专题19对数、积商幂的对数、换底公式-（高教版）基础模块上册（原卷版+解析版）

专题19对数、积商幂的对数、换底公式 一、知识梳理 （1）对数 一般地，若ab=N(a>0且a≠1)，则称b为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的底数，N称为真数． 当a>0且a≠1， N >0时，指数式ab=N与对数式b=logaN有如下关系： 根据对数的定义，对数具有如下性质： loga1=0，即1的对数是0； logaa=1，即底的对数是1； N >0，即零和负数没有对数． 由于以10为底的对数运算相对简便，应用也比较普遍，通常把log10N称为常用对数，简记为lgN ． 在科学研究和工程计算中，经常使用以无理数e(e=2.71828…)为底的对数logeN，并称这个对数为自然对数，简记为lnN ． （2）积商幂的对数、换底公式 对数运算有如下运算法则： = = = = 换底公式： = 对数恒等式： 二、题型精练 题型1 对数 【典例1】． 下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据指对数的运算即可求解. 【详解】 对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误. 故选：C. 【典例2】．下列四个等式:①；②；③若，则；④若，则.其中正确的是(    ) A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】C 【分析】根据题意，结合对数的运算，即可求解． 【详解】，故①正确；，故②正确； 若，则，故③错误；若，则，故④错误； 故正确的有①②. 故选：C. 题型2 积商幂的对数、换底公式 【典例1】．计算的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算法则即可求解. 【详解】由. 故选：B. 【典例2】．下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质逐个分析判断 【详解】对于A，因为，， 所以，所以A错误. 对于B，因为，，所以，所以B错误. 对于C，因为，所以C正确. 对于D，因为， ，所以，所以D错误. 故选：C. 【典例3】．设，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据指数、对数的运算以及换底公式求解即可. 【详解】由，可得，，由换底公式得，， 所以，又因为，可得． 故答案为：. 三、知识检测 单选题 1．已知是方程的两实数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数根与系数关系结合对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意可知：，所以. 故选：C. 2．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数和对数的运算法则即可求解. 【详解】由. 故选：B. 3．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数和对数的运算法则即可求解. 【详解】由. 故选：B. 4．对数恒等式（   ） A．7 B．10 C． D．70 【答案】A 【分析】利用对数恒等式，求解即可. 【详解】直接应用恒等式，底数10与对数底数一致，则7. 故选：A. 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算性质求解即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 6．设，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算法则即可求解. 【详解】设， 则. 故选：B. 7．已知，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数和对数的运算法则即可求解. 【详解】由，可得：， 所以. 故选：A. 8．在下列选项中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法运算以及对数的运算性质求解即可. 【详解】A选项，，故A正确； B选项，，故B错误； C选项，，故C错误； D选项，，故D错误. 故选：A. 9．已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数、对数的性质求解即可. 【详解】， 所以. 故选：A. 10．计算（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用指数与对数的运算求值即可. 【详解】； 故选：C. 填空题 11．指数式和对数式互相转化： （1） ．（2） ． （3） ．（4） ． 【答案】 【分析】根据题意，结合指数式与对数式的转化，即可求解. 【详解】；； ；. 故答案为：；；；. 12．计算： . 【答案】1 【分析】根据对数的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：1. 13．若，则 . 【答案】3 【分析】根据题意，结合对数的运算，及对数式有意义需满足的条件，即可求解. 【详解】因为， 所以， 故，所以， 解得或， 当时，无意义，舍去； 故. 故答案为：3. 14．计算 . 【答案】5 【分析】利用对数恒等式与幂的对数综合应用，求解即可. 【详解】，， 故. 故答案为：5. 15．计算 . 【答案】/ 【分析】利用对数与根式、负指数的综合运算，求解即可. 【详解】， ， . 故答案为：. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19对数、积商幂的对数、换底公式 一、知识梳理 （1）对数 一般地，若ab=N(a>0且a≠1)，则称b为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的底数，N称为真数． 当a>0且a≠1， N >0时，指数式ab=N与对数式b=logaN有如下关系： 根据对数的定义，对数具有如下性质： loga1=0，即1的对数是0； logaa=1，即底的对数是1； N >0，即零和负数没有对数． 由于以10为底的对数运算相对简便，应用也比较普遍，通常把log10N称为常用对数，简记为lgN ． 在科学研究和工程计算中，经常使用以无理数e(e=2.71828…)为底的对数logeN，并称这个对数为自然对数，简记为lnN ． （2）积商幂的对数、换底公式 对数运算有如下运算法则： = = = = 换底公式： = 对数恒等式： 二、题型精练 题型1 对数 【典例1】． 下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．下列四个等式:①；②；③若，则；④若，则.其中正确的是(    ) A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 题型2 积商幂的对数、换底公式 【典例1】．计算的解是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【典例3】．设，且，则 . 三、知识检测 单选题 1．已知是方程的两实数根，则（    ） A． B． C． D． 2．计算（    ） A． B． C． D． 3．计算（    ） A． B． C． D． 4．对数恒等式（   ） A．7 B．10 C． D．70 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．设，则可表示为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则用表示为（    ） A． B． C． D． 8．在下列选项中，正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．计算（ ） A．0 B．1 C．2 D． 填空题 11．指数式和对数式互相转化： （1） ．（2） ． （3） ．（4） ． 12．计算： . 13．若，则 . 14．计算 . 15．计算 . 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $