专题01 两点间的距离公式-北师大版《数学》基础模块下册《同步必备知识清单》

专题01 两点间的距离公式 一、知识梳理 （1）平面直角坐标系中两点间距离公式 平面直角坐标系内任意两点点间的距离公式为 特别地，若其中一点为坐标原点O(0，0)，则原点O到任意一点P(x，y)的距离公式为 二、题型精练 题型1 平面直角坐标系上的两点间距离公式 【典例1】．已知平面直角坐标系中两点A（2，3）和B（5，7），求AB（    ） A．5 B．3 C．4 D．-5 【典例2】．已知点A（-3，-4），则原点到点A的距离| OA |=_____. 题型2 已知距离求点的坐标 【典例1】．已知点 P（1，2），点 Q（x，4），且 | PQ |=，求点 Q 的横坐标 x（ ） A．-3 B．5 C．5或-3 D．6或-4 【典例2】. 已知线段AB的长为10，点A（x , 6），求点B（y , 0），则y - x=（ ） A．-8 B．8 C． D．4 题型3 根据两点间距离公式判断图形形状 【典例1】．已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A（-1，-1），B（2，-2），C（4，2），D（1，3），试判断这个四边形ABCD的形状. 【典例2】．已知三角形的三个顶点坐标分别为A（2，3），B（5，6），C（8，3），试判断的形状. 三、知识检测 1．平面直角坐标系中，已知两点和，则线段的长度为（ ） A．5 B． 4 C．3 D． 2．平面直角坐标系中，原点O到点C(−6,8)的距离|OC|为（ ） A．10 B． 14 C．2 D． 48 3．平面直角坐标系中，连接两点与的线段DE平行于轴，且，则点的横坐标为（ ） A．6 B．6或-2 C．-2 D．8 4．已知点P（3，y）与点Q（7，5）的距离为20，则y的值为（ ） A．7 B．3 C．9或1 D． 7或3 5．已知三角形的三个顶点坐标分别为、、，则的形状为（ ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 6．平面直角坐标系中，点与点平行于轴，且，则的值为（ ） A．0 B．2或8 C．0或-8 D．2 7．已知直角三角形的三个顶点坐标分别为、、，则该三角形的直角顶点为（ ） A．无法确定 B．A C．B D． 8．某校园以图书馆为原点，正东方向为轴，正北方向为轴，10米为单位长度建立平面直角坐标系。已知教学楼坐标为，操场坐标为，则教学楼与操场之间的实际距离为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．若数轴上点A表示的数为a，且 |a+2| = 3，则点A对应的数是（    ） A．5 B．1 C．-5或1 D．1或5 10．平面直角坐标系中，点M（-2，5）与点N（4，-3）之间的距离为（ ） A．10 B． C．- D．14 11．已知点P（，3）与点Q（2，b）的距离为5，且PQ平行于x轴，则+b的值为（ ） A．7或-1 B．5或1 C．10或0 D．8或2 12．在平面直角坐标系中，若点A（m，n）到原点的距离为5，且m=3，则n的值不可能是（ ） A．4 B．-4 C．无法判断 D． 13．平面直角坐标系中，原点到点的距离为______。 14．平面直角坐标系中，点与点的距离为，则的值为______。 15．平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点、，则腰长的长度为______ 16．平面直角坐标系中，点G（-1，-2）与点H（3，k）的距离为，则k的值为______ 17．已知y轴上一点A到点B（2，4）的距离为，则点A的坐标为______ 18．在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-3）、B（4，1），点C在y轴上，且△ABC的周长最小，求点C的坐标及此时△ABC的周长。 19．已知三角形的三个顶点坐标分别为、、，请判断的形状，并计算其周长。 20．平面直角坐标系中，点在轴上，且点到点与点的距离相等，求点的坐标。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 两点间的距离公式 一、知识梳理 （1）平面直角坐标系中两点间距离公式 平面直角坐标系内任意两点点间的距离公式为 特别地，若其中一点为坐标原点O(0，0)，则原点O到任意一点P(x，y)的距离公式为 二、题型精练 题型1 平面直角坐标系上的两点间距离公式 【典例1】．已知平面直角坐标系中两点A（2，3）和B（5，7），求AB（    ） A．5 B．3 C．4 D．-5 答案：A 分析：本题考查两点间距离公式的直接应用，代入坐标计算即可。 详解：平面直角坐标系中两点坐标分别为A（2，3）和B（5，7），代入公式： 所以正确选项是 A. 5。 【典例2】．已知点A（-3，-4），则原点到点A的距离| OA |=_____. 答案：5 分析：本题考查平面直角坐标系中原点到任意一点的距离计算，直接代入两点间的距离公式即可计算。 详解：平面直角坐标系中两点坐标分别为A（-3，-4）和O（0，0），则 | OA | 的距离为 故此题填5。 题型2 已知距离求点的坐标 【典例1】．已知点 P（1，2），点 Q（x，4），且 | PQ |=，求点 Q 的横坐标 x（ ） A．-3 B．5 C．5或-3 D．6或-4 答案：C 分析：本题考查逆向应用距离公式，将两点坐标代入距离公式，建立关于未知数 x 的方程，进而求解。 详解：将 、 代入公式： 两边同时平方消去根号： 移项得： 对等式两边开平方： 解得 因此，本题选C.5或-3 【典例2】. 已知线段AB的长为10，点A（x , 6），求点B（y , 0），则y - x=（ ） A．-8 B．8 C． D．4 答案：C 分析：本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式的应用，将两点坐标代入距离公式，建立关于未知数 的方程，进而求解。 详解：将 、 代入公式： 两边同时平方消去根号： 移项得： 对等式两边开平方： 所以，，对应选项为 C. 题型3 根据两点间距离公式判断图形形状 【典例1】．已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A（-1，-1），B（2，-2），C（4，2），D（1，3），试判断这个四边形ABCD的形状. 答案：平行四边形 分析：本题考查平面直角坐标系中四边形形状的判定，通过计算各边的长度，进而确定四边形的类型。 详解：已知四个顶点坐标：，，，。 由 ，，可知四边形 是平行四边形。 【典例2】．已知三角形的三个顶点坐标分别为A（2，3），B（5，6），C（8，3），试判断的形状. 答案：等腰直角三角形 分析：本题考查平面直角坐标系中三角形形状的判定，通过计算各边的长度，进而确定三边形的类型。 详解：已知三个顶点坐标：，，。 由 ，且，可知三角形 是等腰直角三角形。 三、知识检测 1．平面直角坐标系中，已知两点和，则线段的长度为（ ） A．5 B． 4 C．3 D． 答案：A 分析：本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式的直接应用，代入坐标计算即可。 详解：据两点间距离公式，将、代入： 因此正确选项是A。 2．平面直角坐标系中，原点O到点C(−6,8)的距离|OC|为（ ） A．10 B． 14 C．2 D． 48 答案：A 分析：本题考查平面直角坐标系中原点到任意一点的距离计算，直接应用原点距离公式即可。 详解：根据原点到点的距离公式，将代入： 因此正确选项是A。 3．平面直角坐标系中，连接两点与的线段DE平行于轴，且，则点的横坐标为（ ） A．6 B．6或-2 C．-2 D．8 答案：B 分析：本题考查平行于x轴的两点间距离计算，平行于x轴的两点距离等于横坐标差的绝对值。。 详解：因线段平行于轴，故，即： 当时，；当时，。 因此或， 正确选项是B。 4．已知点P（3，y）与点Q（7，5）的距离为20，则y的值为（ ） A．7 B．3 C．9或1 D． 7或3 答案：D 分析：本题考查逆向应用两点间距离公式，将坐标代入公式建立关于y的方程，求解绝对值方程即可。 详解：根据两点的距离公式，代入P（3，y）与Q（7，5），得： 两边平方得： 移项得 ， 开方得 解得 因此点 y的值为3或7。 本题选D。 5．已知三角形的三个顶点坐标分别为、、，则的形状为（ ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 答案：D 分析：本题考查利用两点间距离公式结合勾股定理逆定理判断三角形形状。 详解：计算三边长度： 由勾股定理：，可知是直角三角形。 因此选D。 6．平面直角坐标系中，点与点平行于轴，且，则的值为（ ） A．0 B．2或8 C．0或-8 D．2 答案：B 分析：本题考查平行于y轴的两点间距离计算，平行于y轴的两点横坐标相同，距离等于纵坐标差的绝对值. 详解：因、平行于轴，故，即： 当时，；当时， 因此y为8或2。 故本题选B。 7．已知直角三角形的三个顶点坐标分别为、、，则该三角形的直角顶点为（ ） A．无法确定 B．A C．B D． 答案：B 分析：本题考查直角三角形直角顶点的判断，通过计算三边长度，利用勾股定理逆定理确定直角顶点。 详解：计算三边长度 ，故直角在点。 正确选项是B。 8．某校园以图书馆为原点，正东方向为轴，正北方向为轴，10米为单位长度建立平面直角坐标系。已知教学楼坐标为，操场坐标为，则教学楼与操场之间的实际距离为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 答案：C 分析：本题考查两点间距离公式的实际应用，先计算坐标距离，再根据单位长度换算实际距离。 详解：由两点间的距离公式： 因1单位=10米，实际距离为米。 正确选项是C。 9．若数轴上点A表示的数为a，且 |a+2| = 3，则点A对应的数是（    ） A．5 B．1 C．-5或1 D．1或5 答案：C 分析：本题考查解含绝对值的方程，直接根据  得到两个可能解。 详解：由 ，可得： 因此点  对应的数是  或 。 正确选项是C。 10．平面直角坐标系中，点M（-2，5）与点N（4，-3）之间的距离为（ ） A．10 B． C．- D．14 答案：A 分析：本题考查平面直角坐标系两点距离公式，直接应用公式即可。 详解：据两点间距离公式，将、代入： 正确选项是A。 11．已知点P（，3）与点Q（2，b）的距离为5，且PQ平行于x轴，则+b的值为（ ） A．7或-1 B．5或1 C．10或0 D．8或2 答案：C 分析：本题考查平行于x轴的两点间距离计算，平行于x轴的两点纵坐标相同，距离等于横坐标差的绝对值。 详解：由PQ平行x轴，可知b=3，且，可得： =5或=-5 故+b=-3+3=0或+b=7+3=10 正确选项是C。 12．在平面直角坐标系中，若点A（m，n）到原点的距离为5，且m=3，则n的值不可能是（ ） A．4 B．-4 C．无法判断 D． 答案：D 分析：本题考查平面直角坐标系两点距离公式，根据公式的所算出的值直接判断即可。 详解：点A到原点距离为5，由两点距离公式可得： 因为m=3，则 n²=16 n=±4 不可能为，正确选项是D。 13．平面直角坐标系中，原点到点的距离为______。 答案：15 分析：本题考查原点到任意一点的距离计算，直接应用原点距离公式即可。 详解： 公式，故填15。 14．平面直角坐标系中，点与点的距离为，则的值为______。 答案：0或2 分析：本题考查逆向应用两点间距离公式，建立关于的方程，解方程即可。 详解： 代入距离公式得 ， 平方得 ， 移项得 ， 开方得 ， 解得 或， 故填0或2。 15．平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点、，则腰长的长度为______ 答案： 分析：本题考查等腰三角形的腰长计算，直接应用两点间距离公式即可。 详解： ，故填 16．平面直角坐标系中，点G（-1，-2）与点H（3，k）的距离为，则k的值为______ 答案：或-4 分析：本题考查两点间距离公式逆运算，建立关于的方程，解方程即可。 详解： 平方得 ， 移项得 4， 开方得 ， 解得 或， 故填0或2。 17．已知y轴上一点A到点B（2，4）的距离为，则点A的坐标为______ 答案：（0，1）或（0，7） 分析：本题考查的是两点间距离公式逆运算，建立关于点A的方程，解方程即可。 详解：设A（x,y），因为A是y轴上一点，故A（0,y），由题可知： 平方得 ， 移项得 9， 开方得 ， 解得 或， 故填（0，1）或（0，7）。 18．在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-3）、B（4，1），点C在y轴上，且△ABC的周长最小，求点C的坐标及此时△ABC的周长。 答案：（0，-7），周长2+2 分析：本题考查为两点间距离公式、最短路径问题及一次函数应用，解题核心是通过作对称点转化线段实现周长最小，再求直线解析式、确定y轴上点C坐标完成求解。 详解：作点A关于y轴的对称点A'（2，-3），连接A'B，与y轴的交点即为点C。 设y=kx+b，代入A'（2，-3）和B（4，1）， 得 ， 解得 k=2，b=-7， 所以直线A'B解析式为y=2x-7. 令x=0，得y=-7，所以点C（0，-7）。 AB=， A'B=，周长=2+2。 所以点C的坐标为（0，-7），△ABC的周长为2+2。 19．已知三角形的三个顶点坐标分别为、、，请判断的形状，并计算其周长。 答案：等腰直角三角形，周长 分析：本题考查利用两点间距离公式判断三角形形状（等腰、直角）及周长计算，核心是通过计算三边长度，验证边长关系与垂直关系。 详解：计算三边长度,根据两点间距离公式： 由，可知是等腰三角形； 由，故是等腰直角三角形。 周长。 20．平面直角坐标系中，点在轴上，且点到点与点的距离相等，求点的坐标。 答案： 分析：本题考查利用两点间距离公式求点的坐标。 详解： 由，代入距离公式： 两边平方消去根号： 化简： 故点的坐标为。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $