专题18实数指数、指数函数-（高教版）基础模块上册（原卷版+解析版）

专题18实数指数、指数函数 一、知识梳理 （1）实数指数 n个相同因子a的连乘积记作an，称为a的n次幂，其中a称为幂的底数，简称底，n称为幂的指数． 正整数指数幂的运算法则： 一般地，如果数b的n次方等于a，即bn=a(n∈N*，n>1)，那么称数b为a的n次方根． 规定当a≠0时，，. 当n为偶数时，正实数a的n次方根有两个，分别用和表示，其中称为a的n次算数根，负实数a的n次方根没有意义．当n为奇数时，实数a的n次方根只有一个，用表示．0的n次方根为0 ． 形如 (n∈N*，n>1)的式子称为a的n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数． 如果指数是最简分数，规定：;. 当a>0，b>0且p，q∈Q时，有理数指数幂有以下运算法则： ap·aq=ap+q； (ap)q = apq； (ab)p = ap·bp ． 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 当a>0，b>0且α ， β∈R时，有理数指数幂有以下运算法则： （2）指数函数 一般地，形如y=ax (a>0且a≠1)的函数称为指数函数，其中常数a称为指数函数的底数，指数x为自变量，x∈R． 指数函数y=ax (a>0且a≠1)的图像和性质: 特点 图像 性质 定义域：值域： 图像过点（0,1） 在上是增函数 在上是减函数 指数函数y=ax (a>0且a≠1)比较大小： 当时，指数x越大，函数值越大； 当时，指数x越大，函数值越小. 即：当被比较的两个数值是同一指数函数的两个函数值时，可利用函数的单调性，通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小． 二、题型精练 题型1 实数指数 【典例1】．计算：（     ） A．6 B．7 C．8 D． 【典例2】．设，下列计算中正确的是（       ） A． B． C． D． 题型2 指数函数 【典例1】．已知指数函数 的图像过点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【典例2】．下列是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．若，则函数的图像可能是（   ） A．    B．   B． C．   D．     三、知识检测 单选题 1．下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．81的四次方根是 2．计算（    ） A． B． C． D． 3．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若且，则下列算式正确的是（   ）. A． B． C． D． 5．已知则的值为（    ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 10．关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11．若指数函数是R上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 13．若函数 ，则（    ） A． B． C． D． 14．下列各点不在指数函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 15．对于指数函数且，下列说法中正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．函数图像分布在轴下方 D．函数图像分布在轴上方 填空题 16．若指数函数是增函数，那么的取值范围 . 17．指数函数（且）的图像经过点，则函数的解析式是 ． 18．已知函数且，若，则 . 19．将下列各分数指数幂写成根式的形式：      . 20． ． 21．计算： ． 22．若，则的结果为 . 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18实数指数、指数函数 一、知识梳理 （1）实数指数 n个相同因子a的连乘积记作an，称为a的n次幂，其中a称为幂的底数，简称底，n称为幂的指数． 正整数指数幂的运算法则： 一般地，如果数b的n次方等于a，即bn=a(n∈N*，n>1)，那么称数b为a的n次方根． 规定当a≠0时，，. 当n为偶数时，正实数a的n次方根有两个，分别用和表示，其中称为a的n次算数根，负实数a的n次方根没有意义．当n为奇数时，实数a的n次方根只有一个，用表示．0的n次方根为0 ． 形如 (n∈N*，n>1)的式子称为a的n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数． 如果指数是最简分数，规定：;. 当a>0，b>0且p，q∈Q时，有理数指数幂有以下运算法则： ap·aq=ap+q； (ap)q = apq； (ab)p = ap·bp ． 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 当a>0，b>0且α ， β∈R时，有理数指数幂有以下运算法则： （2）指数函数 一般地，形如y=ax (a>0且a≠1)的函数称为指数函数，其中常数a称为指数函数的底数，指数x为自变量，x∈R． 指数函数y=ax (a>0且a≠1)的图像和性质: 特点 图像 性质 定义域：值域： 图像过点（0,1） 在上是增函数 在上是减函数 指数函数y=ax (a>0且a≠1)比较大小： 当时，指数x越大，函数值越大； 当时，指数x越大，函数值越小. 即：当被比较的两个数值是同一指数函数的两个函数值时，可利用函数的单调性，通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小． 二、题型精练 题型1 实数指数 【典例1】．计算：（     ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据题意结合指数幂的运算法则即可得解. 【详解】， 故选：. 【典例2】．设，下列计算中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分数指数幂的运算，即可求解. 【详解】对于A，，错误； 对于B， ，正确； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 故选：B. 题型2 指数函数 【典例1】．已知指数函数 的图像过点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将点代入指数函数解析式中即可得解. 【详解】指数函数，则且，因为函数图像过点， 则，解得或（舍）， 故选：. 【典例2】．下列是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】选项A.中，不符合指数函数的定义. 选项B.的指数部分为，不符合指数函数的定义. 选项C.中的底数的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义. 选项D.中且中为指数函数. 故选：D. 【典例3】．若，则函数的图像可能是（   ） A．    B．   B． C．   D．     【答案】A 【分析】由指数函数的图象判断即可. 【详解】若，则函数，为指数函数在上单调递增，且定义域为， 故只有A选项的图象符合题意. 故选：A. 三、知识检测 单选题 1．下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．81的四次方根是 【答案】B 【分析】根据根式的运算即可求解. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，的四次方根是，故D正确. 故选：B. 2．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用负指数、零指数和奇次根式的运算：，，，求解即可. 【详解】，，， ∴原式. 故选：C. 3．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合根式的化简，即可求解. 【详解】对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确； 对于B，，当时无意义，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确. 故选：D. 4．若且，则下列算式正确的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算性质判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 5．已知则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】因为所以. 故选：A. 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数指数幂的运算法则及整式乘法即可求解. 【详解】对于选项A：，A错误； 对于选项B：，B错误； 对于选项C：，C错误； 对于选项D：，D正确.故选项D正确. 故选：D. 7．若，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算即可求解. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：D. 8．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】由于. 故选：C. 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】因为，则. 故选：B. 10．关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为，即， 又函数在定义域R上为单调增函数， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A. 11．若指数函数是R上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为指数函数是R上的增函数， 因此底数，即. 则的取值范围是. 故选：A. 12．若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为指数函数，当底数时在区间上单调递增. 因为，所以，故选项A错误，选项B正确. 因为，所以指数函数在区间上单调递减. 因为，所以，故选项C错误. ，故选项D错误. 故选：B. 13．若函数 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的定义结合指数函数求值即可求解. 【详解】因为，所以，故选项A正确. 故选：A. 14．下列各点不在指数函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义性即可求解. 【详解】因为指数函数，当时，，不在函数图像上，故选项C正确. 当时，.当时，，所以在函数图像. 故选：C. 15．对于指数函数且，下列说法中正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．函数图像分布在轴下方 D．函数图像分布在轴上方 【答案】D 【分析】根据指数函数的值域以及单调性求解即可. 【详解】对指数函数且，值域为，因此函数图像分布在轴上方，故选项D正确. 当时，指数函数在上是减函数. 当时，指数函数在上是增函数. 故选：D. 填空题 16．若指数函数是增函数，那么的取值范围 . 【答案】 【分析】指数函数的单调性列出不等式求解. 【详解】指数函数是增函数，则，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. 17．指数函数（且）的图像经过点，则函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】根据题意，将点的坐标代入函数解析式，可求解，即可得到函数的解析式. 【详解】指数函数（且）的图像经过点， 则，即， 解得，所以指数函数解析式为， 故答案为：. 18．已知函数且，若，则 . 【答案】4 【分析】根据题意，结合函数解析式，将坐标代入，即可求解. 【详解】因为函数且， 所以， 又，所以. 故答案为：4. 19．将下列各分数指数幂写成根式的形式：      . 【答案】 【分析】根据指数幂与根式的转换规则即可得解. 【详解】， ， 故答案为：；. 20． ． 【答案】1 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】原式， 故答案为：. 21．计算： ． 【答案】 【分析】根据指数的运算求解即可. 【详解】. 故答案为：. 22．若，则的结果为 . 【答案】/1.8 【分析】根据同底数幂的逆运算以及幂的乘方公式求解即可. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $