24.2.1 数据的离散程度 课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

24.2.1 数据的离散程度(1) 1.理解离差平方和和方差的概念及统计学意义. 2.会计算一组数据的方差. 3.能够运用方差判断数据的波动程度,并解决简单的实际问题. 学 习 目 标 在统计学中,除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中趋势的量以外,数据的波动情况也是人们经常关注的特征,统计中把它称为数据的离散程度. 本节我们将学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量——离差平方和、方差. 新 课 导 入 问题 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时,甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况,专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验,得到各试验田每公顷的产量 (单位:t) 如下表所示. 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计,专家应该选择哪种甜玉米种子呢? 合 作 探 究 说明在试验田中,甲、乙两种甜玉米的平均产量 相差不大.由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米,它们的平均产量相差不大. 由样本平均数估计总体平均数 上面两组数据的平均数分别是 甲=7.537,乙=7.515. 合 作 探 究 怎样直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况呢? 可以画出统计图如图所示: 甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量 合 作 探 究 甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量 比较上面的两幅图可以看出,甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大,多个产量离平均产量较远;而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小,较集中地分布在平均产量附近.因此,从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好. 如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢? 合 作 探 究 正如上图所呈现的,当数据分布比较分散时,数据与平均数的差异相对较大;当数据分布比较集中时,数据与平均数的差异相对较小,反过来也成立.这样,为了全面反映一组数据的离散程度,可以通过数据与平均数的差异来刻画. 一般地,有 n 个数据 x1,x2,…,xn,用 表示它们的平均数,我们把 xi- (i=1,2,…,n)叫作 xi 关于平均数 的离差或偏差. 合 作 探 究 思考 可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗? 用离差可以刻画每个数据与平均数的差异,但由 (x1- )+(x2- )+…+(xn- )=x1+x2+…+xn-n=0 可知,一组数据的离差和总是0,因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 合 作 探 究 为了避免离差求和时正负抵消的问题,统计中通常先对离差进行平方,然后求和.我们把 (x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2 叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和,记作“d2”. 把离差的平方的平均数 叫作这组数据的方差,记作“s2”. 合 作 探 究 方差的意义 方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度,能较好的反映出数据的离散程度,是刻画数据离散程度最常用的统计量. 方差越大,数据的离散程度越大; 方差越小,数据的离散程度越小. 新 知 小 结 你能利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度吗? 据样本估计总体的统计思想,种乙种甜玉米产量较稳定. 显然 > ,可得乙种甜玉米产量的离散程度较小,即乙种甜玉米产量波动较小,稳定性较好. 合 作 探 究 思考 用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度?和方差比较,有什么不足? 离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时,离差平方和只适用于数据个数相同的情况,而方差则不受这个限制. 合 作 探 究 例1 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练,10次射击成绩(单位:环)如下表所示. 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 哪名射击运动员的发挥更稳定? 解:两名运动员射击成绩的平均数分别为 甲==8.7, 乙==8.6. 典 例 精 析 两名运动员射击成绩的方差分别为 s2甲= =2.41, s2乙= =1.04. 由s2甲>s2乙可知,乙射击运动员的发挥更稳定. 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 典 例 精 析 如何使用计算器求方差? 使用计算器的统计功能可以求方差.操作时需要参阅计算器的使用说明书,通常需要先按动有关键,使计算器进入统计状态,然后依次输入数据,最后按动求方差的功能键,计算器便会求出方差的值. 合 作 探 究 例2 人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中,班级平均分和方差如下:甲=乙=80,s2甲=240,s2乙=180,则成绩较为稳定的班级是( ) A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定 B 解析:稳定性,也就是指成绩的波动.成绩波动越小,成绩越稳定.根据“方差越大,数据的波动越大:方差越小,数据的波动越小,我们很容易发现乙班的方差比甲班的小,所以乙班的成绩较稳定. 典 例 精 析 在利用方差比较两组数据的波动情况时,一定要先计算两组数据的平均数.一般说来,平均数可能反映数据的优劣程度,如果在平均数上已经能够区分几组数据的优劣,那么就不用再考虑方差的大小了.但在实际的习题中,往往都是平均值相同,那么此时就要考虑数据的方差情况了.由此可得到:在解决问题时,要先算平均数,当平均值不同时,择优选取;当平均数相同时,比较方差,选择波动较小的一组数据. 新 知 小 结 1.对于一组统计数据3,3,6,5,3.下列说法错误的是( ) A.众数是3 B.平均数是4 C.方差是1.6 D.中位数是6 D 2.设数据x1,x2,…,xn的平均数为x,方差为s2,若s2=0,则( ) A.x=0 B.x1+x2+…+xn=0 C.x1=x2=…=xn=0 D.x1=x2=…=xn D 随 堂 练 习 4.一组数据1,2,a,4,5的平均数是3,则这组数据的方差是_. 2 乙 3.甲、乙两名射击手的100次测试的平均成绩都是9环,方差分别是0.8和0.35,则成绩比较稳定的是_ (填“甲”或“乙”). 随 堂 练 习 5.甲、乙两班举行计算机打字比赛,参赛学生每分钟打字的个数统计结果如下表: 某同学分析上表后得出如下结论:①甲、乙两班学生成绩平均水平相同;②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟打字个数≥150为优秀);③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的有 . 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 ①②③ 随 堂 练 习 离差平方和 数据的离散程度 d2=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2 方差 s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2] 课 堂 总 结 24.2.2 数据的离散程度(2) 能够运用样本方差估计总体方差,解决简单的实际问题. 学 习 目 标 离差平方和 数据的离散程度 d2=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2 方差 s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2] 复 习 导 入 例1 自动灌装线灌装饮料时,由于各种不可控的因素,每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差(实际含量-标准含量).甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500mL的饮料,为了检验两条灌装线的灌装质量,从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量,结果(单位:mL)如下表所示. (1)如果每瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL为不合格品,两条灌装线的灌装质量是不是都合格? (2)哪条灌装线的灌装质量更好? 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 典 例 精 析 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 分析:在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下,灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小,说明灌装线的质量越好. 解:(1)甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500mL的误差如下表所示. 甲组误差/mL 1 -4 -2 -1 3 -2 5 -2 1 1 乙组误差/mL -4 -7 4 -5 0 6 4 5 -2 -1 从表中的数据可以看出,甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5mL、7mL,两者都小于10mL,因此两条灌装线灌装的质量都是合格的. 典 例 精 析 (2)甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为 甲==500. 乙==500. 两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量. 可以类比方差,计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度,分别为 =6.6, =18.8. 可以发现,甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小. 根据样本估计总体,综合来看,甲灌装线的灌装质量更好. 典 例 精 析 运用方差解决实际问题的一般步骤: 1.先计算样本数据平均数; 当两组数据的平均数相等或相近时,再利用样本方差来估计总体数据的波动情况; 2.在平均数相同或接近时,比较方差; 方差越大,则意味着这组数据对平均数的离散程度越大 新 知 小 结 例2 甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示.两地的气温有什么差异? 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 解:为了直观地观察两地气温的特点,以时刻为横坐标,气温为纵坐标,把表中的数据用折线图进行表示,得到下图. 典 例 精 析 从上图可以看出,甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低,但甲地的最高气温高于乙地,而最低气温低于乙地.为进一步了解两地气温的差异,可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较. 典 例 精 析 两地气温的平均数分别为 甲= =16, 乙= =16. 将两地气温按从小到大排列,可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 可以发现两地气温的中位数都是16,众数各有两个(甲地是16和21,乙地是15和17)且都出现两次,因为重复次数太少,所以不具有代表性.因此,从数据的集中趋势看,两地的气温差异不明显. 典 例 精 析 两地气温的方差分别为 s2甲= = , s2甲= = . 由s2甲>s2乙可知,乙地气温的波动程度比甲地的小,气温更稳定. 典 例 精 析 D 1.样本方差的作用是( ) A.表示总体的平均水平 B.表示样本的平均水平 C.准确表示总体的波动大小 D.表示样本的波动大小,从而估计总体的波动大小 随 堂 练 习 2.在样本方差的计算公式 中,数字10表示_ ,数字20表示 _. 3.随机从某果园甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树中各采摘了15棵树上的苹果,产量的平均数(单位:千克)及方差s2如下表所示: 若准备从四个品种中选 出一种产量既高又稳定 的苹果树进行种植,则应选的品种是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 样本容量 平均数 甲 乙 丙 丁 26 25 26 23 s2 1.7 1.2 1.6 1.6 C 随 堂 练 习 4.已知两个样本数据如下: 甲:9.8,9.9,10.3,10,10.1,10.4,9.7,9.8; 乙:10.5,9.6,10.1,9.8,9.5,10.2,10,10.3. 分别计算两个样本的方差,并比较哪一个样本数据较稳定. 解:计算得甲乙两组数据的平均数都是 10. s2甲=[(9.8–10)2 + (9.9–10)2 +…+ (9.8–10)2] = 0.055, s2甲=[(10.5–10)2 +(9.6–10)2 +…+ (10.3–10)2] = 0.105, ∵ 0.055<0.105,∴ 甲数据样本较稳定. 随 堂 练 习 利用样本方差估计总体方差 方差的作用:比较数据的稳定性 根据方差做决策 课 堂 总 结 $