专题13 角的概念的推广及其度量、弧度制-（高教版）基础模块上册（原卷版+解析版）

专题13 角的概念的推广 及其度量、弧度制 一、知识梳理 （1）角的概念的推广及其度量、弧度制 任意角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角,按顺时针方向旋转形成的角称为负角, 如果一条射线没有做任何旋转,也认为形成了一个角,这个角称为零角. 为了方便,通常在平面直角坐标系中讨论角. 将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,此时角的终边在第几象限,就称这个角为第几象限角． 如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限，称为界限角．如, 0°,90°,180°,360°,−90°角都是界限角． 一般地,与角α终边相同的所有角构成的集合为 S={β|β=α+ k360°，k∈Z}，即，所有与角α终边相同的角都可以表示成角α与360°的整数倍的和. 规定，弧长等于半径(即 ) 的圆弧所对的圆心角称为１弧度的角. 记作“1rad” (读作“1 弧度”) ．以“弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制. 弧度制与角度制的换算公式： 扇形的弧长公式与面积公式： 弧长公式： 面积公式： 一些特殊角的角度值和弧度值的对应关系： 二、题型精练 题型1 角的概念的推广及其度量、弧度制 【典例1】． 下列说法中错误的有（   ） （1）小于的角都是锐角；（2）第二象限的角一定比第一象限的角大； （3）终边相同的角一定相等；（4）和的终边相同 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据任意角，象限角和终边相同的角的概念逐个分析即可. 【详解】小于的角不一定都是锐角，例，故（1）错误， 第二象限的角不一定比第一象限的角大，例为第二象限， 为第一象限角，但，故（2）错误， 终边相同的角不一定相等，例与，故（3）错误， ，所以和的终边相同，故（4）正确， 错误的有3个， 故选：C. 【典例2】．把化为角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将弧度转化为角度即可得解. 【详解】将化为角度为， 故选：. 【典例3】．若扇形的圆心角为，半径，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】由扇形面积公式，可得该扇形的面积. 故选：C. 三、知识检测 单选题 1．下列命题中正确的是（     ） A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角 C．钝角一定是第二象限角 D．终边和始边都相同的角一定相等 【答案】C 【分析】根据题意，结合任意角的概念，及象限角的定义，即可求解. 【详解】第一象限角也可能是负角，如为第一象限角且为负角，故A错误； 负角小于，但不是锐角，如，但不是锐角，故B错误； 钝角一定是第二象限角，故C正确； 终边与始边均相同的角不一定相等，它们可以相差，故D错误． 故选：C. 2．与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据终边相同角的定义逐项判断即可得解. 【详解】与终边相同的角的集合为， 当，解得，符合题意，故正确； 当，解得，不符合题意，故错误； 当，解得，不符合题意，故错误； 当，解得，不符合题意，故错误； 故选：. 3．设，则角所在象限是（   ） A．第一或第三象限 B．第三或第四象限 C．第二或第四象限 D．第一或第四象限 【答案】A 【分析】由各象限三角函数值的符号即可判断. 【详解】因为时，则与同号，故在第一或第三象限. 故选：A. 4．已知角，则的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】首先在之间找出与终边相同的角，再确定其象限即可. 【详解】已知角， 所以角与终边相同， 因为，终边落在第三象限， 所以的终边在第三象限， 故选：C. 5．已知角，则位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据象限角的概念与范围即可解答. 【详解】已知角， 因为，所以角为第三象限角， 故选：C. 6．角终边落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】将大角转化成成小角，结合终边相同角的概念即可求解. 【详解】， 所以角与角终边相同， 而角终边在第二象限，所以角的终边也在第二象限. 故选：B. 7．下列各角中，是界限角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据界限角的范围求解. 【详解】对于A选项，角的终边在第一象限，不属于界限角，故A选项错误； 对于B选项，角的终边在第二象限，不属于界限角，故B选项错误； 对于C选项，角的终边在轴的负半轴，属于界限角，故C选项正确； 对于D选项，角的终边在第四象限，不属于界限角，故D选项错误； 故选：C. 8．的终边在第几象限（   ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】找到与的终边相同的角进行判断即可. 【详解】因为，且在第三象限， 所以的终边在第三象限. 故选：C. 9．角弧度，则所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意求出弧度的取值范围即可得解. 【详解】角弧度，，∴角在第三象限， 故选：. 10．若扇形的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长公式即可求解. 【详解】因为， 由扇形弧长公式，可得该扇形的弧长为. 故选：C. 11．将角转换为弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角度制和弧度制之间的转化即可求解. 【详解】由，所以. 故选：B. 12．若将分针按快分钟，则分针旋转形成的角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合任意角的相关定义即可得解. 【详解】分针转一圈需要分钟，所以分针每分钟转的度数为， 分针转分钟，分针旋转形成的角为， 将转化为弧度为， 故选：. 13．下列命题正确的是（    ） A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限角 D．角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 【答案】C 【分析】根据题意，结合任意角的概念和象限角的范围，即可判断求解. 【详解】A，第二象限的角不都是钝角，如是第二象限角，但不是钝角，故选项A错误； B，小于的角可能是负角和零角，也可能是锐角，故选项B错误； C，，又是第三象限角， 故是第三象限角，故选项C正确； D，若角的终边在第一象限，即， 所以， 所以角的终边可能在第一、二、三象限，故选项D错误； 故选：C. 14．若扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将圆心角化为弧度制，再根据扇形的面积公式求值即可. 【详解】已知，且扇形的半径为2， 所以该扇形的面积为， 故选：B. 填空题 15．角是按 方向旋转形成的. 【答案】顺时针 【分析】利用负角的概念即可解答. 【详解】角是按顺时针方向旋转形成的. 故答案为：顺时针. 16．已知扇形的周长为，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意求出扇形半径与弧长，代入扇形的面积公式即可得解. 【详解】扇形的周长为，圆心角为2弧度， 设此扇形半径为，则扇形弧长为， 则，解得，则弧长为， ∴扇形的面积为， 故答案为：. 17．弧度与角度制的转换： （rad）. 【答案】/ 【分析】根据弧度与角度的转化公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 18．扇形面积为，弧长为，则半径是 . 【答案】6 【分析】利用扇形面积公式与弧长的关系，求解即可. 【详解】∵扇形面积为，弧长为， ∴由得. 故答案为：6. 19．扇形弧长为，半径为6，则圆心角弧度数是 . 【答案】 【分析】利用扇形弧长公式的逆用，求解即可. 【详解】由题意，圆心角弧度数 . 故答案为：. 20．若扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的弧长为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的转化，及弧长公式，即可求解. 【详解】因为扇形的圆心角为，半径为， 又， 所以扇形的弧长. 故答案为：. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 角的概念的推广 及其度量、弧度制 一、知识梳理 （1）角的概念的推广及其度量、弧度制 任意角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角,按顺时针方向旋转形成的角称为负角, 如果一条射线没有做任何旋转,也认为形成了一个角,这个角称为零角. 为了方便,通常在平面直角坐标系中讨论角. 将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,此时角的终边在第几象限,就称这个角为第几象限角． 如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限，称为界限角．如, 0°,90°,180°,360°,−90°角都是界限角． 一般地,与角α终边相同的所有角构成的集合为 S={β|β=α+ k360°，k∈Z}，即，所有与角α终边相同的角都可以表示成角α与360°的整数倍的和. 规定，弧长等于半径(即 ) 的圆弧所对的圆心角称为１弧度的角. 记作“1rad” (读作“1 弧度”) ．以“弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制. 弧度制与角度制的换算公式： 扇形的弧长公式与面积公式： 弧长公式： 面积公式： 一些特殊角的角度值和弧度值的对应关系： 二、题型精练 题型1 角的概念的推广及其度量、弧度制 【典例1】． 下列说法中错误的有（   ） （1）小于的角都是锐角；（2）第二象限的角一定比第一象限的角大； （3）终边相同的角一定相等；（4）和的终边相同 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】．把化为角度是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．若扇形的圆心角为，半径，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 三、知识检测 单选题 1．下列命题中正确的是（     ） A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角 C．钝角一定是第二象限角 D．终边和始边都相同的角一定相等 2．与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 3．设，则角所在象限是（   ） A．第一或第三象限 B．第三或第四象限 C．第二或第四象限 D．第一或第四象限 4．已知角，则的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知角，则位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．角终边落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．下列各角中，是界限角的是（     ） A． B． C． D． 8．的终边在第几象限（   ） A．一 B．二 C．三 D．四 9．角弧度，则所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．若扇形的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 11．将角转换为弧度为（    ） A． B． C． D． 12．若将分针按快分钟，则分针旋转形成的角为（     ） A． B． C． D． 13．下列命题正确的是（    ） A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限角 D．角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 14．若扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（    ）． A． B． C． D． 填空题 15．角是按 方向旋转形成的. 16．已知扇形的周长为，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为 . 17．弧度与角度制的转换： （rad）. 18．扇形面积为，弧长为，则半径是 . 19．扇形弧长为，半径为6，则圆心角弧度数是 . 20．若扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的弧长为 . 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $