2025-2026学年高三数学寒假函数章节复习试卷（一）（人教A版）

2025-2026学年高三数学寒假函数章节复习试卷（一） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册和相关章节内容。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 【答案】D 【分析】令，可得或，结合的取值范围分析求解. 【详解】令，则，若，则，解得， 若，则，解得， 故或， 当时，，与或矛盾， 故，所以， 所以或，解得或. 故选：D. 2．已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】由函数在区间上单调递减，， 所以当时，，当时，， 又函数是定义域为的偶函数， 当时，，当时，， 由，当时， 所以，解得， 当时，所以，解得， 所以的解集为， 故选：B. 3．函数的定义域为R，且，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】对方程进行赋值得函数为偶函数,且周期为6,即可求解． 【详解】因为函数的定义域为R，且， 所以，得，得函数为偶函数， 由，得， 所以，两式相加得， 得，得到, 则的周期为6，故， 又，， 得，则, 又，所以， 所以，则. 故选：A 4．已知函数在上是增函数，关于轴对称，若成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，以及单调性，将不等式转化为，即可求解. 【详解】由于关于轴对称，故，所以的图像关于对称， 由于函数在上是增函数，则函数在上是减函数， 由可得， 所以，故，即，解得, 故选：A 5．设函数，若在区间上的最大值为9，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】分析得到，最大值为，求出答案. 【详解】由于时，，， 故最大值9一定为，取得， 又为开区间，故一定有， 且最大值在上取到，即， 解得或5（舍去）， 故选：A 6．已知函数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分、和三种情况，根据一次函数和二次函数单调性和最值分析求解即可. 【详解】因为，且的图象开口向上，对称轴为， （1）若，当时，则在内单调递减，可得； 当时，则在内单调递增，可得； 所以存在使得成立，符合题意； （2）若，当时，，所以存在使得成立，符合题意； （3）若，当时，则在内单调递增，可得； ①当，即时，当时，则在内单调递增，可得， 由题意可得：，解得； ②当，即时，当时，则在内单调递减，在内单调递增， 所以存在使得成立，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：D. 7．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设得函数和的单调性情况，进而得，从而即可一一判断各选项. 【详解】由题意可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，. 对于A：因为，在上单调递增，所以，故A错误； 对于B：因为，在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：因为，在上单调递减，所以，故C正确； 对于D，因为正负不知， 所以大小关系不定，故D错误； 故选：C. 8．设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【分析】先通过奇偶性转化为对称关系，并将不同的对称关系结合，推导出函数具有周期性，最后利用周期简化运算求和. 【详解】因为为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线轴对称； 因为为奇函数，所以，即，所以函数的图象关于中心对称，且. 所以. 所以. 所以函数是周期为的函数. 当时，，所以. 所以，，，， ，. 所以. 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且实数满足，则（     ） A． B．的最大值为1 C．的最大值为4 D．的最小值为2 【答案】ABD 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，且在为单调递增函数，得到，结合选项，结合一次、二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，所以为奇函数， 又由函数和都是单调递增函数，所以在为单调递增函数， 对于A，因为，可得， 所以，即，所以A正确； 对于B，由，可得，则， 当时，取得最大值，最大值为，所以B正确； 对于C，由，可得，所以的最大值为，所以C不正确； 对于D，由，则， 当时，的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 10．幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先根据条件求得点的坐标，代入函数中，再根据运算公式计算判断各个选项. 【详解】，点，， ，，将两点坐标分别代入，，得，， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误； 故选：ABC. 11．对于任意的，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（   ） A．函数，的图象关于原点对称 B．函数，的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，取值验证判断A；由取整函数的定义得，进而判断BC；解一元二次不等式，然后根据取整函数的定义求出解集判断D. 【详解】对于选项A：当时，，当时，， 即点都在函数的图象上，它们关于原点不对称， 则函数的图象关于原点不对称，A错误； 对于选项B：由取整函数的定义知， ，则， 因此函数的值域为，B正确； 对于选项C：由取整函数的定义知，，， 则，C正确； 对于选项D：由，可得，解得， 且，则或， 因此，不等式的解集为，D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，（），若，则 ． 【答案】1 【分析】设函数，得出为奇函数，利用奇函数的性质即可求解． 【详解】设函数，定义域为， 因为， 所以为上奇函数， 因为，所以， 所以， 故答案为：1． 13．已知函数的表达式为，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为转化为代数不等式，再结合的取值范围，求的取值范围. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为， 因为，故函数为奇函数， 当时，， 因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数， 又因为函数为奇函数，故该函数在上为增函数， 所以函数在上为增函数， 由可得， 所以，即，时成立. 因为，所以或，所以或. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 14．若对，使不等式成立，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据题意可得，利用对勾函数的单调性可求得，从而将问题再转化为恒成立，然后分情况求的取值范围. 【详解】因为 ， 所以， 即对，使不等式成立， 所以， 因为函数在上单调递增，所以． 所以恒成立， 的对称轴， 当时，函数在上单调递增， 所以，解得， 当时，函数在上单调递减， 所以，无解， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，无解， 综上，所以的最小值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由幂函数的单调性和图象的对称性确定指数取值范围即可求解； （2）直接根据函数解析式解不等式即可. 【详解】（1）由题意，幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，故可知其指数为正偶数， 故有，解得或. 若，则，此时为偶函数，符合题意； 若，则，此时为偶函数，符合题意. 综上所述，或，. （2）由，可得，整理得， 解得，即. 16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当函数的定义域为且时，函数的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为上的奇函数，所以， 当时，， 所以当时，， 所以， 所以 （2）设，因为在上单调递减， 所以 即，是方程的两个不相等的正根， 故方程有两个不相等的正根， 故，解得. 实数的取值范围为. 17．已知函数是上的奇函数． (1)求； (2)用定义法证明：是增函数． (3)证明：． 参考公式：． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用奇函数的定义： ，将所给多项式代入该等式，通过合并同类项发现仅不恒为零，而不恒为零，因此系数必须为零，检验后符合奇函数条件，于是得到，函数化为. （2）用定义法证明单调性，任取，作差后结合立方差公式判断单调性. （3）利用第二问已证单调递增的性质，将不等式为比较与的大小. 【详解】（1）由奇函数性质可知， 由不恒为0得．经检验，当时，为奇函数． （2）由（1）可知，记，则 ， ，， 故，即，于是是增函数． （3）显然，而，， 为增函数，由知，故． 18．已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求证：当时，恒有； (2)求证：函数在上是增函数； (3)若，求不等式的解. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）运用赋值法，令，代入求出，由条件舍去0，得到，由于，时，只需时，即可，令，则，对讨论即可； （2）运用函数的单调性定义证明，令，则，由时，，得，再由，得到，再由（1）得证； （3）根据条件，令，求出，再令，求出，再根据得到，结合单调性解出即可． 【详解】（1）证明：已知定义在上的函数满足， 令，则， 又当时，，所以，即， 当时，则.在中， 令，有，所以， 综上：当时，恒有 （2）证明：设是上的任意两个实数，且， 则，且， ， 由第一问可知当时，恒有，且， 所以， 因此函数在上单调递增； （3）若，求不等式的解， 在中，令，则，即， 令，则， 不等式等价于， 即，即， 所以不等式的解集为. 19．已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 【答案】(1)， (2) (3)当时，；当时，；当时，. 【分析】（1）由函数的奇偶性得表达式，即可解得； （2）由（1）求得，然后求得，利用因式分解求得； （3）代入解析式求得解析式，令，得函数，讨论的取值得到函数单调区间，从而求得函数最小值. 【详解】（1）因为奇函数与偶函数满足， 得， 联立得，，. （2）由（1）得，即， 因为. 又因为，则，所以， 则 （3）由题， 令，则，则， 当，即时，在上单调递减， ； 当，即时，在上单调递增， ； 当，即时，. 综上：当时，； 当时，；当时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三数学寒假函数章节复习试卷（一） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册和相关章节内容。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 2．已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为R，且，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数在上是增函数，关于轴对称，若成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设函数，若在区间上的最大值为9，则（   ） A． B．0 C．1 D． 6．已知函数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（    ） A． B． C． D． 8．设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A．1 B． C． D．0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且实数满足，则（     ） A． B．的最大值为1 C．的最大值为4 D．的最小值为2 10．幂函数，当取不同正数时，在区间上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即，则（   ） A． B． C． D． 11．对于任意的，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（   ） A．函数，的图象关于原点对称 B．函数，的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，（），若，则 ． 13．已知函数的表达式为，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 ． 14．若对，使不等式成立，则的最小值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当函数的定义域为且时，函数的值域为，求实数的取值范围． 17．已知函数是上的奇函数． (1)求； (2)用定义法证明：是增函数． (3)证明：． 参考公式：． 18．已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求证：当时，恒有； (2)求证：函数在上是增函数； (3)若，求不等式的解. 19．已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $