专题3 第3讲 空间中的翻折与探索性问题 提升课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

第三讲　空间中的翻折与探索性问题 提升课 第一部分　专题突破 专题三　立体几何 高考分析 1.翻折问题是将平面图形沿某条直线翻折成空间图形,涉及平面图形与空间图形的转化,主要考查空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等.　2.探索性问题是在立体几何的背景下,探索点的位置、线面关系是否存在或空间角存在的条件,计算量较大,一般以解答题的形式考查,难度中等偏上. 考点一　翻折问题 内容索引 考点二　空间中的探索性问题 3 考点一　翻折问题 考点一　翻折问题 [例1]　(2025·全国二卷)如图,在四边形ABCD中, AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上, EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD,将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°. (1)证明:A'B∥平面CD'F; 考点一　翻折问题 [证明]　如图,过点C作CG∥EF交EB于点G,连接A'G.因为EF∥AD,AB∥CD,∠DAB=90°,所以四边形ADFE为矩形,四边形EFCG为矩形,所以EF􀰿AD,EF􀰿CG,所以CG􀰿AD,所以CG􀰿A'D',所以四边形A'D'CG为平行四边形, 所以CD'∥A'G,又A'G⊂平面A'BE,CD'⊄平面A'BE, 所以CD'∥平面A'BE. 因为CF∥EB,EB⊂平面A'BE,CF⊄平面A'BE,所以CF∥平面A'BE. 又CD',CF⊂平面CD'F,CD'∩CF=C,所以平面CD'F∥平面A'BE. 因为A'B⊂平面A'BE,所以A'B∥平面CD'F. 考点一　翻折问题 (2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值. 考点一　翻折问题 [解]　因为A'E⊥EF,BE⊥EF,所以由二面角的定义可知,∠A'EB即为平面EFD'A'与平面EFCB所成的二面角,所以∠A'EB=60°,同理∠D'FC=60°.又 D'F=DF=FC,所以△D'FC为等边三角形.过点A'作A'H⊥EB交EB于点H. 因为EF⊥EB,EF⊥A'E,A'E∩EB=E,A'E,EB⊂平面A'EB,所以EF⊥平面A'EB,又A'H⊂平面A'EB,所以EF⊥A'H.又A'H⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF⊂平面EFCB,所以A'H⊥平面EFCB.因此以F为坐标原点,直线FE、直线FC、过点F且平行于A'H的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设AD=1,则 F(0,0,0),E(1,0,0),B(1,2,0),C(0,1,0),D', 所以 =(-1,-1,0),=,=(1,0,0),=. 考点一　翻折问题 设平面BCD'的法向量为 m=(x1,y1,z1), 则令x1=1,则m=. 设平面EFD'A'的法向量为n=(x2,y2,z2), 则 令y2=1,则n=. 考点一　翻折问题 所以cos<m,n>===-, 所以 sin<m,n>=,即平面BCD'与平面EFD'A'所成二面角的正弦值为. 考点一　翻折问题 　1.解答翻折问题的关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变,一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化. 2.对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决. 方法总结 考点一　翻折问题 1.(2024·新课标Ⅱ卷)如图,在平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=5,∠ADC=90°,∠BAD=30°,点E,F满足=,=,将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得PC=4. (1)证明:EF⊥PD; 对点训练 考点一　翻折问题 证明:由AB=8,AD=5,=,=,得AE=2,AF=4.又∠BAD=30°,在△AEF中, 由余弦定理得 EF= ==2, 所以AE2+EF2=AF2,则AE⊥EF,即EF⊥AD, 所以EF⊥PE,EF⊥DE,又PE∩DE=E,PE,DE⊂平面PDE, 所以EF⊥平面PDE,又PD⊂平面PDE, 故EF⊥PD. 考点一　翻折问题 (2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值. 考点一　翻折问题 解:连接CE,由∠ADC=90°,ED=3,CD=3,则CE2=ED2+CD2=36, 在△PEC中,PC=4,PE=2,EC=6,得EC2+PE2=PC2, 所以PE⊥EC,由(1)知PE⊥EF,又EC∩EF=E,EC,EF⊂平面ABCD, 所以PE⊥平面ABCD,又ED⊂平面ABCD, 所以PE⊥ED,则PE,EF,ED两两垂直,建立如图空间直角坐标系Exyz, 则E(0,0,0),P(0,0,2),D(0,3,0),C(3,3,0),F(2,0,0),A(0,-2,0), 由F是AB的中点,得B(4,2,0), 考点一　翻折问题 所以=(3,3,-2),=(0,3,-2),=(4,2,-2),=(2,0,-2), 设平面PCD和平面PBF的法向量分别为n=(x1,y1,z1),m=(x2,y2,z2), 则 令y1=2,x2=,得x1=0,z1=3,y2=-1,z2=1, 考点一　翻折问题 所以n=(0,2,3),m=(,-1,1),设平面PCD和平面PBF所成角为θ,所以cos θ=|cos<m,n>|===, 则sin θ==, 即平面PCD和平面PBF所成的二面角的正弦值为. 考点二　空间中的探索性问题 考点二　空间中的探索性问题 [例2]　(2025·陕西咸阳模拟)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=2,沿AC将△ADC折起,使点D到达点P的位置,点P在平面ABC的射影H落在边AB上. (1)求三棱锥P-BCH的体积. 考点二　空间中的探索性问题 [解]　作PE⊥AC,垂足为E,连接EH,如图1所示. 由点P在平面ABC的射影H落在边AB上,可得PH⊥平面ABC. 又AC⊂平面ABC,所以PH⊥AC.因为PH∩PE=P,且PH,PE⊂平面PHE, 所以AC⊥平面PHE,又EH⊂平面PHE,所以AC⊥EH. 因为四边形ABCD为矩形,所以AB⊥BC,可得△ABC∽△AEH. 由AB=4,BC=2,可得AP=2,PC=4,AC=2, 所以PE==,AE==. 考点二　空间中的探索性问题 由△ABC∽△AEH,可得=,即AH===1, 则BH=AB-AH=3. 在Rt△PAH中,PH==, 所以VP-BCH=×BC·BH·PH=××2×3×=. 考点二　空间中的探索性问题 (2)若M是PC上的一个动点,是否存在点M,使得平面AMB与平面PBC的夹角的正切值为?若存在,求点M到平面ABC的距离;若不存在,请说明理由. 考点二　空间中的探索性问题 [解]　根据题意,以H为坐标原点,过点H且平行于BC的直线为y轴,分别以HB,PH所在直线为x,z轴建立空间直角坐标系,如图2所示. 则A(-1,0,0),P(0,0,),B(3,0,0),C(3,2,0). 设=λ,λ∈[0,1],可得=λ=λ(-3,-2,)=(-3λ,-2λ,λ), 所以M(3-3λ,2-2λ,λ). 易知=(4,0,0),=(3λ,2λ-2,-λ),=(3,0,-),=(0,2,0). 考点二　空间中的探索性问题 设平面AMB的法向量为m=(x1,y1,z1), 所以 解得x1=0,取y1=λ,则z1=2λ-2,即m=(0,λ,2λ-2). 设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2), 所以解得y2=0, 取x2=1,则z2=,即n=(1,0,). 考点二　空间中的探索性问题 因为平面AMB与平面PBC的夹角的正切值为,所以平面AMB与平面PBC的夹角的余弦值为, 因此可得|cos<m,n>|===, 整理可得3λ2-8λ+4=0,解得λ=2(舍去)或λ=. 因此当=时,平面AMB与平面PBC的夹角的正切值为, 此时点M到平面ABC的距离为PH=. 考点二　空间中的探索性问题 　立体几何中探索性问题的求解策略 1.通常先假设问题中的数学对象存在或结论成立,再在这个前提下进行推理,如果能推出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,并可进一步证明,否则假设不成立. 2.可借助空间直角坐标系将动点用坐标(含参数)表示出来,然后根据已知条件建立关于参数的方程(组)解决探索性问题. 方法总结 考点二　空间中的探索性问题 2.(2025·河南郑州模拟)如图,正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,二面角S-AB-C的正切值为,P为侧棱SD上的点,且SB∥平面PAC. (1)求直线SB到平面PAC的距离. 对点训练 考点二　空间中的探索性问题 解:连接PO. ∵SB∥平面PAC,SB⊂平面SBD,平面SBD∩平面PAC=PO,∴SB∥PO. 在△SBD中,O为BD的中点, ∴P为SD的中点. 取AB中点G,连接SG,GO,SO,由正方形ABCD的边长为2, 易知OG⊥AB,SG⊥AB,OG=1, ∴∠SGO即为二面角S-AB-C的平面角. 考点二　空间中的探索性问题 在Rt△SGO中,∵二面角S-AB-C的正切值为, ∴OS=, ∴侧棱的长都是2.易知直线SO,AC,BD两两垂直, 以O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示. ∴A(0,-,0),C(0,,0),B(,0,0),D(-,0,0),S(0,0,),P(-,0,), ∴=(0,2,0),=(-,,),=(-,,0). 考点二　空间中的探索性问题 设平面PAC的法向量为m=(x,y,z), 则 即令x=3,则z=, ∴平面PAC的一个法向量为m=(3,0,). 考点二　空间中的探索性问题 ∵SB∥平面PAC,∴直线SB到平面PAC的距离等于点B到平面PAC的距离, ∴==, ∴直线SB到平面PAC的距离为. 考点二　空间中的探索性问题 (2)请判断在平面PAC上是否存在一点E,使得△ESB是以SB为底边,为顶角的等腰三角形.若存在,请求出点E的轨迹;若不存在,请说明理由. 考点二　空间中的探索性问题 解: 不存在.理由如下: 根据第(1)问可得直线SB到平面PAC的距离为. 又∵SB∥平面PAC,设点Q为SB的中点,∴点Q到平面PAC的距离为. 假设在平面PAC上存在点E,使得△ESB是以SB为底边,为顶角的等腰三角形, 则有EQ=SB·tan=. ∵EQ=<, ∴不存在满足条件的点E. 感谢您的观看 $