专题2 培优突破2 “爪”形三角形-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

培优突破2　“爪”形三角形 第一部分　专题突破 专题二　三角函数与平面向量 高考分析 解三角形中的“爪”形三角形模型是高考的热点,常涉及三角形的中线、角平分线、高线等.注意三角形中所加的线是分角的线(用面积和),还是分边成比例的线(用共线向量基本定理或两次余弦定理),灵活借助辅助线、正、余弦定理便可解决. 考点一　角平分线问题 内容索引 考点二　中线问题 考点三　高线问题 培优　题组集训 3 考点一　角平分线问题 考点一　角平分线问题 [例1]　(2025·湖南怀化模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=. (1)求B; 考点一　角平分线问题 [解]　由=,得2bcos C=2a+c. 法一:由正弦定理得2sin Bcos C=2sin A+sin C, 又在△ABC中,A+B+C=π, 所以A=π-(B+C), 所以2sin Bcos C=2sin(B+C)+sin C, 于是2cos Bsin C+sin C=0, 又sin C≠0,所以cos B=-, 又0<B<π,所以B=. 考点一　角平分线问题 法二:由余弦定理得2b·=2a+c, 化简得a2+c2-b2=-ac, 由余弦定理得cos B===-, 又B∈(0,π),所以B=. 考点一　角平分线问题 (2)若a=2,c=5,点D在边AC上,且BD是∠ABC的平分线,求△ABD的面积. [解]　由BD是∠ABC的平分线,得∠ABD=∠CBD=. 法一:====, 又S△ABC=S△ABD+S△CBD,所以S△ABD=S△ABC=×acsin∠ABC=××2×5×=. 考点一　角平分线问题 法二:由S△ABC=S△ABD+S△CBD得 AB·BC·sin∠ABC=·AB·BD·sin∠ABD+BC·BD·sin∠CBD. 即×5×2×=×5×BD×+×2×BD×,解得BD=, 所以S△ABD=·AB·BD·sin∠ABD=×5××=. 考点一　角平分线问题 方法总结 考点一　角平分线问题 1.(2025·河南郑州模拟)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ctan Bcos C+csin C=. (1)证明:B+C=2A; 对点训练 考点一　角平分线问题 证明:由正弦定理及ctan Bcos C+csin C=, 得+sin2C=. 因为0<C<π,所以sin C>0, 所以sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A, 即sin A=sin(B+C)=2sin Acos A. 因为0<A<π,所以sin A>0,所以2cos A=1, 即cos A=. 又因为A∈(0,π),所以A=,又A+B+C=π,所以B+C=2A. 考点一　角平分线问题 (2)若AD平分∠BAC交BC于点D,且4b+9c=25,求AD的最大值. 解:由(1)知,∠BAC=,又AD平分∠BAC,则∠BAD=∠CAD=. 因为S△ABC=S△ABD+S△ACD, 即bc·=AD·c·+AD·b·,整理可得=+. 又因为4b+9c=25, 则=(4b+9c)(+)=(13++)≥(13+2)=1, 可得AD≤,当且仅当=,即b=,c=时取等号,所以AD的最大值为. 考点二　中线问题 考点二　中线问题 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B; 考点二　中线问题 [解]　法一:在△ABC中,因为D为BC的中点,∠ADC=,AD=1, 则S△ADC=AD·DCsin∠ADC=×1×a×=a=S△ABC=,解得a=4. 在△ABD中,∠ADB=,由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB, 即c2=4+1-2×2×1×(-)=7,解得c=,则cos B==, sin B===, 所以tan B==. 考点二　中线问题 法二:在△ABC中,因为D为BC的中点,∠ADC=,AD=1, 则S△ADC=AD·DCsin∠ADC=×1×a×=a=S△ABC=,解得a=4. 在△ACD中,由余弦定理得b2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC, 即b2=4+1-2×2×1×=3,解得b=,有AC2+AD2=4=CD2,则∠CAD=,故C=, 过点A作AE⊥BC于点E,于是CE=ACcos C=, AE=ACsin C=,则BE=,所以tan B==. 考点二　中线问题 (2)若b2+c2=8,求b,c. [解]　法一:在△ABD与△ACD中,由余弦定理得 整理得a2+2=b2+c2,而b2+c2=8,则a=2. 又S△ADC=××1×sin∠ADC=, 解得sin∠ADC=1,而0<∠ADC<π, 则∠ADC=,所以b=c==2. 考点二　中线问题 法二:在△ABC中,因为D为BC的中点,则2=+,又=-, 于是4+=(+)2+(-)2=2(b2+c2)=16,即4+a2=16, 所以a=2, 由S△ABC=bcsin∠BAC和b2+c2-a2=2bccos∠BAC,得S△ABC=(b2+c2-a2)tan∠BAC,得tan∠BAC=-<0,故∠BAC∈(,π),有∠BAC=. 又因为S△ABC=bcsin∠BAC,所以bc=4. 由b2+c2=8和bc=4,得b=c=2. 考点二　中线问题 方法总结 考点二　中线问题 对点训练 2.(2025·河北秦皇岛模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin C=sin(B+)+1. (1)求B; 考点二　中线问题 解:已知sin C=sin(B+)+1, 根据诱导公式,可得sin C=cos B+1, 由正弦定理可得×sin C=cos B+1,化简得sin B=cos B+1, 即sin B-cos B=1,根据辅助角公式可得2sin(B-)=1,所以sin(B-)=. 因为0<B<π,所以-<B-<,则B-=,解得B=. 考点二　中线问题 (2)若△ABC的面积为,b=2,求AC边上的中线长. 解:已知△ABC的面积为,B=,根据三角形面积公式S△ABC=acsin∠ABC, 可得acsin=,即ac×=,解得ac=2. 由余弦定理b2=a2+c2-2accos∠ABC,已知b=2,∠ABC=,可得22=a2+c2-2×2×cos,即4=a2+c2-2,解得a2+c2=6. 考点二　中线问题 设AC中点为D,则=(+), 两边平方可得=(++2·), 可得=(c2+a2+2accos∠ABC)=×(6+2×2×)=2, 所以||=,即AC边上的中线长为. 考点三　高线问题 考点三　高线问题 [例3]　(2025·北京卷)在△ABC中,cos A=-,asin C=4. (1)求c; [解]　因为cos A=-,A∈(0,π),所以sin A==,由正弦定理有asin C=csin A=c=4,解得c=6. 考点三　高线问题 (2)在以下三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC边上的高. ①a=6;②bsin C=;③△ABC面积为10. 考点三　高线问题 [解]　如图所示,若△ABC存在,则设其BC边上的高为AD. 若选①,a=6,因为c=6,所以C=A,因为cos A=-<0,这表明此时△ABC有两个钝角, 所以此时△ABC不存在,故BC边上的高也不存在; 若选②,bsin C=,由正弦定理有bsin C=csin B=6sin B=,解得sin B=, 此时cos B==,AD=csin B=6×=, 考点三　高线问题 而cos∠DAB=sin B,sin∠DAB=cos B,cos A=-,sin A=, 所以cos∠CAD=cos(∠CAB-∠BAD),sin∠CAD=可以唯一确定, 所以此时CA,CD也可以唯一确定,这表明此时△ABC是存在的,且BC边上的高AD=; 若选③,△ABC的面积是10, 则S△ABC=bcsin A=b×6×=10, 考点三　高线问题 解得b=5,由余弦定理可得a===9可以唯一确定, 进一步由余弦定理可得cos B,cos C也可以唯一确定,即B,C可以唯一确定, 这表明此时△ABC是存在的,且BC边上的高满足:S△ABC=a·AD=AD=10,即AD=. 考点三　高线问题 方法总结 　高线问题的处理策略 1.等面积法:AD·BC=AB·AC·sin∠BAC. 2.AD=AB·sin∠ABD=AC·sin∠ACD. 考点三　高线问题 对点训练 3.(2025·江苏宿迁模拟)记△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,面积为S,且S=a2sin 2B. (1)证明:tan B=3tan A; 考点三　高线问题 证明:因为S=a2sin 2B, 所以acsin B=2a2sin Bcos B, 在△ABC中,sin B>0,所以c=4acos B. 由正弦定理,得sin C=4sin Acos B. 因为A+B+C=180°, 所以sin C=sin(180°-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以4sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B, 即cos Asin B=3sin Acos B, 所以tan B=3tan A. 考点三　高线问题 (2)若A=45°,BC边上的高为6,求b. 考点三　高线问题 解:法一:因为tan C=-tan(A+B)=-=2,所以△ABC为锐角三角形. 过点A作AD⊥BC,过点C作CE⊥AB,D,E分别为垂足, 由tan A=1,设AE=CE=3x, 因为tan B=3,所以CE=3EB=3x,AD=3BD=6, 所以在Rt△ADB中,AD=6,BD=2,AB=4x,所以36+4=16x2,解得x2=, 所以在Rt△AEC中,AC==3,即b=3. 考点三　高线问题 法二:因为tan B==3,又因为sin2B+cos2B=1,解得sin2B=,cos2B=. 因为tan B=3>0,所以B∈(0°,90°),所以sin B=,cos B=. 由S=a2sin 2B=a×6,得2a2sin Bcos B=3a,解得a=5. 由正弦定理=,得=,解得b=3. 培优　题组集训 培优　题组集训 1.(2025·山东聊城模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=,a=2,b=2,则AC边上的高h=(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. B 培优　题组集训 解析:∵B=,a=2,b=2, ∴由余弦定理得cos B=, 即=, 解得c=6或c=-2(舍去),又B=,∴sin B=,由三角形的面积公式可得bh=acsin B,即h==. 培优　题组集训 2.(2025·河北石家庄模拟)如图,在△ABC中,已知B=,D是BC上的一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB=(　　) A.4 B.5 C.2 D. D 培优　题组集训 解析:在△ACD中,由余弦定理得cos C===. 又因为C∈(0,π),所以sin C==, 在△ABC中,由正弦定理得=,即=,解得AB=. 培优　题组集训 3.(多选)(2025·福建漳州模拟)在△ABC中,AC=2,tan A=2,向量在向量上的投影向量为,则(　　 ) A.边BC上的高为3 B.sin C= C.·=-8 D.边AB上的中线为 ABD 培优　题组集训 解析:如图,过点C作CD⊥AB于点D,则向量, 由已知=,所以AD=AB, 设AD=x,则BD=2x,又tan A=2,所以CD=2x,所以B=, 在Rt△ACD中,AC=x,又AC=2,所以x=2,所以AD=2,BD=4,CD=4,所以AB=6, 在Rt△BCD中,易得BC==4,所以边BC上的高为AB·sin B=3,故选项A正确; 培优　题组集训 在△ABC中,由余弦定理的推论得cos C==, 又因为C∈(0,π),所以sin C==,故选项B正确; ·=||·||cos C=2×4×=8,故选项C错误; 设AB的中点为M,连接CM,则=(+), 所以=(++2·)=×(20+32+2×8)=17,则||=,故选项D正确. 培优　题组集训 4.(2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　　　.  2 培优　题组集训 解析:记AB=c,AC=b,BC=a. 法一:由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos 60°=6, 因为b>0,解得b=1+,由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得, ×2×b×sin 60°=×2×AD×sin 30°+×AD×b×sin 30°, 解得AD===2. 培优　题组集训 法二:由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos 60°=6,因为b>0,解得b=1+, 由正弦定理可得,==, 解得sin B=,sin C=, 因为1+>>,所以C=45°,B=180°-60°-45°=75°, 又∠BAD=30°,所以∠ADB=75°,即AD=AB=2. 培优　题组集训 5.(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上, ∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　.  -1 培优　题组集训 解析:设CD=2BD=2m>0, 则在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠ADB=m2+4+2m, 在△ACD中,AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos∠ADC=4m2+4-4m, 所以===4-≥4-=4-2,当且仅当m+1=即m=-1时,等号成立, 所以当取最小值时,BD=-1. 感谢您的观看 $