专题4 创新探究4 概率与统计中的思维创新问题-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦概率与统计创新融合问题，覆盖计数原理、概率、随机变量及其分布等核心考点，依据高考评价体系分析新定义、新情境问题的高频考查方向，归纳离散型随机变量分布列、期望计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题情境+思维建模+方法迁移”策略，如以2025年广东揭阳模拟0-1数列问题为例，指导学生用数学思维将新定义转化为常规概率问题，培养数据观念与模型意识。通过“方法总结+对点训练”帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统开展专题突破，提升复习效率。

创新探究4　概率与统计中的思维创新问题 第一部分　专题突破 专题四　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考分析 概率统计中的创新融合问题,通常是通过给出新的概念、运算、模型等创设新情境,以概率、统计为背景,将概率、统计与新定义(如:在生态环境研究中生物、地理等知识)和实际应用场景相结合,考查知识的迁移、数据处理和创新思维能力. 类型一　与概率统计有关的新定义问题 内容索引 类型二　与概率统计有关的新情境问题 3 类型一　与概率统计有关的新定义问题 类型一　与概率统计有关的新定义问题 [例1]　(2025·广东揭阳模拟)若数列{an}(1≤n≤k,n∈N*,k∈N*)满足an∈{0,1},则称数列{an}为k项0-1数列,由所有k项0-1数列组成的集合为Mk. (1)若{an}是20项0-1数列,当且仅当n=4m(m∈N*,m≤5)时,an=0,求数列{(-1)nan}的所有项的和. [解]　数列{an}是20项0-1数列,当且仅当n=4m(m≤5,m∈N*)时,an=0; 当n=4m-1,n=4m-2,n=4m-3(m≤5,m∈N*)时,an=1. 设数列所有项的和为S,则S=(-1)a1+(-1)2a2+(-1)3a3+0+ (-1)5a5+(-1)6a6+(-1)7a7+0+…+(-1)17a17+(-1)18a18+(-1)19a19+0=-5. 类型一　与概率统计有关的新定义问题 (2)已知{an}∈Mk,{bn}∈Mk且{an}与{bn}是两个不同的数列,定义离散型随机变量X=|ai-bi|(i=1,2,…,k),其中k∈N*,且k≥3. (ⅰ)求P(X=3)取到最大值时k的值; (ⅱ)求随机变量X的分布列,并证明:当k=4 050时,E(X)>2 025. 类型一　与概率统计有关的新定义问题 [解]　(ⅰ)因为数列,是从集合Mk中任意取出的两个数列, 所以数列,均为k项0-1数列,所以X的可能取值有1,2,3,…,k, 根据数列中0的个数可得,集合Mk的元素个数为+++…+=2k, 当X=3时,数列,中有3项取值不同,有k-3项取值相同, 先确定有2k种情况,然后在中选取3项,这3项与的对应项的取值不同, 有种情况,则的选择共有2k种情况, 类型一　与概率统计有关的新定义问题 数列,是从集合Mk中任意取出的两个数列,所有可能情况有种, 所以P(X=3)===,令k=t+1, 由 化简可得解得t=4, 则当k=t+1=5时,P(X=3)取得最大值. 类型一　与概率统计有关的新定义问题 (ⅱ)由(ⅰ)知集合Mk中元素的个数为+++…+=2k, 当X=m(m=1,2,…,k)时,数列,中有m项取值不同,有k-m项取值相同, 先确定有2k种情况,然后在中选取m项与种情况, 则的选择情况共有2k种情况, 数列是从集合Mk中任意取出的两个数列,所有可能情况有种, 所以随机变量X的分布列为P(X=m)===(m=1,2,…,k). 类型一　与概率统计有关的新定义问题 因为m= = =k(m∈N*,1≤m≤k), 所以E(X)=1×+2×+…+k× =(+2+3+…+k) =(+++…+)=>=,即E(X)>, 当k=4 050时,E(X)>==2 025. 类型一　与概率统计有关的新定义问题 　透彻理解新定义与概率统计知识间的关联,将新定义问题转化为常规的概率统计问题;在推理过程中严格遵循新定义的规则和概率统计的基本原理,精确计算后,将计算结果带入新定义中检验是否满足新定义的要求. 方法总结 类型一　与概率统计有关的新定义问题 1.(2025·河北衡水模拟)一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池,其中3块为一次性电池,另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池,若取出的是一次性电池,则使用后作废品回收,若取出的是可充电电池,则使用后充满电再放回抽屉. (1)在已知第2次取出一次性电池的条件下,求第1次取出的是可充电电池的概率. 对点训练 类型一　与概率统计有关的新定义问题 解:设事件A1表示第一次取出的是可充电电池,事件A2表示第一次取出的是一次性电池,事件B表示第二次取出的是一次性电池, 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=,P(A1B)=×=, 所以P(A1|B)===. 类型一　与概率统计有关的新定义问题 (2)设X,Y是离散型随机变量,X在给定事件Y=y条件下的期望定义为E(X|Y=y)=xi·P(X=xi|Y=y)=xi·,其中{x1,x2,…,xn}为X的所有可能取值的集合,P(X=x,Y=y)表示事件“X=x”与“Y=y”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数,Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数,求E(X|Y=1). 类型一　与概率统计有关的新定义问题 解:由题意,X的可能取值为1,2,3, P(X=1|Y=1)=×=,P(X=2|Y=1)=×+×=,P(X=3|Y=1)=×=, 所以E(X|Y=1)=1×+2×+3×=. 类型一　与概率统计有关的新定义问题 (3)若已用完一块一次性电池后,记剩下电池再使用n(n=2,3,4,…)次后,所有一次性电池恰好全部用完的概率为an,求数列{an}的通项公式. 类型一　与概率统计有关的新定义问题 解:由题意,现有3块可充电电池和2块一次性电池可使用, 经分析可得a2=×,a3=××+××, n≥2时,an=[×()n-2+××()n-3+…+()n-2×]× =××()n-2[1++()2+…+()n-2] =×()n-2× =()n-2[1-()n-1] =[()n-1-()n-1]. 类型二　与概率统计有关的新情境问题 类型二　与概率统计有关的新情境问题 [例2]　(2025·四川成都模拟)图是计算机科学中的一种极为重要的模型.图的连通性常应用于计算机网络、智能导航及AI算法优化等领域中.一个图G由顶点集V与边集E组成,记为G=(V,E).顶点集V是这个图所有顶点的集合,图中任意3个顶点不在同一直线上.图的边是指两个不同的顶点直接相连成的线段,边集E就是这个图所有边的集合.如图所示为一个由4个顶点组成的图G',其顶点集V'={A,B,C,D},边集E'={AB,BC,BD}.若图G中依次存在一组边:A0A1,A1A2,…, Am-1Am,则称顶点A0,Am相互可达.如果图G中任意两个顶点相互可达,则称图G是连通的,如图所示的图G'就是连通的.一个含有n个顶点的图Gn,任意两个顶点间有边的概率为.设图Gn是连通的概率为R(n),定义R(1)=1. 类型二　与概率统计有关的新情境问题 (1)当n=3时,在顶点A与顶点B相互可达的条件下,求A与B之间有边的概率; 类型二　与概率统计有关的新情境问题 [解]　设事件X:顶点A与顶点B相互可达,事件Y:A与B之间有边, 当n=3时,A与B相互可达分以下两种情况: ①A与B之间有边,概率为, ②A与B之间无边,但都与第三个顶点有边,概率为(1-)××=, 故A与B相互可达的概率P(X)=+=, 而P(XY)=P(Y)=,故P(Y|X)==, 故A与B之间有边的概率为. 类型二　与概率统计有关的新情境问题 (2)当n=4时,求恰有3个顶点相互可达的概率; 类型二　与概率统计有关的新情境问题 [解]　设事件E:恰有3个顶点相互可达.任取3个顶点,第4个顶点与这3个顶点均无边的概率为×(1-)3=, 同时这3个顶点相互可达,故P(E)=×R(3),图G3连通分为以下两种情况: ①三个顶点两两有边,概率为()3=. ②有两个顶点间无边,但都与第3个顶点有边,概率为×(1-)×()2=, ∴R(3)=+=,则P(E)=×R(3)=, ∴恰有3个顶点相互可达的概率为. 类型二　与概率统计有关的新情境问题 (3)求R(5). [解]　法一:固定任意一个顶点A,G2是连通的概率为R(2)=, 当n>2时,设事件Fn,i:恰好有(i-1)个顶点与A相互可达.任取除A以外(i-1)个顶点, ∴剩下(n-i)个顶点与这i个顶点都无边的概率为×(1-)i(n-i),同时这i个顶点相互可达,则P(Fn,i)=(1-)i(n-i)R(i),显然,任意两个事件Fn,i和Fn,j均为互斥事件, 类型二　与概率统计有关的新情境问题 因此R(n)=1-()i(n-i)R(i)=1-P(Fn,i), P(F4,1)=()3R(1)=, P(F4,2)=()4R(2)=, P(F4,3)=()3R(3)=, 故R(4)=1-(++)=, P(F5,1)=()4R(1)=, 类型二　与概率统计有关的新情境问题 P(F5,2)=()6R(2)=, P(F5,3)=()6R(3)=, P(F5,4)=()4R(4)=, ∴R(5)=1-(+++)=. 类型二　与概率统计有关的新情境问题 法二:G5共有=10条可能的边. ①当G5不存在任何边时,不可能连通,概率为(1-)10. ②当G5中只存在1条边时,概率为×()×(1-)9,此时G5不可能是连通的. ③同理,G5中只存在2条或3条边时,概率分别为×()2×(1-)8, ×()3×(1-)7,G5均不可能是连通的. ④当G5中只存在4条边时,计算G5不连通的概率. 类型二　与概率统计有关的新情境问题 (ⅰ)G5中存在1个孤立的顶点时,4条边只能存在于其他4个顶点之间.四个顶点组成的图最多有6条边,故概率为××()4×(1-)6. (ⅱ)G5中存在多于1个孤立的顶点时,边数小于4,与假设矛盾. (ⅲ)G5中存在2个相互有边的顶点,但都与剩下3个顶点无边,并且这3个顶点相互都有边.概率为×()4×(1-)6. ⑤当G5中只存在5条边时,计算G5不连通的概率. 类型二　与概率统计有关的新情境问题 (ⅰ)G5中存在1个孤立的顶点时,5边只能存在于其他4个顶点之间.四个顶点组成的图最多有6条边,故概率为××()5×(1-)5. (ⅱ)G5中存在多于1个孤立的顶点时,边数小于5,与假设矛盾. (ⅲ)G5中存在2个相互有边的顶点,但都与剩下3个顶点无边时,边数小于5,与假设矛盾. ⑥当G5中只存在6条边时,不连通的情况只当存在1个孤立点时,概率为××()6×(1-)4. 类型二　与概率统计有关的新情境问题 ⑦当G5中存在多于6条边时,因为G4最多只有6条边,因此G5必然连通, 故G5不连通的概率为(+++×++×+×+1)×()10=, ∴R(5)=1-=. 类型二　与概率统计有关的新情境问题 　理解新情境问题的背景和相关信息,提取关键数据和条件,将关键信息转化为数学语言,建立合适的数学模型,然后利用相应的概率统计公式和定理进行计算和推理,最后对计算结果进行检验,还原到实际问题的情境中进行解释,回答所提出的实际问题. 方法总结 类型二　与概率统计有关的新情境问题 2.(2025·江苏南京模拟)经典比特只能处于0态或1态,而量子计算机的量子比特可同时处于0与1的叠加态,故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特,且自旋状态只有上旋与下旋两种状态,其中下旋表示“0”,上旋表示“1”,粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后,粒子自旋状态等可能地变为上旋或下旋,再输入第二道逻辑门后,粒子的自旋状态有p的概率发生改变,记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X. 对点训练 类型二　与概率统计有关的新情境问题 (1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2,且p=,求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率. 类型二　与概率统计有关的新情境问题 解:设Ai=“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i”,i=0,1,2, B=“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2”, 则P(A0)=P(A2)=()2=,P(A1)=()2=,P(B|A0)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=, 则P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=×+×+×=, 故P(A2|B)====. 类型二　与概率统计有关的新情境问题 (2)若一条信息有n(n>1,n∈N*)种可能的情况且各种情况互斥,记这些情况发生的概率分别为p1,p2,…,pn,则称H=f(p1)+f(p2)+…+f(pn)(其中f(x)=-xlog2x)为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X的信息熵H. 类型二　与概率统计有关的新情境问题 解:由题知X=0,1,2,由(1)知P(X=2)=p2+p(1-p)+(1-p)2=, 同理可得P(X=1)=p(1-p)+[p2+(1-p)2]+p(1-p)=, 则P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=, 故X的信息熵H=f()+f()+f()=2×(-log2)-log2=. 类型二　与概率统计有关的新情境问题 (3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门,当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入,否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子,设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y(Y=1,2,3,…,n,…).证明:当n无限增大时,Y的数学期望趋近于一个常数.(参考公式:当0<q<1时,qn=0,nqn=0) 类型二　与概率统计有关的新情境问题 证明:由题知P(Y=n)=(1-p)n-1p,其中n=1,2,3,…, 则E(Y)=1·(1-p)0p+2·(1-p)1p+…+n·(1-p)n-1p+…, 又i·p(1-p)i-1=pi·(1-p)i-1, 则i·(1-p)i-1=1·(1-p)0+2·(1-p)1+…+n·(1-p)n-1,① (1-p)·i·(1-p)i-1=1·(1-p)1+2·(1-p)2+…+n·(1-p)n,② 类型二　与概率统计有关的新情境问题 ①-②得:pi·(1-p)i-1=(1-p)0+(1-p)1+…+(1-p)n-1-n(1-p)n=-n (1-p)n=--n(1-p)n, 由题知,当n无限增大时,(1-p)n趋近于零,n(1-p)n趋近于零,则E(Y)趋近于. 所以当n无限增大时,Y的数学期望趋近于一个常数. 感谢您的观看 $