专题03 离散型随机变量数字特征五大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题03 离散型随机变量数字特征五大常考题型 题型一：求离散型随机变量的均值与方差 题型二：均值与方差的性质 题型三：利用均值求参数 题型四：超几何分布的均值 题型五：两点分布的均值 题型一：求离散型随机变量的均值与方差 1．某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束．甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 若比赛结束时甲队获胜的场数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据，列出式子可以解出的值，然后逐项验证即可. 【详解】由题意可得: 时，前三场甲输，未进行后两场比赛， 所以，则．A正确 时，前3场甲1胜2负，第4场甲负，未进行第五场 ，解得．B错误 由题意知所有的可能取值为0，1，2，3，则 ， 甲胜率表如下所示： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 时，前4场甲2胜2负（含1和3胜；2和4胜；1，3中胜一场，2，4中胜一场三大类），第5场甲负 ， 时，前3局全胜未进行后2场比赛；前3局甲胜2场，第4场甲胜，未进行第五场比赛；前4场甲2胜2负，第5场甲胜（因第5场甲胜负概率相同，所以此时概率等于） ，C正确 所以的分布列为 0 1 2 3 故．D错误 故选：AC 2．甲、乙两人进行球类比赛，有二种赛制，赛制一：比赛采用5局3胜，先赢3局者获胜，比赛结束．记采用赛制一甲获胜为事件，甲获胜时比赛的局数为．赛制二：比赛赛满5局，赢的局数多者获胜，比赛结束．记采用赛制二甲获胜为事件，甲获胜时甲赢的局数为．已知每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛结果相互独立．则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】赛制一中甲获胜的情况为：甲连续赢3局，甲赢3局输1局，甲赢3局输2局共3种情况；赛制二中甲获胜的情况为：甲赢3局输2局，甲赢4局输1局，甲赢5局输共3种情况；分别求出相应情况的概率，即可求解相应的期望值，从而可求解. 【详解】AB：赛制一中甲获胜的情况为：甲连续赢3局，甲赢3局输1局，甲赢3局输2局共3种情况： 所以，故A错误； ，，， 所以：，故B正确； CD：赛制二中甲获胜的情况为：甲赢3局输2局，甲赢4局输1局，甲赢5局输共3种情况： 所以，故C正确； ，，， 则，故D正确. 故选：BCD. 3．现有装有若干黄球和若干白球的不透明盒子，下列说法正确的是（   ） A．从盒子中摸出一个球，记录黄球的个数，则服从两点分布． B．从盒子中不放回的依次取4个球，则这个试验是4重伯努利试验． C．利用样本估计总体中黄球的比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠 D．用X表示有放回方式下摸出黄球的个数，已知，则 【答案】ACD 【分析】利用两点分布、伯努利试验AB；利用有放回、无放回可靠性判断C；利用期望的性质计算判断D. 【详解】对于A，从盒子中摸出一个球，记录黄球的个数，的可能取值为0（白球）或1（黄球）， 因此服从两点分布，其中成功概率为黄球比例，A正确； 对于B，从盒子中不放回的依次取4个球，每次取到黄球概率不同，不是4重伯努利试验，B错误； 对于C，利用样本估计总体中黄球的比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：ACD 4．已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据古典概型概率公式，结合组合数公式，即可判断AB，，，再代入概率公式，判断C，代入超几何分布期望公式，判断D. 【详解】由题意可得，故A正确； ，，故B正确； ， ， 故，故C错误； 因为X，Y均符合超几何分布，所以，，故D正确. 故选：ABD. 5．已知随机变量的分布列为 0 1 若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由分布列的性质得到，再由求解即可； 【详解】由分布列的性质，得， ． ． ， ． 故选：B 6．甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），且甲、乙、丙都打中的概率是，用表示甲、乙两人中靶的人数，则的数学期望是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由独立事件乘法公式求得，进而结合分布列求解即可； 【详解】依题意，甲、乙、丙都打中的概率， 解得（负值已舍去）， 所以乙打中的概率为． 由题意可得，的可能取值为0，1，2， 且， ， ， 所以． 故选：D． 7．已知离散型随机变量的分布列为 0 1 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量的分布列求出，再利用数学期望的性质即可求出. 【详解】， ． 故选：C. 8．已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先应用概率和为1得出，再计算数学期望，利用期望的性质判断各个选项. 【详解】由，得，故A正确； 则故B正确； 因，故C正确； 因故D错误. 故选：ABC. 9．设，随机变量的分布列如下： ξ 0 a 2 P a 当a增大时，有（   ） A．增大，先减小后增大 B．减小，减小 C．增大，先增大后减小 D．减小，增大 【答案】C 【分析】先根据分布列表求得的表达式，即可判断其单调性，然后列出变量的分布列表，同法求得的表达式，进而得到的表达式，利用二次函数的性质即可判断的单调性. 【详解】由随机变量的分布列表可知，，故单调递增； 因随机变量的分布列如下： 0 4 P a 所以， 则． 因为，而，所以先增大后减小． 故选：C. 10．下表显示某组32名学生饲养宠物的数目的分布．若从该组中随机选出一名学生，则选出的学生饲养宠物的概率是． 宠物的数目 0 1 2 3 学生人数 13 2 (1)求和的值． (2)求该分布的标准偏差． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）结合题意并利用概率公式建立方程组，求解参数即可. （2）结合分布列求解均值和方差，进而得到标准偏差即可. 【详解】（1）由总人数为32，可得， 由题可知 ，解得，. （2）设均值为，设方差为，标准偏差为， 由均值公式得， 由方差公式得 ， 则. 题型二：均值与方差的性质 11．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由离散型随机变量分布列的性质可得的值，再利用期望公式与期望的性质求解即可. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可得，解得，故A错误，B正确; 由期望公式可得，故C正确; 错误. 故选：BC. 12．某一随机变量X的分布列如下表，且，则 . X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 【答案】8 【分析】根据题意可得，即可求得的值，进而结合期望公式可求得，进而得到. 【详解】由题意，得，解得， 所以， 所以. 故答案为：8. 13．端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 【答案】 【分析】由条件确定的可能取值，再求其取各值的概率，由期望公式求，再根据期望性质求结论. 【详解】依题意，的可能取值是， 则，，， 故， 故． 故答案为：. 14．已知随机变量服从二项分布，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由二项分布的期望公式以及期望的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得，故，又，解得． 故答案为： 15．已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质可得，进而可得，再根据期望的性质分析求解. 【详解】由分布列可得，解得， 则， 所以. 故选：C． 16．已知随机变量的概率分布如表则（ ） 1 2 4 A．1 B． C．11 D．15 【答案】D 【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解. 【详解】依题意，，解得， 则， 所以. 故选：D 17．在篮球比赛中，罚球1次命中得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分，则 . 【答案】20 【分析】根据均值性质即可得到答案. 【详解】因为，所以. 故答案为：20. 18．若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据两点分布得，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以，故A正确； ，故D错误； ，故B正确； ， 故C错误. 故选：AB 19．已知随机变量的分布列为 0 1 (1)求的期望和方差； (2)设，求的期望和方差． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用方差和期望的公式可求得结果. （2）利用均值和方差的性质求解. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， . 20．某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组 频数 5 25 40 20 10 (1)估计样本的中位数； (2)从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，，记． （i）求的分布列及期望； （ii）求． 【答案】(1)65 (2)（i）分布列见解析，数学期望为1；（ii）. 【分析】（1）根据中位数的定义确定体重区间，进而可求得中位数的值. （2）（i）首先确定分层抽样的比例，然后确定的可能取值，并计算相应的概率，列出分布列，计算出期望；（ii）根据方差公式求出的值. 【详解】（1）因为，， 故样本的中位数落在内，                            又，故中位数为 （2）（i）和的人数比为，          分层抽样抽取学生6人中，和的人数分别为和， 故这6人中随机抽取3人，的可能取值为，对应的的取值为， 所以的可能取值为，                         ，，，    故的分布列为 期望为，              （ii）由（i）知 ， 所以． 题型三：利用均值求参数 21．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4. ．又X的均值，则＝ . 【答案】 【分析】根据概率和为1和均值的定义列出关于的方程组，解出即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 解得，，所以， 故答案为：. 22．已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（   ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 23．已知随机变量的分布列如下： 0 1 且，则 . 【答案】4 【分析】由分布列的期望公式解得. 【详解】， 即，解得. 故答案为：4. 24．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析两局得分的可能取值，求出相应的概率，由数学期望公式和已知数学期望得，通过基本不等式求的最大值. 【详解】比赛两局的得分可能的取值为0，1，2，3，4，6， ，，，，，， 则， 则有，得，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 25．设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ） X 0 1 2 3 P a b A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出，得到答案. 【详解】由题意得，， 解得， 故. 故选：B 26．若随机变量Z的分布列为 Z 1 2 3 P 0.5 x y 且，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合分布列的性质和期望的公式，列出方程组，即可求解. 【详解】根据题意，可得，解得，所以. 故选：C. 27．已知随机变量满足，其中，若，则 ， ． 【答案】 【分析】根据分布列的性质以及期望公式即可求出的值. 【详解】由， 可得，，， 所以，则， 又，则. 故答案为：；. 28．设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4．．又的数学期望，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数学期望计算公式及概率和为，构造方程组求得，进而得到结果. 【详解】， ①； 又②， 由①②可解得：，，. 故选：A. 29．若随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b 且，则a，b分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质和期望公式列方程求即可. 【详解】由已知，根据分布列的性质可得，，， 因为，所以， 解得， 故选：A. 30．甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得的值． 【详解】随机变量可能的取值为2，3． ， ， 故的分布列为： 2 3 故， 由，解得或． 故选：D． 题型四：超几何分布的均值 31．是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）. （1）在这15天的日均监测数据中，求其中位数； （2）从这15天的数据中任取2天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列及数学期望； （3）以这15天的日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级. 【答案】（1）45；（2）分布列见解析，；（3）219. 【分析】（1）由茎叶图从小到大找到第8个数，即为中位数； （2）由于假设记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出2天，超标的有6天，未超标的有9天，服从超几何分布，求出分别取的概率，列出分分列，求出数学期望； （3）先计算一年中每天空气质量达到一级或二级的概率，则一年中空气质量达到一级或二级的天数为服从二项分布，根据二项分布的期望公式求出期望． 【详解】（1）由茎叶图可得中位数是45. （2）依据条件，服从超几何分布： 其中，，，的可能值为， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 P . （3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为， 一年中空气质量达到一级或二级的天数为， 则，， ∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级. 32．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值. 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 则，，，. 因此，随机变量的数学期望为. 故选：A. 33．为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表. （1）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？ （2）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （3）试判断男学生完成套卷数的方差与女学生完成套卷数的方差的大小（只需写出结论）. 【答案】（1）（2）详见解析（3） 【分析】(1)根据组合的方法求解所有可能的情况与满足条件的情况数再计算概率即可. (2)的取值为0,1,2,3,4.再根据超几何分布的方法求分布列与数学期望即可. (3)直接根据数据观察稳定性判断与的大小即可. 【详解】解：（1）设事件：从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生完成套卷数之和为4, 由题意可知,. （2）完成套卷数不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故的取值为0,1,2,3,4. 由题意可得； ； ； ； . 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的均值. (3). 34．一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是，则袋中的白球个数为 ，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝ ． 【答案】 5 【分析】根据至少得到一个白球的概率为，可得不含白球的概率为，结合超几何分布的相关知识可得白球的个数，以及随机变量的期望，得到答案． 【详解】依题意，设白球个数为，至少得到一个白球的概率是，则不含白球的概率为， 可得，即，解得， 依题意，随机变量，所以． 故答案为：5，． 35．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大? 【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为，，由于，，分别写出分布列，再求期望值均为； （2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：， ∴，，， ∴X的分布列为： X 1 2 3 P ∴． ， ∴，， ，， ∴Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P ∴． （2）， ， ∵， ∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 36．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动. (1)求所选3人中恰有一名男生的概率 (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列及数学期望 【答案】（1）；（2）见解析. 【分析】（1）先求出所选人中恰有一名男生的选法种数，然后利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率； （2）的可能取值为、、、，然后利用超几何分布概率公式求出相应的概率，即可得出随机变量的分布列，并计算出其数学期望. 【详解】（1）从某小组的名女生和名男生中任选人，共有种， 所选人中恰有一名男生，有种， 故所选人中恰有一名男生的概率为； （2）随机变量的可能取值有、、、， ，，， . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，随机变量的数学期望为. 37．某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题． (1)求甲选手能晋级的概率； (2)若乙选手每题能答对的概率都是，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平． 【答案】（1）；（2）乙选手比甲选手的答题水平高 【分析】（1）解法一：分类讨论，事件“甲选手能晋级”包含“甲选手答对道题”和“甲选手答对道题”，然后利用概率加法公式求出所求事件的概率； 解法二：计算出事件“甲选手能晋级”的对立事件“甲选手答对道题”的概率，然后利用对立事件的概率公式可计算出答案； （2）乙选手答对的题目数量为，甲选手答对的数量为，根据题意知，随机变量服从超几何分布，利用二项分布期望公式求出，再利用超几何分布概率公式列出随机变量的分布列，并计算出，比较和的大小，然后可以下结论． 【详解】解法一：（1）记“甲选手答对道题”为事件，，“甲选手能晋级”为事件，则． ； （2）设乙选手答对的题目数量为，则，故， 设甲选手答对的数量为，则的可能取值为， ，，， 故随机变量的分布列为 所以，，则， 所以，乙选手比甲选手的答题水平高； 解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件，则； （2）同解法二． 38．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出． 【详解】随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)． 所以，随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 随机变量X的数学期望E(X)＝. 39．随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表. 年龄（单位：岁） ， ， ， ， ， ， 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 5 10 12 7 2 1 （Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关； 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 （Ⅱ）若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值. 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析. 【分析】（Ⅰ）根据频数分布表补全列联表，代入公式可求得，从而可知有的把握；（Ⅱ）根据分层抽样的方法可知抽取的人中，支持微信支付人，不支持微信支付人，根据超几何分布的特点求得分布列和数学期望. 【详解】（Ⅰ）由频数分布表得列联表如下： 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 13 合计 有的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关 （Ⅱ）年龄在中支持微信支付人，不支持微信支付6人 由分层抽样方法可知：抽取的人中，支持微信支付人，不支持微信支付人 设人中不支持微信支付的人数为，则所有可能的取值为： ，， 的分布列为： 40．某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；②打折更划算 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①由题意刚好可以抽三次，每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元，从而可求出所求概率； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题意X可能取值为20，30，50， 则，，， 则X的分布列如下表： X 20 30 50 P 由期望公式可得； （2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元， 则概率为； ②若打九折，需支付金额为：（元） 由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元）， 因为，故打折更划算． 题型五：两点分布的均值 41．小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式即可得， （2）利用数学期望的性质，结合两点分布的期望公式即可得解. 【详解】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件， 小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件， ， 故在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率为， （2）设表示第位同学的得分，分别对应小林，小张，小陈，小王）， 则， 由数学期望的性质可知， 对于，答对得2分，答错得0分，服从两点分布， ； ； 则. 42．某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用分布列的性质，求得，结合期望的计算公式，即可求解. 【详解】设模拟手术失败的概率为，即，则成功的概率为， 因为，解得， 则． 故答案为：. 43．某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种方法：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设某学校携带病毒的人数有10人．（） (1)用样本的频率估计概率，若5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率； (2)用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组，问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？ 【答案】(1) (2)10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少，理由见解析 【分析】（1）由对立事件概率的求法结合题给数据即可求解. （2）设5个人一组和10个人一组，每组需要化验的次数分别为随机变量，由题中数据可知它们服从两点分布，可求得各自的期望，进而求解. 【详解】（1）由已知可得，该单位每个人携带病毒的概率为． 所以5个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为， 所以，一组混合血样呈阳性的概率为． （2）设5个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则． 由（1）知，5个人一组，需要重新化验的概率为0.05， 则X的分布列为 1 6 所以，， 总的化验次数为； 设10个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则． 10个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为0.9，则10个人一组，需要重新化验的概率为0.1， 则Y的分布列为 1 11 所以，总的化验次数为， 所以，10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少． 44．已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案. 【详解】∵，，∴， ∵，， 二次函数在区间上单调递减， ∴，，且. 故选：D 45．已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 . 【答案】/ 【分析】X服从两点分布，结合两点分布的均值公式，即可求解. 【详解】由题意可得，X服从两点分布， ， 故. 故答案为：. 46．已知随机变量X服从两点分布，，则 ， . 【答案】 0.66 0.34 【分析】由两点分布的性质及期望公式即可得出结论. 【详解】由两点分布可知， . 故答案为：0.66;0.34. 47．若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，则， 故，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 48．若随机变量的分布列为 0 1 其中，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用两点分布的期望和方差的公式即可求解. 【详解】依题意，可知服从两点分布， 又，则， 所以，. 故选：D. 49．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】根据两点分布的期望即可求解. 【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ． 故选:D． 50．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果． 【详解】随机变量服从两点分布，其中，， ， ， 在A中，，故A正确； 在B中，，故B正确； 在C中，，故C错误； 在D中，，故D正确． 故选：ABD． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 离散型随机变量数字特征五大常考题型 题型一：求离散型随机变量的均值与方差 题型二：均值与方差的性质 题型三：利用均值求参数 题型四：超几何分布的均值 题型五：两点分布的均值 题型一：求离散型随机变量的均值与方差 1．某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束．甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 若比赛结束时甲队获胜的场数为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人进行球类比赛，有二种赛制，赛制一：比赛采用5局3胜，先赢3局者获胜，比赛结束．记采用赛制一甲获胜为事件，甲获胜时比赛的局数为．赛制二：比赛赛满5局，赢的局数多者获胜，比赛结束．记采用赛制二甲获胜为事件，甲获胜时甲赢的局数为．已知每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛结果相互独立．则（   ） A． B． C． D． 3．现有装有若干黄球和若干白球的不透明盒子，下列说法正确的是（   ） A．从盒子中摸出一个球，记录黄球的个数，则服从两点分布． B．从盒子中不放回的依次取4个球，则这个试验是4重伯努利试验． C．利用样本估计总体中黄球的比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠 D．用X表示有放回方式下摸出黄球的个数，已知，则 4．已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则（   ） A． B． C． D． 5．已知随机变量的分布列为 0 1 若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），且甲、乙、丙都打中的概率是，用表示甲、乙两人中靶的人数，则的数学期望是（   ） A． B． C．1 D． 7．已知离散型随机变量的分布列为 0 1 则（   ） A． B． C． D． 8．已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．设，随机变量的分布列如下： ξ 0 a 2 P a 当a增大时，有（   ） A．增大，先减小后增大 B．减小，减小 C．增大，先增大后减小 D．减小，增大 10．下表显示某组32名学生饲养宠物的数目的分布．若从该组中随机选出一名学生，则选出的学生饲养宠物的概率是． 宠物的数目 0 1 2 3 学生人数 13 2 (1)求和的值． (2)求该分布的标准偏差． 题型二：均值与方差的性质 11．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A． B． C． D． 12．某一随机变量X的分布列如下表，且，则 . X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 13．端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 14．已知随机变量服从二项分布，若，则 ． 15．已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 16．已知随机变量的概率分布如表则（ ） 1 2 4 A．1 B． C．11 D．15 17．在篮球比赛中，罚球1次命中得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分，则 . 18．若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 19．已知随机变量的分布列为 0 1 (1)求的期望和方差； (2)设，求的期望和方差． 20．某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组 频数 5 25 40 20 10 (1)估计样本的中位数； (2)从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，，记． （i）求的分布列及期望； （ii）求． 题型三：利用均值求参数 21．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4. ．又X的均值，则＝ . 22．已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（   ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 23．已知随机变量的分布列如下： 0 1 且，则 . 24．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 25．设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ） X 0 1 2 3 P a b A． B． C． D． 26．若随机变量Z的分布列为 Z 1 2 3 P 0.5 x y 且，则等于（　　） A． B． C． D． 27．已知随机变量满足，其中，若，则 ， ． 28．设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4．．又的数学期望，则（    ） A． B． C． D． 29．若随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b 且，则a，b分别为（    ） A． B． C． D． 30．甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 题型四：超几何分布的均值 31．是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）. （1）在这15天的日均监测数据中，求其中位数； （2）从这15天的数据中任取2天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列及数学期望； （3）以这15天的日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级. 32．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（    ） A． B． C． D． 33．为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表. （1）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？ （2）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （3）试判断男学生完成套卷数的方差与女学生完成套卷数的方差的大小（只需写出结论）. 34．一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是，则袋中的白球个数为 ，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝ ． 35．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大? 36．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动. (1)求所选3人中恰有一名男生的概率 (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列及数学期望 37．某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题． (1)求甲选手能晋级的概率； (2)若乙选手每题能答对的概率都是，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平． 38．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为 A． B． C． D． 39．随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表. 年龄（单位：岁） ， ， ， ， ， ， 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 5 10 12 7 2 1 （Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关； 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 （Ⅱ）若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值. 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中. 40．某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 题型五：两点分布的均值 41．小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 42．某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则 ． 43．某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种方法：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设某学校携带病毒的人数有10人．（） (1)用样本的频率估计概率，若5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率； (2)用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组，问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？ 44．已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 45．已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 . 46．已知随机变量X服从两点分布，，则 ， . 47．若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 48．若随机变量的分布列为 0 1 其中，则（    ） A．， B．， C．， D．， 49．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 50．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $