4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．(2024·安徽亳州检测)已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，－1，0)，C(－1，0，1)，直线l的一个方向向量是a＝(－1，－1，－1)，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内 解析：选D．因为A(0，0，1)，B(0，－1，0)，C(－1，0，1)，所以＝(0，－1，－1)，＝(－1，0，0)，设n＝(x，y，z)是平面α的一个法向量，则即令z＝1，则n＝(0，－1，1)，因为a·n＝1－1＝0，所以直线l可能在平面α内，或者与平面α平行．故选D． 2．若平面α∥平面β，且平面α的一个法向量为n＝，则平面β的一个法向量可以是(　　) A． B．(2，－1，0) C．(1，2，0) D． 解析：选A．因为平面α∥平面β，所以平面α的法向量与平面β的法向量共线，因为＝＝n，故A正确；若(2，－1，0)＝λ，则此方程组无解，故B不正确；若(1，2，0)＝λ，则此方程组无解，故C不正确；若＝λ，则此方程组无解，故D不正确．故选A． 3．(2024·江西宜春灰埠中学期末)已知直线l1的一个方向向量是a＝(2，－2，x)，直线l2的一个方向向量是b＝(2，y，－2)，若＝3，且l1⊥l2，则x－y的值是(　　) A．－4或0 B．4或1 C．－4 D．0 解析：选A．由题设可得解得 或故x－y＝0或x－y＝－4，故选A． 4.(2024·江西抚州期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(　　) A．和AC，MN都垂直 B．垂直于AC，但不垂直于MN C．垂直于MN，但不垂直于AC D．与AC，MN都不垂直 解析：选A．以D为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，O(1，1，0)，M(0，0，1)，N(0，1，2)，所以＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)，＝(0，1，1)，所以·＝2－2＋0＝0，·＝0－1＋1＝0，所以OM⊥AC，OM⊥MN.故选A． 5.如图，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝6，F是棱B1C1的中点，点E在棱BB1上，且＝．若过点A，E，F的平面与直线DD1交于点G，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A．以D为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，E(4，4，4)，F(2，4，6)，＝(－2，0，2)，设G＝(0，0，a)(0≤a≤b)，则＝(－4，0，a).因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1，EF⊂平面BCC1B1，所以EF∥平面ADD1A1，因为平面AEF∩平面ADD1A1＝AG，EF⊂平面AEF，所以EF∥AG，则＝λ，即(－2，0，2)＝λ(－4，0，a)，即解得a＝4，故＝.故选A． 6.(多选)如图所示，正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则正确的选项为(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1平行 解析：选BD．如图， 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为3，则E(1，0，1)，F(2，1，0)，A1(3，0，3)，A(3，0，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，所以＝(1，1，－1)，＝(－3，3，0)，A1D＝(－3，0，－3)，因为·＝0，·＝0，所以EF⊥AC，EF⊥A1D，B正确，A错误；由＝(－3，－3，3)，＝－，故D正确，C错误．故选BD． 7．(2024·江西省丰城中学联考)平面α经过点A(0，0，2)且一个法向量n＝(1，－1，－1)，则平面α与x轴的交点坐标是__________． 解析：设平面α与x轴的交点为B(m，0，0)，因为平面α经过点A(0，0，2)，所以AB⊂平面α，又＝(m，0，－2)，平面α的一个法向量n＝(1，－1，－1)，所以·n＝0，即m×1＋(－2)×(－1)＝0，解得m＝－2，故平面α与x轴的交点坐标是(－2，0，0). 答案：(－2，0，0) 8．已知P是平面ABCD外一点，四边形ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则直线PA与平面ABCD的位置关系是_________________________________________________． 解析：因为·＝－2－2＋4＝0，·＝－4＋4＋0＝0，所以⊥，⊥，即AP⊥AB，AP⊥AD，又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，故PA⊥平面ABCD. 答案：垂直 9．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n＝________． 解析：根据题意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2).设n＝(x，y，z)，因为n与平面ABC垂直，所以即可得因为|n|＝，所以＝，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.所以n＝(－2，4，1)或n＝(2，－4，－1). 答案：(－2，4，1)或(2，－4，－1) 10.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证： (1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE. 证明：设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a).因为F为CD的中点，所以F(a，a，0). (1)因为＝(a，a，0)，＝(a，a，a)，＝(2a，0，－a)，所以＝(＋).又AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE. (2)因为＝(a，a，0)，＝(－a，a，0)，＝(0，0，－2a)，所以·＝0，·＝0，所以⊥，⊥，所以AF⊥CD，AF⊥ED.又CD∩ED＝D，CD，ED⊂平面CDE，所以AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE. 11.如图，PA⊥平面ABCD，四边形 ABCD 为正方形，E是CD的中点，F是直线AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为(　　) A． B．1 C．3 D．2 解析：选B．以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形边长为1，PA＝a(a>0)，则B(1，0，0)，E(，1，0)，P(0，0，a).设点F的坐标为(0，y，0)，则＝(－1，y，0)，＝(，1，－a).因为BF⊥PE，所以·＝0，即－＋y＝0，解得y＝，即点F的坐标为(0，，0)，所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1，即AF∶FD的值为1. 12．(2024·河南联考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，BC的中点，点Q为直线B1C1上的点，且＝λ，若BQ∥平面A1MN，则λ＝__________________________________________________________________. 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AB＝2，则A1(2，0，2)，M(0，1，2)， N(1，2，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，＝(－2，1，0)，＝(－1，2，－2)，＝(－2，0，0)，由＝λ得Q(2－2λ，2，2)，则＝(－2λ，0，2)，由题意知，向量，，共面，故∃t，s∈R，使＝t＋s，故解得则λ＝. 答案： 13.如图，在四棱锥E-BCD中，平面ADE⊥平面ABCD，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，AE＝DE，AE⊥DE，点N在直线AD上，若平面BMN⊥平面ABE，则AN的长为_______________________． 解析：因为AE＝DE，则EO⊥AD，而EO⊂平面ADE，且平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，于是得EO⊥平面ABCD，又OB⊂平面ABCD，OD⊂平面ABCD，即有EO⊥OB，EO⊥OD，而四边形BCDO是边长为1的正方形，所以OB⊥OD，以O为坐标原点，OB，OD，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图． 因为AE＝DE，AE⊥DE，则OE＝OA＝OD＝OB＝1，则M(0，，)，A(0，－1，0)，E(0，0，1)，B(1，0，0)，设N(0，λ，0)，则＝(1，－λ，0)，＝(1，－，－)，＝(0，1，1)，＝(－1，0，1)，设平面BMN的一个法向量为n＝(a，b，c)，则令a＝λ，得n＝(λ，1，2λ－1)，设平面ABE的一个法向量为m＝(x，y，z)，则 令x＝1，得m＝(1，－1，1)，因为平面BMN⊥平面ABE，则有m·n＝0，即λ－1＋2λ－1＝0，解得λ＝，|AN|＝1＋＝，所以AN的长为. 答案： 14.如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．求证： (1)MN∥平面PAD； (2)平面MNQ∥平面PAD. 证明：(1)如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，d).则C(b，d，0)，因为M，N分别是PC，AB的中点，所以M(，，)，N(，0，0)，所以＝(0，－，－).因为平面PAD的一个法向量为m＝(1，0，0)，所以·m＝0，即⊥m.又因为MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD. (2)因为Q是CD的中点，由(1)得Q(，d，0)，＝(0，－d，0)，所以·m＝0，所以⊥m.又QN⊄平面PAD，所以QN∥平面PAD.又因为MN∩QN＝N，MN，QN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PAD. 15.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(　　) A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD D．不存在DQ与平面A1BD垂直 解析：选D．以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D(0，1，)，P(0，2，0)，＝(1，0，1)，＝(0，1，)，＝(－1，2，0)，＝(1，－1，－).设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2).假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则＝＋＝(1－λ，－1＋2λ，－)，因为也是平面A1BD的一个法向量，所以n＝(2，1，－2)与＝(1－λ，－1＋2λ，－)共线，则有＝＝＝成立，但此方程无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直． 16.如图，在三棱锥P-BC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC. (1)求证：OD∥平面PAB； (2)当k取何值时，点O在平面PBC内的投影恰好为△PBC的重心？ 解：(1)证明：因为OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，所以OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP，以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设AB＝a(a>0)，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0).设OP＝h(h>0)，则P(0，0，h).因为D为PC的中点，所以＝(－a，0，h)，又＝(a，0，－h)，所以＝－，所以∥，即OD∥PA，又因为OD⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以OD∥平面PAB. (2)因为△PBC的重心G(－a，a，h)，所以＝(－a，a，h)，因为OG⊥平面PBC，所以⊥，又＝(0，a，－h)，所以·＝a2－h2＝0，所以h＝a，所以||＝ ＝a，即k＝1，验证：当k＝1时，三棱锥O -BC为正三棱锥，此时点O在平面PBC内的投影为△PBC的重心． 学科网（北京）股份有限公司 $