4.1 二项分布-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．若随机变量X～B，那么EX＝(　　) A． B．1 C．2 D．3 解析：选B．因为X～B，所以EX＝3×＝1.故选B． 2．(2024·河南南阳检测)设某实验成功率是失败率的3倍，用随机变量ξ描述3次实验成功的次数，则P＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由于成功率是失败率的3倍，所以成功率是，失败率是，故P＝C×2×＝.故选A． 3．(2024·安徽宿州检测)在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则(　　) A．X～B B．X～B C．X～B D．X～B 解析：选B．有放回抽取，每次取到次品的概率都是＝0.05，相当于10次独立重复的伯努利试验，所以X～B.故选B． 4．设随机变量X～B，Y～B，若P(X＝0)＝，则DY＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D．因为随机变量X～B，所以P(X＝0)＝C(1－p)2＝， 解得p＝或p＝(舍去) ，所以Y～B，所以DY＝4××＝.故选D． 5．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝，D(X)＝，则p＝　(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由题意解得故选A． 6．(多选)下列随机变量X服从二项分布的是(　　) A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数 B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数 解析：选ACD．选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然每一次试验的结果只有两种，且每一次试验相互独立且概率不发生变化，但随机变量X的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，均为，进行5次比赛，相当于进行了5重伯努利试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义可知，X～B(n，0.3).故选ACD． 7．(2024·安徽合肥期末)设X为随机变量，X～B，若随机变量X的均值为2，则P＝__________． 解析：由题意可知，X～B(4，p)，所以EX＝4p＝2，解得p＝，所以P(X≥1)＝1－C×0×4＝. 答案： 8．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题有四个选项且只有一个选项是正确的．A学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，选择题的得分为Y分，则DY－DX＝________． 解析：设A学生、B学生答对的题数分别为X′，Y′ ，则X＝5X′，Y＝5Y′.依题意可知X′，Y′均服从二项分布，即X′～B，Y′～B，所以DX′＝12××＝，DY′＝12××＝，又X＝5X′，Y＝5Y′，所以DX＝25DX′＝，DY＝25DY′＝， 所以DY－DX＝. 答案： 9．(2024·河北邯郸期中)一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若每次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行n次后小虫所在位置对应的数为随机变量ξn，则＝________． 解析：由题意知，小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，若ξ2 022＝0，则爬行2 022次后小虫一共向前爬行 1 011 次，向后爬行1 011次，所以P(ξ2 022＝0)＝C2 022，若ξ2 022＝2，则爬行2 022次后小虫一共向前爬行 1 012次，向后爬行1 010次，所以P＝C2 022，故＝. 答案： 10．某种植户对一块地上的n(n∈N＋)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种． (1)求每个坑不需要补种的概率； (2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和均值． 解：(1)由题意可知每个坑要补种的概率P＝C×3＋C××2＝，则每个坑不需要补种的概率为1－＝. (2)易知X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B，因此P(X＝0)＝C××＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝C×2×2＝，P(X＝3)＝C×3×＝，P(X＝4)＝C×4＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P EX＝4×＝2. 11．十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福．某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，如图，并在十二个面上分别雕刻了十二生肖的图案．其中兴趣小组2个成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上(即牛的图案在最上面)，2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．因为每抛一次抛出牛的图案朝上的概率是，所以2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为P＝C××＝.故选C． 12．(多选)某中学在军训中组织了射击比赛．规定每名同学有4次射击机会，击中一次得10分，没击中得－5分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射击机会，每次击中的概率为，每次射击相互独立．记X为小明的得分总和，记Y为小明击中的次数，下列结论正确的是(　　) A．EY＝3 B．P＝ C．P＝ D．DX＝ 解析：选ACD．对A，由题可知Y～B，则X＝10Y－5(4－Y)＝15Y－20，所以EY＝4×＝3，DY＝4××＝，故A正确；对B，P(Y＝4)＝4＝，所以P＝1－P(Y＝4)＝1－＝，故B错误；对C，当Y＝0时，X＝－20；当Y＝1时，X＝－5；当Y＝2时，X＝10；当Y＝3时，X＝25；当Y＝4时，X＝40，所以P(X≥20)＝P(Y＝3)＋P(Y＝4)＝C×3×＋C×4＝，故C正确；因为DX＝152DY＝152×＝，故D正确．故选ACD． 13．(2024·陕西渭南期末)设X～B(3，p)，且P(X＝2)＝，则p＝________． 解析：由题意得P(X＝2)＝C·p2(1－p)＝，即125p3－125p2＋18＝0，由于125p3－125p2＋18＝3－33－125p2＋45＝(5p－3)(25p2＋15p＋9)－5(5p＋3)·＝0，所以(5p－3)·(25p2－10p－6)＝0，因此5p－3＝0或25p2－10p－6＝0，又0<p<1，所以p＝或p＝. 答案：或 14．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示． 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值EX及方差DX. 解：(1)记事件A1表示“日销售量不低于100个”，事件A2表示“日销售量低于50个”，事件B表示“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)由题意及(1)知X～B(3，0.6)，故P(X＝0)＝C×(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C×0.6×(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C×0.63＝0.216，则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 均值EX＝3×0.6＝1.8，方差DX＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 15．(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10 100)，其中在A的各位数中，ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率均为，出现1的概率均为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时(　　) A．X服从二项分布 B．P(X＝1)＝ C．X的均值EX＝ D．X的方差DX＝ 解析：选ABC．由二进制数A的特点，知每一位上的数字只能填0或1，故五位二进制数中后4位的所有结果有5类：①后4位全出现0，此时X＝0，其概率P(X＝0)＝()4＝；②后4位只出现1个1，此时X＝1，其概率P(X＝1)＝C××()3＝；③后4位出现2个1，此时X＝2，其概率P(X＝2)＝C×()2×()2＝；④后4位出现3个1，此时X＝3，其概率P(X＝3)＝C×()3×＝；⑤后4位全出现1，此时X＝4，其概率P(X＝4)＝()4＝.故X～B(4，)，所以X的均值EX＝4×＝，X的方差DX＝4××＝，故A，B，C正确，D错误．故选ABC． 16．(2024·江西景德镇期末)某中学为宣传传统文化，特举行一次《诗词大赛》知识竞赛．规则如下：两人一组，每一轮竞赛中小组两人分别答两题．若小组答对题数不小于3，则获得“优秀小组”称号．已知甲、乙两位同学组成一组，且甲同学和乙同学答对每道题的概率分别为p1，p2. (1)若p1＝，p2＝，求在第一轮竞赛中，他们获得“优秀小组”称号的概率； (2)若p1＋p2＝，且每轮竞赛结果互不影响．如果甲、乙两位同学想在此次竞赛活动中获得6次“优秀小组”称号，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？ 解：(1)甲答对1题，乙答对2题，其概率为C×××C×2＝；甲答对2题，乙答对1题，其概率为C×2×C××＝；甲答对2题，乙答对2题，其概率为C2×C2＝.所以在第一轮竞赛中，他们获得“优秀小组”称号的概率为＋＋＝. (2)他们在每轮竞赛中获得“优秀小组”称号的概率P＝Cp1(1－p1)×Cp＋Cp×Cp2(1－p2)＋ Cp×Cp＝2p1p2(p1＋p2)－3(p1p2)2＝p1p2－3(p1p2)2，由0<p1≤1，0<p2≤1，p1＋p2＝，得≤p1≤1，则p1p2＝p1＝p1－p＝－2＋，因此p1p2∈，令t＝p1p2∈，则P＝t－3t2＝－32＋，于是当t＝时，Pmax＝，要想竞赛轮数取最小值，则每轮竞赛中获得“优秀小组”称号的概率取最大值，设他们小组在n轮竞赛中获得“优秀小组”称号的次数为ξ，则ξ～B，Eξ＝n，由Eξ＝6，即n＝6，解得n≈11.57，而n∈N＋，则nmin＝12，所以理论上至少要进行12轮竞赛． 学科网（北京）股份有限公司 $