2.2 第1课时 等差数列的前n项和-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦高中数学“等差数列的前n项和”核心知识点，从唐代宝塔诗字数计算情境引入，推导首项末项项数、首项公差项数两类求和公式，衔接通项公式关系（由Sn求an及n=1的讨论），形成“情境—公式—应用”的学习支架。 该资料以传统文化素材（宝塔诗、《算法统宗》）培养数学眼光，通过公式推导与“知三求二”训练数学思维，结合抗洪筑堤、蚊香长度等实际问题引导用数学语言表达现实世界。课中助教师情境教学，课后通过跟踪训练与练习题辅助学生查漏补缺。

2．2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，能运用公式解决相关问题．　2.理解等差数列的前n项和公式和通项公式的关系，能利用前n项和公式求通项公式．　3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 请同学们欣赏唐代诗人张南史的宝塔诗《花》，并回答下面的问题： 花， 花. 深浅， 芬葩. 凝为雪， 错为霞. 莺和蝶到， 苑占宫遮. 已迷金谷路， 频驻玉人车. 芳草欲陵芳树， 东家半落西家. 愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯. 思考　从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 提示：诗中文字有对称性；这首诗内容的字数为S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝56，根据对称性，可先取其一半来研究．其数的个数较少，大家很容易求出答案． 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 Sn＝________ Sn＝____________ [答案自填] 　na1＋d 　在等差数列{an}中， (1)已知a3＝16，S20＝20，求S10； (2)已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12. 【解】　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则 解得 所以S10＝10×20＋＝200－90＝110. (2)因为Sn＝n·＋·＝－15， 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， 所以a12＝＋(12－1)×＝－4. 求等差数列的基本量的方法 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．　 [跟踪训练1] 在等差数列{an}中． (1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； (2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 方法一：由已知条件得 解得 所以S10＝10a1＋d ＝10×3＋×4＝210. 方法二：由已知条件得 所以a1＋a10＝42， 所以S10＝＝5×42＝210. (2)S7＝＝7a4＝42，所以a4＝6， 所以Sn＝＝＝＝510，所以n＝20. 若数列{an}的前n项和为Sn，则当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，① Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1，② ①－②，得Sn－Sn－1＝an， 即an＝Sn－Sn－1. 因此an＝ 　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式． 【解】　当n≥2(n∈N＋)时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－.① 当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式． 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－(n∈N＋)． 【变式探究】 (条件变式)若将本例中前n项和改为“Sn＝n2＋n＋1”，求数列{an}的通项公式． 解：当n≥2(n∈N＋)时， an＝Sn－Sn－1 ＝n2＋n＋1－ ＝2n－.① 当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＋1＝，不符合①式． 所以an＝ 已知数列{an}的前n项和Sn，则通项公式为an＝当n＝1时，若a1适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项公式；若a1不适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则用分段形式表示．　 [跟踪训练2] 已知数列{an}的前n项和为Sn，＝，a2＝3. (1)求证：数列{an}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：因为＝， 所以Sn＝，① Sn＋1＝，② ②－①得(n－1)an＋1＝nan－1，③ 所以nan＋2＝(n＋1)an＋1－1，④ ④－③得an＋an＋2＝2an＋1，所以数列{an}是等差数列． (2)由＝，当n＝1时，＝， 解得a1＝1，又a2＝3， 所以等差数列{an}的公差d＝a2－a1＝2， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 　(对接教材例7)某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20辆同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 【解】　从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－. 25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋×(－)＝500，而筑成第二道防线需要完成的工作量为24×20＝480. 因为500>480，所以在24小时内能构筑成第二道防线． 应用等差数列解决实际问题的思路 　 [跟踪训练3] 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为(　　) A．44π B．64π C．70π D．80π 解析：选D.由题意每段圆弧的圆心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 则第n段圆弧的半径为n，弧长记为an， 则an＝·n， 所以S15＝×(1＋2＋3＋…＋15)＝80π.故选D. 1．等差数列－，0，，…前10项的和为(　　) A．25 B．30 C．35 D．40 解析：选C.由题意，a1＝－，d＝，所以a10＝a1＋(10－1)d＝8，S10＝×10＝35.故选C. 2．(多选)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a7＝5，S7＝21，则(　　) A．a1＝1 B．d＝－ C．a2＋a12＝10 D．S10＝50 解析：选AC.由a7＝5，S7＝21可得解得d＝，a1＝1，故A正确，B错误；a2＋a12＝2a1＋12d＝10，故C正确；S10＝10a1＋45d＝40，D错误．故选AC. 3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(　　) A．35 B．32 C．23 D．38 解析：选A.由题意可知，九个儿子的年龄成公差为d＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，解得a1＝35. 4．(教材P17T3改编)已知在等差数列{an}中，a1＝ ，S4＝20，则S6＝________． 解析：S4＝4a1＋d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，所以d＝3.故S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝3＋45＝48. 答案：48 1．已学习：等差数列前n项和计算公式、由Sn与an的关系求an、等差数列前n项和在实际问题中的应用． 2．须贯通：等差数列前n项和及其计算以及由Sn与an的关系求an. 3．应注意：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．　 学科网（北京）股份有限公司 $