. 故选：A. 5．函数的最大值为（    ） A． B．0 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据正弦函数最大值为1即可求解． 【详解】解：正弦函数的最大值为1， ∴的最大值为． 故选：A． 6．下列函数中，属于偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义逐项分析即可. 【详解】已知的定义域为，关于原点对称， ， 所以不是偶函数，故A错误， 已知的定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，故B正确， 已知的定义域为，关于原点对称， ， 所以不是偶函数，故C错误， 已知的定义域为，关于原点对称， ， 所以不是偶函数，故D错误， 故选：B. 7．函数的最大值是5，的值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据题意结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 函数的最大值是5，则，解得， 故选：. 8．已知，则角的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意结合已知三角函数值求角即可得解. 【详解】，所以为第二象限角， 又因为，所以， 故选：. 9．若，且，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据正弦函数的图像及性质即可求解. 【详解】当且时，的值为或， 故选：D. 10．“”是“”成立的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值结合充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则， 所以“”不能推出“，充分性不成立， 若，则， 所以“”能推出“”，必要性成立， 所以“”是“”成立的必要条件， 故选：B. 11．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，结合任意角的三角函数值，及充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若，则或，故充分性不成立； 若，则一定成立，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 12．在中，已知，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据的值及的范围求解即可. 【详解】在中，， 可知，从而. 故选：B. 13．已知是三角形的一个内角，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意可知，结合即可得解. 【详解】因为是三角形的一个内角，所以， 又因为，所以或． 故选：. 14．已知，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据特殊角三角函数值和诱导公式，结合余弦函数单调性求解即可. 【详解】在内，易知， 则， ， 且在上单调递减，在上单调递增， 所以时，由可得：， 时，由可得：. 故选：D. 填空题 15．函数取得最小值时， ． 【答案】1 【分析】利用正弦函数的性质，一次函数的性质求解即可． 【详解】因为，又中系数， 所以当时，函数取最小值． 故答案为：. 16．函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】利用正弦型函数的周期公式，求解即可． 【详解】已知正弦型函数周期公式， 中，代入得周期， 故答案为：. 17．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用正弦函数的值域可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以函数的最小值为； 故答案为：. 18．函数的最大值为 ． 【答案】4 【分析】根据正弦函数的有界性可知结果. 【详解】由题可知：，所以， 所以函数的最大值为4. 故答案为：4 19．已知函数的最小正周期为，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的周期公式求值即可. 【详解】已知函数的最小正周期为， 即，所以. 故答案为：. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $