第九章 统计单元练习 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章　统计 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.现要完成下列2项抽样调查:①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查;②某生活小区共有540名居民,其中年龄不超过30岁的有180人,年龄超过30岁不超过60岁的有270人,60岁以上的有90人,为了解居民对社区环境绿化方面的意见,拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法是(　　) A.①抽签法,②分层随机抽样 B.①随机数法,②分层随机抽样 C.①随机数法,②抽签法 D.①抽签法,②随机数法 2.某文化馆计划从18名女志愿者、12名男志愿者中选调10人参加文化艺术展讲解工作,若按照性别进行分层随机抽样,则应抽取的女志愿者人数为(　　) A.7 B.3 C.6 D.4 3.某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100个家庭的月均用水量(单位:t),将数据按照[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图,则估计全市家庭月均用水量的平均数为(　　) A.2.45 B.2.46 C.2.47 D.2.48 4.样本数据x1,x2,…,xn的平均数=4,方差s2=1,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均数、方差分别为(　　) A.9,4 B.9,2 C.4,1 D.2,1 5.(2025广东广州高一期末)已知一组数据39,41,44,46,49,50,x,55的第65百分位数是50,那么实数x的取值范围是(　　) A.[50,+∞) B.(50,+∞) C.(50,55) D.[50,55] 6.走路被称为“最简单、最优良的锻炼方式”,它不仅可以帮助减肥,还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图: 则下列结论不正确的是(　　) A.这一星期内甲的日步数的中位数为11 600 B.乙的日步数星期四比星期三少 C.这一星期内甲的日步数的平均值大于乙的日步数的平均值 D.这一星期内甲的日步数的方差大于乙的日步数的方差 7.(2025陕西西安高一期末)四名同学各投掷骰子4次,记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果,可以判断出一定出现点数6的是(　　) A.众数为2,极差为4 B.中位数为3,极差为4 C.平均数为5,极差为2 D.平均数为4,众数为4 8.数据x1,x2,…,xm的平均数为,数据y1,y2,…,yn的平均数为,下列选项中与相等的为(　　) A. B. C. D. 二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮,每轮甲、乙各投篮10次,投篮命中次数的情况如图所示(实线为甲的折线图,虚线为乙的折线图),则以下说法正确的是(　　) A.甲投篮命中次数的众数比乙的大 B.甲投篮命中的成绩比乙的稳定 C.甲投篮命中次数的平均数为7 D.甲投篮命中次数的第40百分位数是6 10.某学校组建了辩论、英文剧场、民族舞、无人机和数学建模五个社团,高一学生全员参加,且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图,已知无人机社团和数学建模社团的人数相等,下列说法正确的是(　　) A.高一年级学生人数为120 B.无人机社团的学生人数为17 C.若按分层随机抽样从各社团选派20人,则无人机社团选派人数为3 D.在扇形图中表示“辩论社团人数”的扇形的圆心角大小是90° 11.(2025广东深圳高一期末)有一组样本数据x1,x2,…,xn,其平均数、中位数、方差、极差分别记为a1,b1,c1,d1,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=kxi+m(i=1,2,…,n且k≠0),其平均数、中位数、方差、极差分别记为a2,b2,c2,d2,则下列选项正确的是(　　) A.b2=kb1+m B.c2=k2c1 C.d2=kd1+m D.=n+nc1 三、填空题 12.如图是样本容量为200的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,14)内的频数为　　　　　;数据落在[2,14)内的频率约为　　　　　.  13.现有一组数据满足下面两个条件:①一共有6个互不相等的数;②中位数小于平均数.这组数据可以是　　　　　　　　.  14.某校积极开展“武术进校园”活动,为了解该校各班参加武术兴趣小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为5,极差不大于6,且样本数据互不相等,则该样本数据的方差的最大值为　　　　　.  四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下: 甲 60 80 70 90 70 乙 80 60 70 80 75 (1)甲、乙的平均成绩谁较好? (2)谁的各门功课发展较平衡? 16.(2025云南玉溪高一期末)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的课外读书情况,通过按班级分层随机抽样获得了部分学生一周的课外读书的时间,数据如表(单位:小时): A班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 B班 6 6.5 7 7.5 8 C班 6 7 8 9 10 11 12 (1)试估计A班的学生人数; (2)假设A,B,C三个班的学生人数都发生了变动,需要从A,B,C三个班中再各随机抽取一名学生,他们该周课外读书的时间分别是8.25,7,9(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,原来表格中数据的平均数记为μ0,求μ0和μ1,并比较μ0和μ1的大小. 17.随着科技的发展,越来越多的农民采用无人播种机、无人旋耕机、无人植保车等一系列“智慧农机”耕种田地,极大地提高了耕作效率.某地区对50名使用了“智慧农机”的农民耕种的田地面积(单位:公顷)进行统计,将数据按[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]分为5组,画出的频率分布直方图如图所示. (1)估计这50名农民耕种田地面积的中位数(结果保留小数点后一位); (2)估计这50名农民耕种田地面积的平均数及标准差(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表,结果保留整数). 18.某中学为了学生的身心健康,加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中,后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度,若学生认可系数(认可系数=)不低于0.85,“美食”工作按原方案继续实施,否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生,根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分,分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中x的值和第60百分位数; (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因,该部门从评分低于80分的学生中用分层随机抽样的方法随机选取30人进行座谈,求应选取评分在[60,70)的学生人数; (3)根据你所学的统计知识,结合认可系数,判断“美食”工作是否需要进一步整改,并说明理由. 19.某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度,以便更好地为业主服务,随机调查了100名业主,根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分,分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示的频率分布直方图. (1)在这100名业主中,求评分在区间[70,80)的人数与评分在区间[50,60)的人数之差; (2)估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和第90百分位数; (3)若小区物业服务满意度(满意度=)低于0.8,则物业公司需要对物业服务人员进行再培训.请根据你所学的统计知识,结合满意度,判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训,并说明理由.(同一组中的数据用该区间的中点值作代表) 参考答案 1.A　①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查,样本容量小,宜用抽签法,②该小区居民的年龄有明显差异,对社区环境绿化的意见不同,宜用分层随机抽样. 2.C　18名女志愿者、12名男志愿者,比例为18∶12=3∶2,选调10人,按照性别进行分层随机抽样,应抽取的女志愿者人数为10×=6(人). 3.B　由频率分布直方图的性质可知(0.12×2+0.22+0.36+a)×1=1,解得a=0.18, 则估计全市家庭月均用水量的平均数为0.12×0.5+0.22×1.5+0.36×2.5+0.18×3.5+0.12×4.5=2.46. 4.A　由=4,s2=1,得所求平均数为2+1=9,所求方差为4s2=4. 5.A　因为8×65%=5.2,所以这组数据按从小到大的顺序排列后,第65百分位数是第6个数,所以x不小于50,即x∈[50,+∞),故选A. 6.B　对于A,甲的步数:16 000,7 965,12 700,2 435,16 800,9 500,11 600.从小到大排列为2 435,7 965,9 500,11 600,12 700,16 000,16 800.中位数是11 600.故A正确; 对于B,乙星期三的步数为7 030,星期四的步数为12 970,星期四比星期三日步数多,故B不正确; 对于C,×(16 000+7 965+12 700+2 435+16 800+9 500+11 600)=11 000,×(14 200+12 300+7 030+12 970+5 340+11 600+10 060)=10 500. 所以.故C正确; 对于D,×[(16 000-11 000)2+(7 965-11 000)2+(12 700-11 000)2+(2 435-11 000)2+(16 800-11 000)2+(9 500-11 000)2+(11 600-11 000)2]≈20 958 636, ×[(14 200-10 500)2+(12 300-10 500)2+(7 030-10 500)2+(12 970-10 500)2+(5 340-10 500)2+(11 600-10 500)2+(10 060-10 500)2]≈9 014 429, 经计算.故D正确. 故选B. 7.C　对于A,数据1,2,2,5的众数为2,极差为4,但没有出现6,A不满足题意; 对于B,数据1,3,3,5的中位数为3,极差为4,但没有出现6,B不满足题意; 对于C,设4个数据由小到大排序为x1,x2,x3,x4,则xi∈{1,2,3,4,5,6}(i=1,2,3,4), 则=5=≤x4, 若x4=5,则x1=3,由=5=,可得x2+x3=12>2x4,不符合题意,舍去; 若x4=6,则x1=4,由=5=,可得x2+x3=10, 所以数据4,4,6,6或4,5,5,6符合题意,C满足题意; 对于D,数据4,4,4,4的平均数为4,众数为4,但没有出现6,D不满足题意. 故选C. 8.B　因为xi,yi, 所以xi=myi=n, 则. 9.BC　由折线图可知,甲投篮5轮,命中的次数分别为5,8,6,8,8,则=7,×[(5-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(8-7)2+(8-7)2]==1.6. 乙投篮5轮,命中的次数分别为3,7,9,5,9,则=6.6,×[(3-6.6)2+(7-6.6)2+(9-6.6)2+(5-6.6)2+(9-6.6)2]=5.44. 对A,甲投篮命中次数的众数为8,乙投篮命中的众数为9,故A错误; 对B,因为,所以甲的成绩比乙稳定,故B正确; C正确; 对D,甲投篮5轮,命中的次数从小到大为5,6,8,8,8,由5×40%=2,故第40百分位数是=7,故D错误. 10.ACD　由题目所给的数据可知,民族舞社团的人数为12,占高一年级总人数的比例为10%,所以高一年级的总人数为12÷10%=120, 英文剧场社团的人数为120×35%=42,辩论社团的人数为30,无人机社团的人数与数学建模社团的人数为(120-42-30-12)÷2=18,占高一年级人数的比例是×100%=15%,故A正确,B错误; 分层抽样20人,无人机应派出20×15%=3(人),C正确; 辩论社团的人数是30,所以所求的扇形圆心角为×360°=90°,D正确. 11.ABD　对于A,设x1,x2,…,xn已经从小到大排列好了,则y1,y2,…,yn是从小到大排列的或从大到小排列的,若n是偶数,则b1=,而无论如何最中间两个数总是,b2==k·+m=kb1+m,若n是奇数,则b1=,而无论如何最中间的数总是,所以b2==k+m=kb1+m,所以b2=kb1+m,A正确. 对于B,由方差的性质可得,c2=k2c1,B正确; 对于C,当k>0时,d2=yn-y1=(kxn+m)-(kx1+m)=k(xn-x1)=kd1,当k<0时,d2=y1-yn=-(kxn+m)+(kx1+m)=-k(xn-x1)=-kd1,C错误; 对于D,nc1=-2a1xi+n-2n+n-n,所以=n+nc1,D正确. 故选ABD. 12.136　0.76　∵样本数据落在[6,14)内的频率为0.08×4+0.09×4=0.68,且样本容量为200, ∴样本数据落在[6,14)内的频数为0.68×200=136;数据落在[2,14)内的频率为(0.02+0.08+0.09)×4=0.76. 13.1,2,3,4,5,8(答案不唯一) 14.　不妨设这5个班级的样本数据分别为a,b,c,d,e(a<b<c<d<e),且a,b,c,d,e∈N,依题意有a+b+c+d+e=25,易知e≥d+1≥c+2≥b+3≥a+4,所以5a+10≤a+b+c+d+e≤5e-10,则e≥7,a≤3,又e-a≤6,所以a,b,c,d,e的值可能有如下三种情况, ①2,3,5,7,8,则均值为5,方差为×[(2-5)2+(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2+(8-5)2]=; ②2,4,5,6,8,则均值为5,方差为×[(2-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(8-5)2]=4; ③3,4,5,6,7,则均值为5,方差为×[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]=2; 所以2,3,5,7,8的方差最大,为. 15.解(1)×(60+80+70+90+70)=74, ×(80+60+70+80+75)=73, 故甲的平均成绩较好. (2)×[(60-74)2+(80-74)2+(70-74)2+(90-74)2+(70-74)2]=104, ×[(80-73)2+(60-73)2+(70-73)2+(80-73)2+(75-73)2]=56, 由知乙的各门功课发展较平衡. 16.解(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自A班的学生有8名,根据分层随机抽样方法,可得A班的学生人数估计为100×=40(人). (2)抽出的样本中A班学生该周看课外书时间的平均数为=8.25, B班学生该周看课外书时间的平均数为=7, C班学生该周看课外书时间的平均数为 =9, μ0=×8.25+×7+×9=8.2,μ1=×8.25+×7+×9=≈8.18, 所以μ0>μ1. 17.解(1)根据频率分布直方图可得组距为10,所以(0.01+m+0.03+0.03+0.01)×10=1,解得m=0.02; 易知[45,55),[55,65)两组数据所占概率为0.3,第三组数据[65,75)概率也为0.3,所以中位数在区间[65,75)内,设中位数为x,所以0.3+(x-65)×0.03=0.5,解得x≈71.7,所以这50名农民耕种田地面积的中位数为71.7公顷. (2)利用频率分布直方图可得,其平均数为10×(50×0.01+60×0.02+70×0.03+80×0.03+90×0.01)=71, 其方差为(50-71)2×0.1+(60-71)2×0.2+(70-71)2×0.3+(80-71)2×0.3+(90-71)2×0.1=129, 因此标准差s=≈11, 这50名农民耕种田地面积的平均数为71公顷,标准差约为11. 18.解(1)由图可知10×(x+0.015+0.020+0.030+0.025)=1,解得x=0.01. 因为[50,80)内的频率为0.1+0.15+0.2=0.45<0.6,[50,90)内的频率为0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.6,所以第60百分位数位于区间[80,90)内,设为m, 则m=80+=85,所以第60百分位数为85. (2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1∶0.15∶0.2=2∶3∶4,则应选取评分在[60,70)的学生人数为30×=10. (3)由图可知,认可程度平均分为 =55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5<0.85×100=85, 所以“美食”工作需要进一步整改. 19.解(1)易知评分在区间[50,60),[70,80)的人数分别为100×0.016×10=16(人),100×0.040×10=40(人),所以评分在区间[70,80)的人数与评分在区间[50,60)的人数之差为40-16=24(人). (2)易知在频率分布直方图中面积最大的矩形条所在区间为[70,80),所以业主对物业服务的满意程度给出评分的众数为75分,因为在区间[50,80)的频率为10×(0.016+0.030+0.040)=0.86<0.9,在区间[50,90)的频率为10×(0.016+0.030+0.040+0.010)=0.96>0.9,所以业主对物业服务的满意程度给出评分的第90百分位数在区间[80,90)内,不妨设业主对物业服务的满意程度给出评分的第90百分位数为x,此时0.86+(x-80)×0.01=0.9,解得x=84. (3)易知业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分=10×(55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004)=70.6,因为=0.706<0.8, 故物业公司需要对物业服务人员进行再培训. 9 学科网（北京）股份有限公司 $