专题2 第4讲 平面向量 基础课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

第四讲　平面向量 基础课 第一部分　专题突破 专题二　三角函数与平面向量 高考分析 1.高考主要考查向量的基本概念、运算和简单应用,如给出向量的坐标或几何表示求向量的模、夹角、数量积或判断向量的平行、垂直关系等.　2.平面向量中的最值、范围问题常与函数、不等式相结合,解决时注意体会数形结合、转化与化归思想方法的应用. 考点一　平面向量的基本运算 内容索引 考点二　平面向量的最值与范围问题 考点三　平面向量的综合问题 3 考点一　平面向量的基本运算 考点一　平面向量的基本运算 角度1　平面向量的线性运算 [例1]　(1)在△ABC中,D为AC靠近A的三等分点,连接BD,E为BD的中点,=x+y,则x+2y的值为(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D.1 C 考点一　平面向量的基本运算 [解析]　由条件可知,=(+)=(+)=+, 所以x=,y=,所以x+2y=. 考点一　平面向量的基本运算 (2)(2025·湖南邵阳模拟)设D为△ABC所在平面内一点,=-+.若=λ(λ∈R),则λ的值为(　　) A.4　　　　　　　　　　 B.5 C.-4 D.-5 D [解析]　因为=-+=-++,所以-=-(-),即=-,即=-5,即λ=-5. 考点一　平面向量的基本运算 　在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理恰当地选取基底,变形要有方向,不能盲目转化. 方法总结 考点一　平面向量的基本运算 角度2　平面向量的数量积 [例2]　(1)(2025·安徽合肥模拟)已知非零向量a与b不共线,且满足|b|=2|a|,2a-b与b的夹角为,则向量a与向量b的夹角为(　　) A. B. C. D. A 考点一　平面向量的基本运算 [解析]　设向量a与向量b的夹角为θ,θ∈(0,π), 设|b|=2|a|=2,则a·b=|a||b|cos θ=2cos θ, 则|2a-b|====. 因为2a-b与b的夹角为, 所以cos =, 则-=,即-=, 可得2cos2θ-3cos θ+1=0,解得cos θ=1(舍去)或cos θ=,则θ=. 考点一　平面向量的基本运算 (2)(2025·全国二卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.  [解析]　a-b=(1,1-2x),因为a⊥(a-b),则a·(a-b)=0, 则x+1-2x=0,解得x=1.则a=(1,1),则|a|=. 考点一　平面向量的基本运算 　 1.数量积的计算通常有三种方法:数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义. 2.可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算. 方法总结 考点一　平面向量的基本运算 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2　　　　　　　　 B.-1 C.1 D.2 对点训练 D 解析:因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0即4+x2-4x=0,故x=2. 考点一　平面向量的基本运算 2.(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA. 设=m,=n,则=(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n B 解析:因为BD=2DA,所以=2,即-=2(-), 所以=3-2=3n-2m=-2m+3n. 考点一　平面向量的基本运算 3.(2025·河北秦皇岛模拟)已知a为单位向量,|b|=2,|a+b|=,则a在b上的投影向量的长度为(　　) A.B. C.1 D.2 解析:由|a+b|=,可得|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=6. 因为|a|=1,|b|=2,代入解得a·b=, 所以a在b上的投影向量的长度为|a|·|cos<a,b>|==. A 考点二　平面向量的最值与范围问题 考点二　平面向量的最值与范围问题 极化恒等式:a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. 1.几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 2.若O是平行四边形PMQN对角线的交点,则: (1)·=(||2-||2)(平行四边形模式); (2)·=||2-||2(三角形模式). 考点二　平面向量的最值与范围问题 [例3]　(1)(2025·湖南岳阳模拟)已知不共线的向量a,b,c,满足|a|=1,a·b=2,|a-c|=|2a+c|,则|b-c|的最小值为(　　) A.　　　　　　　　　　 B.2 C. D. D 考点二　平面向量的最值与范围问题 [解析]　由|a-c|=|2a+c|,得|a-c|2=|2a+c|2, 即a2-2a·c+c2=4a2+4a·c+c2,又|a|=1, 整理得a·c=-. 设a=,b=,c=,则b-c=-=, 设A(1,0),C(x,y),则a=(1,0),c=(x,y), 所以a·c=x=-,即点C在直线x=-上; 设b=(m,n),由a·b=2,得m=2,即点B直线x=2上, 而|b-c|=||的几何意义为直线x=2上的点B到直线x=-上的点C的距离, 所以|b-c|min=||min=2-(-)=, 即|b-c|的最小值为. 考点二　平面向量的最值与范围问题 (2)(2025·北京模拟)如图所示,设P为图中7个正六边形(边长为4)的某一个顶点,A,B为两个固定顶点,则·的最大值为(　　) A.44　　　　　　　　　 B.48 C.72 D.76 B 考点二　平面向量的最值与范围问题 [解析]　连接AB,取AB的中点O,由极化恒等式·=|OP|2-|OA|2=|OP|2 -64, 由图可知,离O距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点,所以|OP -64=64+48-64=48,即·的最大值为48. 考点二　平面向量的最值与范围问题 　平面向量中有关最值问题的求解思路 方法总结 形化 利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断 数化 利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的数化解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决 考点二　平面向量的最值与范围问题 对点训练 4.(2025·北京模拟)如图所示,弧BD是以O为圆心,OB为半径的圆的一部分,满足OB=2,∠BOD=,C是OB的中点,点A在弧BD上运动,则·的最小值为(　　) A.2 B.-2 C.- D.-1 C 考点二　平面向量的最值与范围问题 解析:由题意可知,||=1,||=2,则·=||||cos∠COA=2cos∠COA. 因为点A在弧BD上运动,所以∠COA∈[0,],所以当∠COA=时,·取得最小值2×cos=-. 考点三　平面向量的综合问题 考点三　平面向量的综合问题 [例4]　(多选)(2025·广东佛山模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=45°,(+3)·=0,则下列说法正确的是(　　) A.sin B= B. tan A=2 C.在方向上的投影向量为 D.若||=,则·=2 AC 考点三　平面向量的综合问题 [解析]　A选项:对于(+3)·=0,根据数量积的定义展开可得,cacos(π-B)+3bacos C=0, 即3abcos C=accos B,即3bcos C=ccos B,由正弦定理,3sin Bcos C=sin Ccos B, 即tan B=tan C=tan 45°=,则 B为锐角, 由解得 A选项正确. 考点三　平面向量的综合问题 B选项:由A选项和题干可知,tan B=,tan C=1, tan(B+C)==2=tan(π-A)=-tan A,故tan A=-2,B选项错误. C选项:方向上的投影向量为||cos B·, 由B知,tan A=-2, 且0<A<π,sin A>0,解得sin A=, 由正弦定理,==,则||cos B·=·=,C选项正确. 考点三　平面向量的综合问题 D选项:由正弦定理,==, 即==,解得a=4,c=, 于是cos A==-,·=××(-)=-2,D选项错误. 考点三　平面向量的综合问题 方法总结 　平面向量综合问题的常见解法 借“底”数字化 选取合适的一组基底,建立向量关系,构造未知向量的方程求解;求模时,通常进行“模方”运算 借“系”坐标化 把几何图形放在坐标系中,表示有关点、向量的坐标,进行相应的代数运算,从而解决问题 考点三　平面向量的综合问题 对点训练 5.(多选)(2025·山东济南模拟)在艺术、建筑设计中,把短对角线与长对角线长度之比为-1的菱形称为白银菱形.如图,在白银菱形ABCD内,有三个全等的小白银菱形AEMH,BNDM,NFCG.若AB=+1,则(　　 ) A.与共线 B. ∠BAD= C.·=- D.·+·=0 ABD 考点三　平面向量的综合问题 解析:根据题意,在白银菱形ABCD内, 设AC=2x,BD=2y,则=-1,在小白银菱形AEMH,NFCG中, EM∥AH,GN∥CF,而AH∥CF,所以EM∥GN,则共线,A正确; 由于tan∠DAN==-1, 则tan∠BAD=tan 2∠DAN==1, 因为0<∠BAD<π,则∠BAD=,B正确; 考点三　平面向量的综合问题 由于∠BAD=,所以∠DHM=,∠AHM=,又∠ADC=,∠MDN=,根据对称性可得∠HDM=,所以∠HMD=, 在Rt△HMD中,设小白银菱形边长为a,则HD=a,AD=AH+HD=a+a=+1,所以a=1, 则·=-·=-1××cos=-1,C错误; ·+·=·-·=0,D正确. 感谢您的观看 $