大题专项 专题03 数列（讲义）-2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及山东省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第03个专题，内容为数列。 2026版山东省（春季高考） 《数学考纲专题练》 专题03 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、考纲解读 1.了解数列及数列通项公式的概念 2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题 3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 解答题 28 等差数列的应用（数列的某一项、求和公式） 8 （1）等差数列的通项公式 （2）等差数列的求和公式 （3）等比数列的通项公式 （4）等比数列的求和公式 2024 解答题 27 等比数列（通项公式、求和公式） 8 2025 解答题 27 等差数列（通项公式、求和公式） 8 三、考点预测 预估2026年关于数列方面的大题考点如下： · 已知某一项和公差，求等差数列的通项公式 · 已知等差数列的通项公式，求前n项和 · 已知某一项和公比，求等比数列的通项公式 · 已知等比数列的通项公式，求前n项和 四、知识梳理 （一）an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ （二） 常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. （三）等差数列 1. 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 定义的表达式为_an＋1－an＝d(n∈N*). (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝. (3)通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 2. 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. （三）等比数列 1. 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 3.等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 五、经典例题 【考试题型1】等差数列 例1．设是公比不为的等比数列，为，的等差中项，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）设公比为，由题意可得，解得，可得；（Ⅱ）根据以及，可得，可得. 【详解】解：（Ⅰ）设的公比为． 因为为，的等差中项， 所以，即， 又因为， 所以， 即， 因为， 所以． 所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以． 例2．已知等差数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)若，求前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可. （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）因为是等差数列，设其公差为， 由题知，解得， 所以的通项公式为. （2）由题知， 所以. 例3．已知，. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义判断数列，根据首项，公差求数列的通项公式即可； （2）根据等差数列求和公式求出的前项和即可. 【详解】（1） 因为，，又， 由等差数列的定义知是首项为，公差为的等差数列， 故数列的通项公式为. （2）由等差数列的求和公式可得：，所以 【考试题型2】等比数列 例1．在递增的等比数列中，，，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出的首项、公比即可作答. （2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答. 【详解】（1）由，等比数列是递增数列，得， 因此数列的公比，则， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得，， . 例2．在数列中，，，． (1)设，求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用，化简可知，进而可知数列是首项为、公比为的等比数列； （2）通过可知，进而利用分组求和法计算即得结论． 【详解】（1）证明： 又 数列是首项为、公比为的等比数列； （2）由（1）可知，即， . 例3．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据构造法得出数列是首项为1，公比为的等比数列即可；（2）根据错位相减求前前项和即可. 【详解】（1）由题知，， 因为， 所以， 所以 因为， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 所以. （2）由（1）得， 所以  ①，   ②， 由①②错位相减得： 所以. 【考试题型3】数列求和 例1．在等差数列中， (1)若首项为公差为，求（注意：请写出推导过程）； (2)若，，，求； 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）运用倒序相加法及等差数列通项公式、等和性证明即可. （2）代入公式中求解即可. 【详解】（1）证明：因为为等差数列，所以由等差数列的等和性可知，， 又，① ，② ①+②得：， 所以， 又因为， 所以. 即. （2）因为，所以，解得（舍负）. 故. 例2．已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累乘法求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求前项和. 【详解】（1）由，可得， 当时，， 又因为，即对也成立，所以. （2）①， ②， ，得 ， 所以. 例3．已知等比数列的前项和为，其公比，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，化简得到，再利用化简得到 ，所以. （2）由（1）得，所以，利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为，所以，即 化简得到，因为，所以， 因为，所以，即，所以， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，所以， 所以； . 所以数列的前项和. 六、专题归纳小结 【专题内容总结1等差数列】 1.等差数列的通项公式、等差中项、等差数列的前n项和。 【专题内容总结2等比数列】 2.等比数列的通项公式、等差中项、等差数列的前n项和。 【专题内容总结3数列求和】 3.倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和。 七、强化拓展 1．已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 2．设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 3．已知等差数列前项和为，，. (1)求数列的通项公式及前项和; (2)设，求数列前项和. 4．已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求的最大值. 5．已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 6．设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 【答案】 1．(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）直接由等比数列的定义证明即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 即数列是以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以数列的通项公式为. 2．(1) (2) 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解. 【详解】（1）解得： （2）解得： 3．(1)； (2) 【分析】（1）设公差，由条件列出关于的方程组，求解即得数列通项与前项和； （2）求出，由定义法判断数列为等比数列，利用求和公式即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，，解得， 则，； （2）由，可知数列为等比数列， 其首项为2，公比为2，故数列的前项和. 4．(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解； （2）求得数列的所有正数项，它们的和为的最大值. 【详解】（1）因为数列是首项为23，公差为-4的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）令，可得，所以数列的前6项为正， 所以数列的前6项和为的最大值，最大值=. 5．(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式解得答案； （2）根据（1）的通项公式，设是数列的第k（k为正整数）项，计算得k为正整数，同理设是数列的第m（m为正整数）项，计算的，m不是正整数，从而得证； 【详解】（1）设等差数列的公差为，等差数列的公差为， 由得解得 ∴，. （2）证明：由（1）知：，， 设是数列的第k（k为正整数）项， 则，解得，k为正整数， 则是数列的第项， ∴，，…，均是数列中的项； 设是数列的第m（m为正整数）项， 则，解得，所以m不是正整数，则不是数列中的项， ∴，，…，均不是数列中的项. 6．(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，结合由求解得； （2）根据（1）得到，再结合分组求和、裂项相消和等差数列求和计算得到. 【详解】（1）因为成等差数列，所以. 当时，，因为，所以， 当时，，两式相减得 ， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 因此. （2）由（1）可得 数列 的前 项和 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $