3 第2课时 组合的应用-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1.某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手．现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须都在内，那么不同的选法共有(　　) A．26种 B．84种 C．35种 D．21种 解析：选C．2名种子选手必须参加，故只需从剩余7名队员中选出3人有C＝＝35种选法． 2.(2024·江西赣州期末)从5件不同的礼物中选出3件分别送给3名同学，则不同的送法共有(　　) A．240种 B．125种 C．120种 D．60种 解析：选D．由题意可知CA＝10×6＝60(种).故选D． 3.200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有(　　) A．CC种 B．CC＋CC种 C．C－C种 D．C－CC种 解析：选B．至少2件次品包含两类：第1类，2件次品，3件正品，共CC种抽法；第2类，3件次品，2件正品，共CC种抽法，由分类加法计数原理得，抽法共有CC＋CC种．故选B． 4.(2024·江西赣州检测)某高二班主任从网上找到6个科普短视频a，b，c，d，e，f，准备从这6个短视频中再选出3个向学生推荐，若a，b，c至少选1个，且d，e，f至少选1个，则不同的选法种数为(　　) A．8 B．18 C．27 D．36 解析：选B．分两类：第1类，a，b，c选2个，d，e，f选1个；第2类，a，b，c选1个，d，e，f选2个，所以不同选法种数为CC＋CC＝18.故选B． 5.(2024·河南商丘联考)著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载：任何一个大于1的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如42＝2×3×7.对于1 260＝a1×a2×a3×…×an，其中a1，a2，a3，…，an均是素数，则从a1，a2，a3，…，an中任选3个数，可以组成不同三位数的个数为(　　) A．32 B．36 C．42 D．60 解析：选C．1 260＝2×2×3×3×5×7，从2，2，3，3，5，7中任选3个数组成三位数，可以分为两类：第一类，三个数互不相同，共有A＝24个三位数；第二类，含有2个2或2个3，共有2CC＝18个三位数，所以一共有42个三位数．故选C． 6.(多选)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(　　) A．若任意选择三门课程，选法总数为A B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为CC－C 解析：选ABD．对于A，任意选择三门课程，属于组合问题，可得选法的总数为C，A错误；对于B，物理和化学只选一门的选法数为CC，物理和化学同时选的选法数为CC，则物理和化学至少选一门的选法总数为CC＋CC，B错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为C－CC＝C－C，C正确；对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理不选化学且物理和历史不能同时选，有C种选法；②只选化学不选物理且物理和历史不能同时选，有C种选法；③物理与化学都选，有C种选法，故选法总数为C＋C＋C＝20，D错误． 7.空间中有10个点，其中有5个点(无三点共线)在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为____________． 解析：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205. 答案：205 8.(2024·江西南昌联考)古镇旅游是近年旅游的热点，某旅游短视频博主准备到江西婺源古村落、瑶里古镇、驿前古镇、河口古镇、密溪古村五个地方去打卡，每个地方打卡一次，则先去婺源古村落打卡，且瑶里古镇不最后去打卡的方法数为____________．(用数字作答) 解析：先去婺源古村落打卡，且瑶里古镇不最后去打卡的方法数为CA＝18. 答案：18 9.(2024·江西南昌检测)盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售．它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买．小明购买了5个冰墩墩单只盲盒，拆开后发现有2个相同的“竹林春熙”以及“冰雪派对”“青云出岫”“如意东方”各1个．小明想将这5个摆件排成一排，要求相同的摆件不相邻．若相同摆件视为相同元素，则一共有____________种摆放方法． 解析：记“竹林春熙”为A，“冰雪派对”为B，“青云出岫”为C，“如意东方”为D，先摆放B，C，D，一共有A种摆放方式，再将2个A插空放入，有C种摆放方式，所以一共有AC＝36种摆放方式． 答案：36 10.一组学生共有7人． (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？ (2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有648种，问该组学生中男、女生各有多少人？ 解：(1)由题意，所有的不同选法种数，就是从7名学生中选出3人的组合数，所以有C＝35种不同的选法． (2)设有男生x人，则女生有7－x人，从这7人中选出2名男生2名女生的方法有CC种，要求每人参加一项且每项活动都有人参加有CA种，根据分步乘法计数原理得，CCCA＝648，所以x(x－1)·(7－x)(6－x)＝72(x∈N＋且2≤x≤5)，解得x＝3或x＝4，所以该组学生中有男生3人，女生4人或男生4人，女生3人． 11.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“雪容融”甲和“雪容融”乙相邻，且均不与“雪容融”丙相邻的不同的排列方法总数为(　　) A．480 B．960 C．1 080 D．1 440 解析：选B．先将4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物进行全排列，则有A种方法，“雪容融”甲和“雪容融”乙相邻，看作一个整体则有A种方法，“雪容融”丙看作一个，然后插入的方法数为CA，所以“雪容融”甲和“雪容融”乙相邻，且均不与“雪容融”丙相邻的不同的排列方法总数为ACAA＝4×3×2×1×10×2×2＝960.故选B． 12.如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有(　　) A．288种 B．264种 C．240种 D．168种 解析：选B．方法一：本题中的颜色不一定要全用上，可按使用颜色的种数进行分类．第1类：涂四种颜色．第1步：从四种颜色中选三种涂在A，E，D三点，有A种涂法；第2步：从B，F，C三点中选一点涂剩下一种颜色，有C种涂法；第3步：给剩下的两点涂色，有3种涂法．根据分步乘法计数原理，共有3AC＝216种涂法．第2类：涂三种颜色，先选择三种颜色，有C种选法；再将这三种颜色涂在B，C，F三点，有A种涂法；剩下的三点的涂法只有2种，所以共有2CA＝48种涂法．综上，根据分类加法计数原理，共有216＋48＝264种不同的涂色方法． 方法二：先涂A，D，E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，再涂B，分三类，第一类，当B与E同色时，再涂C有2种涂法，再涂F，有2种涂法，共有1×2×2＝4种涂法；第二类，当B与D同色时，再涂C，若C与A同色，则F有1种涂法；若C与E同色，则F有2种涂法；若C与A，D，E都不同色，则C有1种涂法，F有1种涂法，共有1×1×1＋1×1×2＋1×1×1＝4种涂法；第三类，当B与A，D，E都不同色时，B有1种涂法，再涂C，若C与E同色，则F有2种涂法；若C与A同色，则F有1种涂法，此时共有1×1×2＋1×1×1＝3种涂法．所以共有24×(4＋4＋3)＝264种不同的涂法． 13.在中国空间站建造阶段，有4名航天员共同停留在空间站．预计在完成某项任务中，需4名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，每个舱至少1人，则不同的安排方案共有____________种． 解析：根据题意得，将4名航天员分成3组有＝6种方法，将3组人员分到3个航天舱，有A＝6种不同的分法，所有不同的安排方案共有6×6＝36(种). 答案：36 14.现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学．(用数字作答) (1)若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？ (2)若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？ (3)若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本分配，共有多少种分法． 解：(1)根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有C＝6种情况，即有6种不同的分法． (2)分2步进行：第1步，将5本书分成3组，若分成1，1，3的三组，有＝10种分组方法，若分成1，2，2的三组，有＝15种分组方法，从而分组方法有10＋15＝25(种)；第2步，将分好的三组全排列，对应3名学生，有A＝6种情况，根据分步乘法计数原理，故共有25×6＝150种分法． (3)记这5本书分别为A，A，B，C，D，5本书取其三本为一组，其它两组各一本分配时，①三本中不含A时仅有一种分组，再分配给3人，有3种方法，②三本中仅含一个A时，分组的方法有C种，再分配给3人，共有C×A＝18种方法，③三本中含两个A时，分组的方法有C种，再分配给3人，共有C×A＝18种方法．根据分类加法计数原理，共有18＋18＋3＝39种分法． 15.某校为参加某比赛，计划组建三支集训队．现共有备赛教师3名、学生6名．每支集训队由1名教师和2名学生组成．根据需要，教师甲和学生乙要分配在一个队，学生丙和学生丁不在同一个队，则这三支队伍的分组方法共________种． 解析：若学生丙或丁，与甲乙同队，此时的分组方法有＝12种；若学生丙或丁，不与甲乙同队，先选出1名学生，与甲乙同队，有C＝3种方法；然后剩余2名教师，4名学生分为2组，此时的分组方法有＝6种，如果丙丁在同一个队，只需选出1名教师即可，有C＝2种方法，所以，丙丁不在同一个队的情况有6－2＝4(种).根据分步乘法计数原理可知，此时的分组方法有3×4＝12.综上，根据分类加法计数原理可知，这三支队伍分组方法共12＋12＝24(种). 答案：24 16.(1)如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？ (2)如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，已知C地(十字路口)在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？ (3)如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条(注意有一段DE不通)，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？ (4)如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知C地(十字路口)在修路，无法通行，且有一段路程DE无法通行，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，有多少种不同的走法？ 　　　 解：(1)由题意，由A到B的最短距离需要9步完成，其中向下走5步，向左走4步，故共有C＝126种不同的走法． (2)若先经过C再到B，需向下走3步，向左走2步，有C种走法，由C到B需向下走2步，向左走2步，有C种走法，故先经过C再到B共有CC种走法，所以不经过C共有C－CC＝126－60＝66种走法． (3)经过ED，由A到D需要3步，由E到B需要5步，由A到D共有C种走法，由E到B共有C种走法，所以经过ED的走法共有CC种，故不经过ED共有C－CC＝126－30＝96种走法． (4)由A经过DE到C的走法共有C，再由C到B需要向下、向左各走2步共有C种走法，故经过DE到C再到B的走法共有CC种走法，所以不经过DE也不经过C共有C－CC－CC＋CC＝126－60－30＋18＝54种走法． 学科网（北京）股份有限公司 $