27.2相似三角形（同步讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册

本讲义聚焦相似三角形核心知识，系统梳理定义、性质（对应角相等、对应边成比例，周长比、对应线段比等于相似比，面积比为相似比平方）、判定（平行线法、三边法等）、应用（测量高度、距离）及作图变换，构建从基础到应用的递进式学习支架。 资料通过选择、填空、解答题分层设题，结合测量塔高、河宽等实例培养数学眼光，通过推理证明发展数学思维，规范解析助力数学语言表达。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生强化练习、查漏补缺，提升知识应用能力。

27.2相似三角形（同步讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册 【知识精讲】 1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 3．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 4．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 5．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 【题型演练】 一、单选题 1．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各组中，两个图形不一定相似的是（　　） A．两个等边三角形 B．各有一个角等于45°的两个等腰三角形 C．各有一个角等于60°的两个等腰三角形 D．各有一个角等于105°的两个等腰三角形 3．下列线段成比例的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，点在正方形的边上，，，点在上运动（不与、重合），，交于点，则的长度不可能是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 6．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，则点C的坐标是（　　） A．（4，2） B．（3， ） C．（3， ） D．（2， ） 7．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论正确个数有（　　） ①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S四边形BFGC= ﹣1. A．1 B．2 C．3 D．4 8．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法.如图所示，在矩形 中，以 为边做正方形 ，以 为斜边，作 使得点在 的延长线上，过点 作 交 于 ，再过 点作 于 ，连结 交 于 ，记四边形 ，四边形 的面积分别为 ，若 ， ，则 为（　　） A．8 B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，点在上，，交于点，若，且，则　 　． 10．在边长为1的小正方形网格中，．则与的周长比为　 　． 11．如图，在矩形中，，，是射线上一动点，过点作于点，连接，当最短时，线段的长为　 　． 12．在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，连接AE，过点D作于点F，连接CF、AC． （1）线段DF的长为　 　； （2）若AC交DF于点M，则　 　． 13．如图，，AB＝a，CD＝b，．则EF＝　 　． 14．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为若是的中点，的延长线交于点，则的长为　 　． 三、解答题 15．在Rt △ABC中，斜边AB＝205， ，试求AC，BC的值。 16．如图，点，分别在边，的延长线上，连接，，，，，求的长． 17．如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离米．已知小明的身高为米，他的影长为2米．求信号发射塔的高度． 18．如图，学校平房的窗外有一路灯AB，路灯光能通过窗户CD照到平房内EF处；经过测量得：窗户距地面高，窗户高度，，；求路灯AB的高． 19．如图，在菱形中，，是射线上一点，是上一点，且，求证∶． 20．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别交坐标轴于点，，将点A绕点B顺时针旋转，对应点为D，过点D分别作直线，，其中直线交x轴于点C，过点D作垂直x轴于点E． （1）求直线的表达式； （2）若直线上存在点F，使得与相似，求点F的坐标； （3）如图2，若点M为点A关于点B的对称点，点P为直线上的动点，连接，求的最小值． 21．如图：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4， AB=3，，在线段BC上取一点P（不与B、C重合），联结DP，作射线PQ⊥DP，PQ与直线AB交于点Q． （1）求出梯形ABCD的面积； （2）若点Q在边AB上，设CP=x，AQ=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并写出定义域． （3）△DPC是等腰三角形，求AQ的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°， ∴∠C＝75°，∠A＝30°， A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°， B、三角形各角的度数都是60°， C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°， D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，利用AAA可以判断两个三角形相似. 故答案为：C. 【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理分别计算每一个选项中三角形各内角的度数，再根据AAA定理进行判断. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A、 两个等边三角形的形状相同，则它们相似，故不符合题意； B、各有一个角等于45°的两个等腰三角形的形状不一定相同，则它们不一定相似，故符合题意； C、各有一个角等于60°的两个等腰三角形，则它们都是等边三角形， 则它们相似，故不符合题意； D、 各有一个角等于105°的两个等腰三角形，则105°的角一点是顶角， 则它们的形状相同，一定相似，故不符合题意； 故答案为：B. 【分析】形状相同的两个图形是相似图形，据此逐项判断即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】∵ ，∴选项A不符合题意； ∵2m=20cm，6m=60cm，12m=120cm，且 ，∴选项B不符合题意； ∵ ，∴C选项符合题意； ∵8m=80cm， ，∴D选项不符合题意. 故此题选择C. 【分析】根据成比例线段的性质，将每个选项中的四条线段列比例式，内项之积等于外项之积时即为符合题意. 4．【答案】D 【解析】【解答】∵四边形ADEF为正方形， ∴∠FAD=90°，AD=AF=EF， ∴∠CAD+∠FAG=90°， ∵FG⊥CA， ∴∠GAF+∠AFG=90°， ∴∠CAD=∠AFG， 在△FGA和△ACD中， ∴△FGA≌△ACD（AAS）， ∴AC=FG，故①正确； ∵BC=AC， ∴FG=BC， ∵∠ACB=90°，FG⊥CA， ∴FG∥BC， ∴四边形CBFG是矩形， ∴∠CBF=90°， S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，即S△FAB：S四边形CBFG=1：2，故②正确； ∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°， ∴∠ABC=∠ABF=45°，故③正确； ∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°， ∴△ACD∽△FEQ， ∴AC：AD=FE：FQ， ∴AD•FE=AD2=FQ•AC，故④正确 故答案为：D 【分析】利用正方形的性质可证得∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，再利用AAS证明△FGA≌△ACD，利用全等三角形的性质易证AC=FG，可对①作出判断；再证明四边形CBFG是矩形，易证S△FAB=S四边形CBFG，可对②作出判断；再根据等腰直角三角形的性质和矩形的性质，可推出∠ABC=∠ABF=45°，可对③作出判断；利用相似三角形的判定定理可证得△ACD∽△FEQ，利用相似三角形的性质得出对应边成比例，可证得AD2=FQ•AC，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的个数。 5．【答案】A 6．【答案】B 【解析】【解答】如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N， 过点C作CM⊥x轴于点M． ∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°， ∴∠EAO=∠COM， 又∵∠AEO=∠CMO=90°， ∴△AEO∽△OMC， ∴ ， ∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°， ∴∠BAN=∠EAO=∠COM， 在△ABN和△OCM中， ， ∴△ABN≌△OCM（AAS）， ∴BN=CM． ∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ， ∴BN ， ∴CM ， ∴ ， ∴MO=3， ∴点C的坐标是：（3， ）． 故答案为：B． 【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝ ，MO＝3，进而得出答案． 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC=∠DAC，AB∥CD， ∴∠1=∠CAD， ∵∠1=∠2， ∴∠CAD=∠2， ∴AE=ED， ∵GE⊥AD， ∴AD=2AE， ∵AB=2AF， ∴AE=AF， 又∵AG=AG， ∴△FAG≌△EAG， ∴∠AFG=∠AEG=90°， ∴DF⊥AB，故①正确； ∵AB//CD， ∴△AFG∽△CDG， ∴CG：AG=CD：AF， ∵AF= AB，AB=CD， ∴CG：AG=2：1， ∴CG=2AG，故②正确； 延长CB交DF的延长线于点M， ∵AD//BC， ∴∠M=∠2， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠M， ∴CG=MG， 在△ADF和△BMF中， ∵∠M＝∠2，∠BFM＝∠AFD(对顶角相等)，BF＝AF， ∴△ADF≌△BMF（AAS）， ∴MF=DF， ∵△FAG≌△EAG， ∴FG=EG， ∵GM=GF+MF， ∴CG=DF+GE，故③正确； 由以上可得BO=1，AC=2 ，FG= ， ∴S四边形BFGC=S△ABC-S△AFG= ×2 ×1- × ×1= ，故④错误； 故选C. 【分析】本题主要考查菱形的性质、全等三角形的性质与判定、相似三角形的判定与性质等，能正确地添加辅助线并能熟练应用定理是解题的关键. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形AHMD为正方形， ∴DM＝DA＝7，∠ADM＝90°. ∵DG⊥DE， ∴∠GDE＝90°. ∴∠ADE＋∠EDM＝90°，∠GDM＋∠CDM＝90°. ∴∠ADE＝∠GDM. ∵∠A＝90°，∠DMG＝90°， ∴∠A＝∠DMG. ∴△ADE≌△MDG（ASA）. ∴DE＝DG，AE＝GM. ∴四边形DEFG为正方形. 设AE＝x，则GM＝x. 在Rt△ADE中，DE＝ ＝ = ∵∠DGC＝90°， ∴∠DGM＋∠CGM＝90°. ∵GM⊥CD， ∴∠DMG＝∠GMC＝90°. ∴∠CGM＋∠GCM＝90°. ∴∠DGM＝∠GCM. ∴△DMG～△GMC. ∴ ， ∴CM＝ . ∵S1−S2＝15， ∴（S1＋S△CMN）−（S2＋S△CMN）＝15. 即S△EDC−S矩形CMHB＝15. ∴ ×CD×AD−CM×MH＝15. ∴ ×AD×（CM＋DM）−CM×AD＝15. ∴ ×7×（7＋ ）−7× ＝15. 解得：x＝± （负数不合题意，舍去）. ∴x＝ . ∴DG＝AE＝ = =2 故答案为：B. 【分析】根据正方形的性质，结合余角的性质，利用SAS证明△ADE≌OMDG，得出AE= GM， DE = DG，得出四边形DEFG为正方形，设AE＝x，根据勾股定理求出DE，再证明△DMG ~△GMC，利用三角形相似的性质列比例式，把CM表示出来，利用S1-S2=15，得到S△EDC−S矩形CMHB＝15，据此列方程求解，最后利用勾股定理求DG即可. 9．【答案】6 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】（1） （2） 【解析】【解答】在矩形ABCD中，， ，，， E是BC的中点 在中，由勾股定理得 ； 故答案为：； 如图，延长DF交BC延长线于点K ， 由（1）得 在中，由勾股定理得 故答案为：． 【分析】（1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可； （2）延长DF交BC延长线于点K，利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可。 13．【答案】 【解析】【解答】解：连接BD ∵AB∥EF∥CD， ∴，△DEH∽△DAB，△BHF∽△BDC， ∴，. ∵AB=a，CD=b， ∴，， ∴EH=，FH=， ∴EF=EH+HF=. 故答案为：. 【分析】连接BD，根据平行线分线段成比例的性质可得，根据平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△DEH∽△DAB，△BHF∽△BDC，根据相似三角形的性质可得EH、FH，然后根据EF=EH+HF进行解答. 14．【答案】 15．【答案】解：设AC=9x，BC=40x， 根据勾股定理可得 ，即 ， 解得x=5. ∴AC=45，BC=200. 【解析】【分析】由已知的比例式可设AC=9x，BC=40x，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求得x的值，把x的值代入AC=9x，BC=40x计算即可求解。 16．【答案】9 17．【答案】米 18．【答案】路灯AB的高度为米 19．【答案】证明：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形，则， ∴， ∵，， ∴，， 又， ∴， 设， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】连接AC，证明△ABC、△ACD为等边三角形，再证，利用相似三角形的性质即可求解. 20．【答案】（1） （2）或 （3）6 21．【答案】（1）21；（2），（6≤x<10)；（3）或. 学科网（北京）股份有限公司 $