专题12 数列通项与求和考法全归纳（复习课件）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考二轮复习课件聚焦数列通项与求和核心考点，依据高考评价体系梳理累加法、构造法、裂项相消等必备知识的考查要求，通过考情分析明确求通项公式（10个考向）和数列求和（5个考向）的高频考点分布，构建“知识框架+题型攻坚”的系统复习体系。 课件亮点在于“真题动向+命题预测+技巧突破”的实战设计，如针对a(n+1)=pa(n)+q型递推数列，通过构造等比数列培养学生的数学思维，针对错位相减求和总结“乘公比、错位减、化简”三步法提升运算能力。融入数学语言表达训练，助力学生规范答题，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

数列通项与求和考法全归纳 模块五 专题12 1 考点一 求通项公式 真题动向 必备知识 知识1 累加法 知识2 累乘法 知识3 构造法 知识4 取倒数法 知识5 利用与的关系 命题预测 考向1 用与关系 考向2 已知用累加法 考向3 已知用累乘法 考向4 已知用 考向5 已知用 考向6 已知用 考向7 已知用 考向8 已知用 考向9 已知用 考向10 已知用 考点二 数列求和 真题动向 必备知识 知识1 分组求和法 知识2 并项相加法 知识3 裂项相消法 知识4 错位相减法 命题预测 考向1 分组求和 考向2 并项求和 考向3 等差型、根式型裂项相消求和 考向4 指数型裂项相消求和 考向5 错位相减求和 2 3 命题轨迹透视 近三年全国卷中，数列求通项公式、求和为数列解答题核心考点，考查整体稳定.求通项多位于解答题前小问，依托等差、等比数列定义，结合累加法、累乘法、构造法等通法考查；求和以解答题为主、选填题偶现，除等差等比前n项和公式外，重点考裂项相消、错位相减等求和法，常与函数、不等式交汇，综合性较强，难度以中档为主. 核心考查非特殊数列求通项、求和的常规方法，注重公式变形与题型适配.能力上侧重数学运算素养，要求熟练掌握各类方法的解题步骤与运算技巧.   考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 求通项公式   甲卷（文）T17（1），5分 甲卷（理）T18（1），5分 甲卷（理）T17，5分 I卷T21（2），5分 求和 一卷T16（2），10分   甲卷（文）T17（2），7分 甲卷（理）T18（2），7分 甲卷（理）T17（2），7分 II卷T18（2），7分 2026命题预测 求通项公式、求和的考查将延续稳定态势，二者仍是数列解答题核心考点，选填题偶有涉及.求通项侧重累加法、累乘法、构造法等常规方法，求和重点考查裂项相消、错位相减法，常与函数、不等式简单交汇.整体难度中档，侧重数学运算与逻辑推理素养，强调通法灵活运用和解题步骤规范.   01 析·考情精解 4 5 02 构·知能框架 6 7 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 求通项公式 8 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 求通项公式 9 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 求通项公式 10 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 求通项公式 11 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 求通项公式 12 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 求通项公式 13 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 求通项公式 14 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 求通项公式 15 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 求通项公式 16 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 求通项公式 17 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 求通项公式 18 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 求通项公式 19 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 求通项公式 20 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 用与关系 求通项公式 21 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 用与关系 求通项公式 22 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 用与关系 求通项公式 23 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 用与关系 求通项公式 24 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 用与关系 求通项公式 25 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 已知用累加法 求通项公式 26 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 已知用累加法 求通项公式 27 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 已知用累加法 求通项公式 28 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 已知用累加法 求通项公式 29 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 已知用累加法 求通项公式 30 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 已知用累加法 求通项公式 31 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 已知用累乘法 求通项公式 32 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 已知用累乘法 求通项公式 33 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 已知用累乘法 求通项公式 34 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 已知用累乘法 求通项公式 35 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 已知用累乘法 求通项公式 36 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 已知用 求通项公式 37 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 已知用 求通项公式 38 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 已知用 求通项公式 39 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 已知用 求通项公式 40 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 已知用 求通项公式 41 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 已知用 求通项公式 42 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 已知用 求通项公式 43 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 已知用 求通项公式 44 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 已知用 求通项公式 45 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 已知用 求通项公式 46 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 已知用 求通项公式 47 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 已知用 求通项公式 48 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 已知用 求通项公式 49 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 已知用 求通项公式 50 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 已知用 求通项公式 51 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 已知用 求通项公式 52 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 已知用 求通项公式 53 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 已知用 求通项公式 54 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 已知用 求通项公式 55 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向8 已知用 求通项公式 56 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向8 已知用 求通项公式 57 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向8 已知用 求通项公式 58 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向8 已知用 求通项公式 59 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向8 已知用 求通项公式 60 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 题型9 已知用 求通项公式 61 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 题型9 已知用 求通项公式 62 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 题型9 已知用 求通项公式 63 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 题型10 已知用 求通项公式 64 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 题型10 已知用 求通项公式 65 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 题型10 已知用 求通项公式 66 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 题型10 已知用 求通项公式 67 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 题型10 已知用 求通项公式 68 考点二 03 破·题型攻坚 真题动向 数列求和 69 考点二 03 破·题型攻坚 真题动向 数列求和 70 考点二 03 破·题型攻坚 真题动向 数列求和 71 考点二 03 破·题型攻坚 真题动向 数列求和 72 考点二 03 破·题型攻坚 真题动向 数列求和 73 考点二 03 破·题型攻坚 真题动向 数列求和 74 考点二 03 破·题型攻坚 真题动向 数列求和 75 考点二 03 破·题型攻坚 真题动向 数列求和 76 考点二 03 破·题型攻坚 必备知识 数列求和 77 考点二 03 破·题型攻坚 必备知识 数列求和 78 考点二 03 破·题型攻坚 必备知识 数列求和 79 考点二 03 破·题型攻坚 必备知识 数列求和 80 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 分组求和 数列求和 81 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 分组求和 数列求和 82 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 分组求和 数列求和 83 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 分组求和 数列求和 84 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 分组求和 数列求和 85 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 分组求和 数列求和 86 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 分组求和 数列求和 87 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 分组求和 数列求和 88 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 并项求和 数列求和 89 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 并项求和 数列求和 90 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 并项求和 数列求和 91 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 并项求和 数列求和 92 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 并项求和 数列求和 93 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 并项求和 数列求和 94 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 等差型、根式型裂项相消求和 数列求和 95 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 等差型、根式型裂项相消求和 数列求和 96 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 等差型、根式型裂项相消求和 数列求和 97 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 等差型、根式型裂项相消求和 数列求和 98 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 等差型、根式型裂项相消求和 数列求和 99 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 等差型、根式型裂项相消求和 数列求和 100 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 等差型、根式型裂项相消求和 数列求和 101 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 等差型、根式型裂项相消求和 数列求和 102 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 指数型裂项相消求和 数列求和 103 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 指数型裂项相消求和 数列求和 104 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 指数型裂项相消求和 数列求和 105 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 指数型裂项相消求和 数列求和 106 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 指数型裂项相消求和 数列求和 107 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 指数型裂项相消求和 数列求和 108 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 指数型裂项相消求和 数列求和 109 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 错位相减求和 数列求和 110 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 错位相减求和 数列求和 111 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 错位相减求和 数列求和 112 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 错位相减求和 数列求和 113 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 错位相减求和 数列求和 114 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 错位相减求和 数列求和 115 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 错位相减求和 数列求和 116 考点二 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 错位相减求和 数列求和 117 【详解】(1)因为,当时,,即；当时,,即, 当时,,所以, 化简得：,当时,,即, 当时都满足上式,所以． 1．(2023.全国甲卷.高考真题,17,5分)设为数列的前n项和,已知． (1)求的通项公式； 【详解】(1)当时,,解得． 当时,,所以即, 2．(2024.全国甲卷.高考真题,17,5分)记为数列的前项和,已知． (1)求的通项公式； (2)若成等比数列,求的最小值． 【详解】(1)因为,即①, 当时,②, ①②得,,即, 即,所以,且,所以是以为公差的等差数列． 3．(2022.全国甲卷.高考真题,17,12分)记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； 所以,所以, 所以,当或时,． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由(1)可得,,,又,,成等比数列,所以, 即,解得,所以,即有. 则当或时,． (2)[方法一]：二次函数的性质 由(1)可得,,,又,,成等比数列,所以, ∴,∴,∴当时,, ∴,整理得：, 即,∴, 显然对于也成立,∴的通项公式； 4．(2022.新高考全国Ⅰ卷.高考真题,17,10分)记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (1)证明：数列是等差数列; 【详解】(1)由已知得,且,,取,由得, 由于为数列的前n项积,所以,所以, 所以,由于所以,即,其中 所以数列是以为首项,以为公差等差数列; (2)由(1)可得,数列是以为首项,以为公差的等差数列, ,,当n=1时,, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴. 5．(2021.全国乙卷.高考真题,19,12分)记为数列的前n项和,为数列的前n项积,已知． ∴,∴, ∴当时, 当时,,满足,∴的通项公式为, ∴∴是等差数列. 6．(2021.全国甲卷.高考真题,18,12分)记为数列的前n项和,已知,且数列是等差数列,证明：是等差数列. 【详解】∵数列是等差数列,设公差为 【详解】解：(1)[方法一]【最优解】：显然为偶数,则, 所以,即,且, 所以是以2为首项,3为公差的等差数列,于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知,所以． 由(为奇数)及(为偶数)可知, 数列从第一项起, 若为奇数,则其后一项减去该项的差为1, 若为偶数,则其后一项减去该项的差为2． 所以,则． 7．(2021.新高考全国Ⅰ卷.高考真题,17,10分)已知数列满足, (1)记,写出,,并求数列的通项公式； 适用于,求 具体过程： 两边分别相加得 适用于,求 具体过程：,两边分别相乘得 知识2 累乘法 (1) 形如且化为的形式,令, 即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. (2)形如且化为的 形式,令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. (3)形如(其中p,q均为常数)或(其中p,q,r均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以,得：,引入辅助数列(其中),得：. 知识3 构造法 数列满足:,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即. (当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 知识4 取倒数法 用消的3个步骤： 1 先利用求出; 2 用替换中的得到一个新的关系,利用便可求出 当时的表达式; 3 注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 知识5 利用与的关系 【详解】对于A, 注意到, , , , 由得, 故A正确; 对于B, 实际上, , , , 显然, 故B错误; 对于C, 由,与两式相减得, 可得, 即, 故C正确, 对于D, 注意到, 可得是递增数列, 故D正确. 1．(2024.辽宁本溪.一模)(多选)记为正项数列的前n项和,且,则(   ) A． B．是等差数列 C．是递增数列 D．是递增数列 (1)求的通项公式； (2)设,求数列的前项和. 【详解】(1)当时,,得, 当时,,得,整理得, 所以从开始成公比为3的等比数列,则.综上,； 当时,, 则, 两式相减,得, 所以也满足该式,故. 2．(2025.江西上饶.三模)记数列的前项和为,已知. (1)求的通项公式； (2)设,数列的前n项和为,证明：． 故当时,, 又,故也满足,综上,通项公式为； (2),故, 所以 . 3．(2024.江苏泰州.一模)已知数列的前n项和(p为常数),且． (2)若数列满足,证明：. 【详解】(1),当时,,,, ,, 当时,, ,, 是等差数列,公差,首项为,, ,,,验证时也成立,； (2),,,设,,,, . 4．(2025.黑龙江鹤岗.三模)已知正项数列的前项和为,且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列,求的前项和． 【详解】(1)因为,且, 整理可得,解得或(舍去)； 当时,则, 可得, 则,可得, 两式相减得,整理可得, 且,可得；且, 可知数列是以首项为2,公差为2的等差数列,所以. (2)因为, 所以. 5．(2024.浙江温州.模拟预测)设正项数列的前项和为,且满足． 所以,,,, 将上式累加可得, 所以,显然也满足, 所以. 6．(2024.辽宁大连.模拟预测)在数列中,已知,且,则 ． 【详解】由题设,当,, 所以,所以,因为在单调递减,在单调递增, 所以, 7．(2025.山东潍坊.一模)已知数列中,,且(n为正整数),则的最小值为 . 【详解】由题意有：,, ．显然满足上式,． 8．(2025.云南昭通.零模)已知数列满足,则 ； 【详解】,, 【详解】由, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列, 则得,因此有, 于是有. 9．(2025.浙江湖州.一模)若数列中,,则(    ) A． B． C． D． 【详解】因为数列满足,,当时,, 则, 也满足,故对任意的,. 此时,且,即, 当为偶数时,,数列中的偶数项单调递增, 此时,且,此时, 综上所述,数列中的最小项为,最大项为,若,都有, 其中、,当,时,取最小值,且其最小值为. 10．(2025.河北邯郸.零模)已知数列满足,,若,都有,其中、,则的最小值为(    ) A． B． C． D． (1)求； 【详解】(1),,∴, 当时,, 由累加法得 两边平方得当时,,满足上式,∴. (2)当时, 当时,,满足上式,∴,则, 利用错位相减法求前项和,将其设为, , , 两式相减得,故. 11．(2025.广西贵港.零模)记为数列的前项和,已知,,是公比为的等比数列. 【详解】由,得,当时,, 以上各式相乘,得,又,所以, 因为满足上式,所以, 12．(2025.浙江嘉兴.一模)已知数列满足,记的前项和为,则( ) A． B． C． D． 【详解】因为,则, 所以, 当时,, 当时,满足,所以数列的通项公式为. 13．(2025.山东淄博.零模)已知是数列的前项和,,,则的通项公式为( ) A． B． C． D． 【详解】,, . 14．(2024.河北廊坊.零模)在数列中,,,则(   ) A． B． C． D． 又由可得, 于是, 故. 15．(2025.湖南郴州.模拟预测)在数列中,若,则(    ) A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【详解】令,则由可得,则,又,则, , 上式对成立,所以,,则,故A正确； 又,即,故B正确； 当时,不等式左边,而不等式右边, 因不成立,可知不恒成立,故C错误； 对于D,设, 所以时,, 所以,代入,得, 当时,,因时,,,所以, 故恒成立,故D正确． 16．(2025.山东菏泽.模拟预测)(多选)记数列的前n项和为,且满足,．则(    ) A． B．是递增数列 C． D． 【详解】(1)由,得,而,则, 因此数列是以3为首项,3为公比的等比数列,,所以. (2)数列中,,当时,,解得. 整理得,则数列是首项为,公比为的等比数列, 因此,所以． 17．(2025.广东江门.模拟预测)(1)设数列满足,且,则数列的通项公式为 ． (2)已知数列的前项和为,且,则 ． ,  ., ,即,, ,的最大值是. 18．(2025.山东东营.零模)数列满足, 且,的前项和为,则满足不等式的的最大值是 . 【详解】,,且,是以为首项, 为公比的等比数列.   因为,所以数列是首项为1,公比为2的等比数列, 所以,所以,故． 19．(2024.浙江杭州.零模)已知数列满足,且,则(    ) A． B． C． D． 【详解】∵,∴,即, ∴数列是首项为,公比为的等比数列, ∴,故,∴. 20．(2025.湖北黄冈.模拟预测)已知数列满足,则(     ) A． B． C． D． 【详解】对A、B：由,得,因为, 所以,,⋯,,从而, 所以是首项为1,公比为的等比数列,所以, 即,所以,所以, 对C：由,易知是单调递增数列,C正确； 对D：, 当且仅当,即时取等,又为正整数,所以上述不等式等号不成立, 故当时,有最小值,D正确. 21．(2025.湖北荆门.模拟预测)(多选)已知数列满足,,则(    ) A．是等差数列 B．的前项和为 C．是单调递增数列 D．数列的最小项为 所以为等比数列,首项为,公比为, 所以,即, 因为为严格递增数列,所以,恒成立, 即,恒成立, 所以当为奇数时,恒成立,且当为偶数时,恒成立, 当为奇数时,恒成立, 因为随的增大而减小,所以,故, 当为偶数时,恒成立, 因为随的增大而增大,所以,故,所以,故, 所以满足条件的数列的个数为个. 22．(2025.四川资阳.三模)对任意正整数n有,且为严格增数列的的个数是(   ) A．0 B．1 C．2 D．无穷多 又,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列, 所以,故. 23．(2025.宁夏中卫.模拟预测)已知数列中,, 则数列的通项公式 ． 【详解】因为,所以, 【详解】,又 是以2为首项,2为公比的等比数列,. 25．(2025.安徽黄山.模拟预测)已知在数列中,,,则通项 ． 【详解】利用待定系数法构造新数列,, 又,则,所以． 令,是以为首项,公比的等比数列． ．即,． 当时成立,所以． 24．(2025.云南曲靖.零模)已知数列的前n项和为,,且,则通项公式为 . 26．(2025.广东阳江.一模)已知数列满足,,求出数列的通项公式. 【详解】因为,令,即, 得,,故,因为, 所以,所以数列是首项为,公比为3的等比数列, 得,所以. 所以,即,故, 令,则,所以数列是递增数列, 因为,, 当时,,即,所以的最小值为6． 27．(2025.黑龙江牡丹江.一模)已知首项为2数列的前项和为,且．若, 则的最小值为 ． 【详解】由,得,所以数列是首项为,公差为1的等差数列, (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 【详解】(1)由于,则,化简得, 又,则是以为首项,为公比的等比数列,得,所以． (2)由(1)得,,则,则,① ,② ①②,得 ． 28．(2025.安徽铜陵.一模)已知数列{}的首项 且满足 (2)设,记数列的前项和为． ①求； ②若,成立,求的取值范围． 【详解】(1)由,得, 因此数列是以为首项,3为公差的等差数列, , 29．(2025.河北衡水.一模)已知数列满足, (1)求数列的通项公式； 则, ,所以. ②由,,得,，令,不妨设的第项取得最大值, 由,解得,即数列的最大值为, 所以,即的取值范围是. (2)①由(1)得,,, 于是, 【详解】选项A,由题意得,A正确； 选项B,将两边同时除以,得,即, 则是首项为,公差为的等差数列,不是等比数列,错误； 选项C,由,得, 所以①,则②, ①-②得,,, 选项D,因为, 所以,D正确. 30．(2024.河南南阳.模拟预测)(多选)已知数列的前项和为,则(    ) 【详解】因为,则,可知数列是以首项,公差的等差数列, 可得,所以,故A正确,B错误； 设的前n项和为,则,可得, 所以,故C正确,D错误； 31．(2025.广东汕尾.模拟预测)(多选)数列满足,若,则(    ) A． B． C．的前n项和为 D．的前n项和为 数列是各项均为的常数列, ,即,又,, ,；,由得：； 当为偶数时,,数列为递增数列,,； 当为奇数时,,数列为递减数列,,； 综上所述：实数的取值范围为. 32．(2025.江苏南通.零模)已知数列满足,且,,对,,则数列的通项公式是 ；实数的取值范围是 . 【详解】由得：,又, (2)已知数列满足,求的前项和. ,则是首项为4,公比为2的等比数列, 由是首项为4,公比为2的等比数列,则, ,即数列是首项为2,公差为1的等差数列, ,则； (2), 则 . 33．(2025.辽宁盘锦.零模)已知数列满足,且. (1)证明：是等比数列,并求的通项公式； (2)记,数列的前项和为,求使的的最小值. 【详解】(1) ,,, 当时, ,故数列是公比为2的等比数列． , 当时, (2)由(1)知, , 由得,即,因为为正整数,所以的最小值为1006. 34．(2025.广东佛山.一模)已知数列中,, (1)证明数列是等比数列,并求出数列的通项公式； (2)在(1)的条件下,是否存在,使得成等比数列？ 【详解】(1)由得,． 所以,当时,有． 于是,,,…,,, 叠加得,, 又当时,也适合．所以,． (2)假设存在,使成等比数列,由(1)知,, 由得,,整理得,． 由可知,当时,,又当时,,当时,, 当时,,所以,当时,存在,使成等比数列． 35．(2025.江苏扬州.零模)已知数列满足． (1)若,求数列的通项公式； 【详解】由,得,所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列, 所以,所以. 36．(2025.辽宁朝阳.零模)已知数列中,,则(    ) A． B． C． D． 而,,所以,得,故A正确； 所以,得,故B正确； 令,解得,对于, 为正,且依次递增；为负,且依次递增,所以,故C错误； ,故D正确. 37．(2025.湖北宜昌.零模)(多选)已知数列中,,,,其前项和为,则(   ) A． B． C． D． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为,求证：. 【详解】(1)由题设条件,可得若,则, 用反证法,假设,由题设条件,显然,这与已知条件矛盾,所以. 因为,所以,,,所以,, 由得,所以, 又,所以是首项、公比均为的等比数列.所以,则. (2)显然时,成立,当时,,所以, 所以.综上,,得证. 38．(2025.辽宁沈阳.零模)已知数列满足,. (2)记,数列的前项和为,证明：． 【详解】(1)由两边同时除以,可得, 故数列是以2为首项,2为公比的等比数列,所以,即. (2)证明：因为, 所以. 因为, 所以,即. 39．(2025.湖北荆州.零模)已知数列的前项和为,且． (1)求数列的通项公式； 所以数列是以为首项,为公差的等差数列, 所以,即,所以． 40．(2024.四川内江.一模)已知数列中,,且,则 ． 【详解】由,可得,即,又, (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 又,所以是以为首项,为公差的等差数列,所以,故. (2)由(1)得, 所以 . 41．(2024.河北承德.一模)已知数列满足,. 因为,所以,所以, 所以是首项为2,公比为2的等比数列,所以,则, 所以数列的前8项和. 42．(2025.广西钦州.零模)已知数列满足,则数列的前8项和 ． 【详解】(1)由得   又,数列是以为首项,以为公比的等比数列. (2)由(1)的结论有         ①   ② ①②得： ， 又为递增数列,. 43．(2025.四川泸州.零模)已知数列的首项为,且满足. (1)求证：数列为等比数列； 【详解】因为,,故,, 依次可得,,,,,, 故 44．(2025.广东梅州.模拟预测)已知数列满足,,则(    ) A．1002 B．1023 C．1024 D．1005 【详解】因为正项数列中,,显然,所以, 所以对两边同时取对数,可得, 所以,所以是以为首项,为公比的等比数列, 所以,所以,所以. 45．(2025.云南临沧.模拟预测)已知正项数列中,,则该数列的通项公式是(    ) A． B． C． D． 令,则,则, 则, 即,由于当时,, 当时,,当时,,所以的最小值为3． 46．(2025.广东深圳.三模)若数列满足,且,则使成立的的最小值为 ． 【详解】因为,所以,则,即, 故数列是以为首项,为公比的等比数列,所以, 所以,所以,所以． 47．(2024.甘肃兰州.模拟预测)数列满足,,则的值为 ． 【详解】因为,所以, 所以是以2为公比,首项为为首项的等比数列, 即,即, 所以的通项公式为. 48．(2025.湖北黄石.一模)已知数列 满足 ,则 的通项公式为 . 【详解】两边取对数可得, 故对折4次可得到如下规格：,,,,,共5种不同规格； (2)由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对着后的图形,不论规格如何,其面积成公比为的等比数列,首项为120,第n次对折后的图形面积为,对于第n此对折后的图形的规格形状种数,根据(1)的过程和结论,猜想为种(证明从略),故得猜想, ,因此,. 1．(2021.新高考全国Ⅰ卷.高考真题,16,5分)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次,那么 . 【详解】(1)由对折2次共可以得到,,三种规格的图形,所以对着三次的结果有：,共4种不同规格(单位； (2)给定正整数m,设函数,求． 【详解】(1)由题意证明如下,, 在数列中,,, ∴,即, ∴是以为首项,1为公差的等差数列. 2．(2025.全国一卷.高考真题,16,15分)已知数列中,,. (1)证明：数列是等差数列； 在数列中,首项为3,公差为1, ∴,即, 在中,, ∴, ∴, ∴∴ . (2)由题意及(1)得,, (2)记和分别为和的前n项和．证明：． 所以,所以,即,解得, 所以,所以. 3．(2021.全国乙卷.高考真题,19,12分)设是首项为1的等比数列,数列满足．已知,,成等差数列． (1)求和的通项公式； ． 设,    ⑧则．     ⑨ 所以．因此．故． (2)作差后利用错位相减法求和 ,, (2)求数列的前n项和． 【详解】(1)因为,当时,,即；当时,,即, 当时,,所以, 化简得：,当时,,即, 当时都满足上式,所以． 4．(2023.全国甲卷.高考真题,17,5分)设为数列的前n项和,已知． (1)求的通项公式； 两式相减得, ,即,． (2)因为,所以, , 【详解】(1)当时,,解得． 当时,,所以即, 而,故,故, ∴数列是以4为首项,为公比的等比数列,所以. (2), 故所以 ,. 5．(2024.全国甲卷.高考真题,17,5分)记为数列的前项和,已知． (1)求的通项公式；答案为： (1)适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 (2)适用于的形式 适用于通项公式中含或,该数列的相邻两项(三项或多项)并成“大项”之后, 各个“大项”又呈现出有规律特征,进而通过“大项”的求和得出结果 知识2 并项相加法 (1)等差型: (2)根式型： (3)指数型：, 具体过程：两边分别相加得 适用于,其中中一个是等差数列,另一个是等比数列-求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和. 知识4 错位相减法 【详解】设等比数列的首项为,公比为,显然且. 设等差数列的首项为,公差为,, ∴,,所以. 数列中的项从小到大依次为2,4,8,16,32,64,128,…, 依题意可知新数列的前50项中,数列的项只有前6项,数列有44项, 所以. 1．(2024.河南周口.一模)已知各项递增的等比数列,等差数列其前项和分别为,满足.将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列,则数列的前50项和(     ) A．2106 B．2196 C．2234 D．2550 (1)求和的通项公式； (2)若,求的前n项和. 所以；设等比数列的公比为, 若,则,显然无解,所以.所以,所以,解得,所以. 2．(2025.安徽阜阳.一模)已知等差数列满足,；等比数列的前3项和为7,前6项和为63. 因为,, 所以.即的前n项和为. (2)设数列的前n项和为, 则. (2)设数列的前项和为,求. 【详解】(1)设等差数列的公差为,则解得或 (2)因为 ,所以. 3．(2025.海南三沙.模拟预测)已知正项等差数列满足,且成等比数列. (1)求的通项公式； 【详解】(1)设等差数列的公差为,因为,所以,即, 所以,即,当时,, 当时,,满足上式,所以. 则 所以数列的前项和为. 4．(2024.山东济南.模拟预测)设为数列的前项和,已知,且为等差数列. (1)求的通项公式； (3)求的前项和． 【详解】(1), 所以数列是以为首项,3为公比的等比数列； , 所以数列是以为首项,2为公比的等比数列； 5．(2025.陕西宝鸡.零模)已知数列,满足,且,． (1)求证：和均为等比数列； 由①-②得：,所以； (3)因为, . (2)由(1)可知,①,② 由①②得：,所以, (2)设,求数列的前项和. 所以,, 因为正项等差数列,所以,所以. (2)因为,即, 奇数项和为,偶数项和为, 所以数列的前项和. 6．(2025.宁夏银川.模拟预测)已知正项等差数列． (1)求的通项公式； 当为奇数时,,当为偶数时,, . 7．(2025.海南三亚.模拟预测)已知数列的通项公式是,,设的前项和为,则 , 【详解】, (1)求数列的通项公式； (2)记,求数列的前项和． 由得,解得, 所以,即数列的通项公式为. (2)由(1)知,所以,因为, 所以数列的前项和 8．(2024.甘肃天水.零模)设等差数列的前项和为,已知． 【详解】当为奇数,由题可得,即数列所有奇数项为首项为1,公差为1的等差数列, 当为偶数,由题可得,即数列所有相邻偶数项和为1, 则, 从而. 9．(2024.河北沧州.零模)在数列中,,.记是数列的前项和,则(    ) A．1325 B．1300 C．1350 D．1375 (2)若数列满足,求数列的前2n项和． 【详解】(1)解：设等差数列的公差为, 因为,所以,即,即 又因为成等比数列,所以,即,即, 10．(2025.四川绵阳.一模)在公差不为0的等差数列中,已知,,成等比数列, , 因为,即, , 所以,所以数列的前2n项的和为． (2)解：由(1)知,, 所以 (2)设,求数列的前n项和． 【详解】(1)由,有,又, 所以数列是首项为2,公差为2的等差数列,则有,所以数列通项公式. (2)设, 为奇数时,；为偶数时,. 为奇数时, (1)求数列通项公式． 【详解】依题意,, 12．(2025.湖南长沙.一模)数列的通项公式为,则这个数列 的前63项之和为(     ) A． B． C． D． 【详解】由题意可得,则数列是以为首项,为公差的等差数列, 则,由,故,即(负值舍去), 故,故, 13．(2024.河南郑州.模拟预测)定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起,每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等方差数列,这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列,且方公差为2,,则数列的前项和(     ) A． B． C． D． (2)若,令,求数列的前项和. 【详解】(1)当时,,当时,, 所以, 14．(2025.吉林白山.零模)高三数学试题)已知数列的前项和为,且(为常数,且). (1)求的通项公式； 当时,,即, 所以,当时,,当时,, 所以, 当 时, 也满足,综上, . (2)若,由(1)即,得,所以,时,, 即,所以,当时,,即, (2)设,数列的前项和为,证明：. 【详解】(1)当时,,移项得,故. 当时,, 化简得,即.因此是首项为3、公比为3的等比数列,故. 15．(2024.云南丽江.三模)已知数列的前项和为,且. (1)求数列的通项公式； (1)证明：为等差数列,并求. (2)若,求数列的前项和. 【详解】(1), 所以数列是以为首项,为公差的等差数列,所以； 16．(2025.湖北随州.模拟预测)已知数列的前项和为,若,且. (2)设求证： 【详解】(1)证明：数列的前项和为,且． 可得, 17．(2024.陕西榆林.零模)已知数列的前n项和为,且 (1)求证：是等比数列,并求出的通项公式； 18．(2025.山西临汾.零模)已知等差数列的首项,且满足. (1)求数列的通项； (2)设,数列的前项和,证明. 【详解】(1)因为时,,又,所以(), 即数列是以4为首项,公比为4的等比数列,所以,. (2)因为,所以, 19．(2025.贵州贵阳.零模)已知数列满足,(,). (1)求证：是等比数列,并求； (2)数列的前项和． 【详解】(1)当时,由,①得,② 由①-②得,,所以． 又,且,所以,且． 20．(2024.安徽淮南.三模)已知数列的前项和为,且．求证： (1)数列为等比数列； 所以． 所以, ．又,所以,． (2)由(1)得数列为以2为首项,3为公比的等比数列, 所以,所以,所以, (1)求,的通项公式； (2)设,为数列的前项和,若恒成立,求实数的取值范围. 【详解】(1)令,得.①, ②, 由①-②得,即. 经检验,也成立,故数列的通项公式为, 设等差数列的公差为. 21．(2024.广西南宁.模拟预测)数列满足,各项均为正数的等差数列的前项和为,4是,的等比中项,且. 因为,所以,. 若恒成立,则,解得或. 所以实数的取值范围为 (2).则 . (2)设,求数列的前项和. 【详解】(1)由题意,得时,,又,所以, 所以数列是以4为首项,公比为4的等比数列,所以,所以. (2)因为,所以. 所以 (1)求证：是等比数列,并求； (1)求数列的通项公式； (2)设,,求数列的前n项和. 【详解】(1)由得,可知 两式相减得,,即,即 因为数列是正项数列,所以,所以,即, 又时解得,所以数列是首项为1,公差为的等差数列, 数列的通项公式为； . 23．(2025.福建泉州.一模)设正项数列的前n项和,满足. (2)设,求数列的前项和． 【详解】(1)由已知得①, 联立①②,得,解得或, 24．(2025.广西来宾.模拟预测)设是等差数列,是各项都为正数的等比数列．且,,,． (1)求,的通项公式； , 两式相减得 ．∴. (2)由题意及(1)及,故, ∴, (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【详解】(1)设,则,,则, 所以是首项为,公比也为的等比数列,所以,则； (2),则,则, 所以,故. (1)证明：数列是等差数列； (2)设,求数列的前项和. 【详解】(1)因为,,,即, ,即,是1为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)知,,, 故①, ②, 两式相减得,,所以. (1)求证：数列是等差数列； (2)若,求数列的前项和. 【详解】(1)因为数列是等差数列,且,所以, 所以的首项为,公差为,所以,所以, 当时,, 所以(常数),所以数列是以为公差的等差数列. (2)由(1)知数列是以为公差的等差数列,因为,所以公差为2, 27．(2025.江苏南京.零模)已知数列的各项均为正数,记为的前项和,若数列是等差数列,且,. (1)求的通项公式； (2)设,求数列的前项和． 【详解】(1)第1步：对已知等式变形 28．(2025.甘肃武威.零模)已知正项数列满足,． (2)记,若数列的前n项和为,数列的前n项和为,探究：是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由． 【详解】(1)设等差数列的公差为d, 由已知,可得解得∴, 又,∴,又, ∴数列是等比数列,首项为4,公比为4,∴,∴. (1)求数列,的通项公式； ①-②,得,∴, 又,则其前n项和为, ∴,∴为定值2． ∴②； $