6.2二倍角公式（教案）高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》【上好课】

高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 第六章 三角计算 6.2二倍角公式 一、教材 高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节本节内容是三角计算的重要组成部分，是两角和公式的延伸与应用。教材从生活中的“二倍”实例引入，引导学生探究角的二倍与三角函数值的关系，通过推导得出二倍角的正弦、余弦、正切公式及余弦公式的变形，还拓展了降幂公式。内容编排注重从具体到抽象、从旧知到新知的过渡，结合案例分析、课堂练习等环节，帮助学生掌握公式的应用，培养学生的数学抽象思维与建模素养，为后续三角函数的化简、求值和证明奠定基础。 五、学情分析 学生已经学习了两角和的正弦、余弦、正切公式，具备一定的三角公式推导和运算基础。但三角函数公式较多，学生容易混淆公式形式，在公式的灵活变形和实际应用方面存在不足。同时，学生对抽象的数学推导兴趣不高，需要借助生活实例和直观的探究过程来激发学习积极性。 六、教学目标 1.知识层面：根据两角和公式推导二倍角公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及余弦公式的变形。 2.能力层面：能运用二倍角公式解决三角函数的化简、求值和证明问题。 3.核心素养层面：通过公式推导与应用，培养数学抽象思维能力，提升数学建模的核心素养。 七、教学重点 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导与记忆。 2.运用二倍角公式进行三角函数的化简、求值和证明。 八、教学难点 1.余弦二倍角公式的多种变形及灵活运用。 2.由余弦二倍角公式推导降幂公式。 九、教学方法 1.情境导入法：结合生活中 “二倍” 的实例，激发学生学习兴趣。 2.探究式教学法：引导学生从两角和公式自主推导二倍角公式，培养探究能力。 3.讲练结合法：通过案例分析和课堂练习，巩固公式应用，及时反馈学习效果。 4.小组合作法：在 “学以致用” 环节设置小组合作任务，让学生在讨论交流中解决问题，培养团队协作能力和表达能力。 5.分层指导法：针对不同基础的学生设计梯度化练习，对基础薄弱学生侧重公式基础应用指导，对学有余力学生拓展降幂公式的综合运用，兼顾全体学生的学习需求。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 生活中的“二倍”：容量 在生活中，“二倍”的概念随处可见.比如我们常喝的饮料，就有不同的规格.常见的有500毫升和1升装. 1升装的饮料正好是500毫升的二倍。 生活中的“二倍”：纸张尺寸 标准A系列纸张，每个型号的面积都是下一个型号的两倍，例如一张A3纸的面积正好是一张A4纸面积的二倍。 例如，一张 A3纸的面积 ，正好是一张 A4纸面积 的二倍。 前言 从饮料的容量，再到纸张的面积，"二倍"在生活中随处可见。它代表着一种直观的数量倍增关系。 然而，在抽象的数学世界里，"二倍"被赋予了更精确的定义。 观察角的“二倍”与正弦值的“二倍” 取锐角，其终边与单位圆交于一点，对应纵坐标为正弦值。 角度扩大至两倍，终边与单位圆交于一点，对应纵坐标为正弦值。 显然： 探究二倍角的三角函数关系 生活中的“二倍”是简单的乘法，而角的“二倍”却遵循着更精密的代数规律。今天，我们将从两角和公式出发，推导揭示角倍增本质的定量关系——二倍角公式。 两角和公式出发，推导揭示角倍增本质的定量关系——二倍角公式。 知识回顾 名称 简记符号 公式 两角和的余弦公式 两角和的正弦公式 两角和的正切公式 以生活中常见的“二倍”实例（饮料容量、纸张面积）导入，贴合学生生活经验，打破数学抽象感，激发学生学习兴趣； 通过具体角度（30°、60°）计算对比，让学生直观发现“角的二倍≠正弦值的二倍”，引发认知冲突，自然引出探究主题； 回顾两角和公式，为后续二倍角公式的推导做好旧知铺垫，实现“旧知迁移新知”的教学衔接，培养学生的知识迁移能力。 新知讲授 推导：二倍角的正弦公式 在公式中，令，即 当时， 推导：二倍角的余弦、正切公式 同理令 二倍角的余弦公式： 二倍角的正切公式： 二倍角的余弦公式的变形 因为 公式记忆 名称 简记符号 公式 “饭店巧记”口诀 二倍角的正弦公式 小二上(s)菜(c) 二倍角的余弦公式 吃(c)啥(s)； 一荤两素(s)； 两菜(c)一汤 二倍角的正切公式 两天，一顿要疯(方)了 拓展：降幂公式 由二倍角的余弦公式 可得： 同理可得： 引导学生从两角和公式出发，通过“令α=β”自主推导二倍角公式，培养学生的逻辑推理能力和自主探究能力，让学生理解公式的推导本质，而非机械记忆； 推导余弦二倍角公式的三种形式，结合同角三角函数基本关系，帮助学生建立知识间的关联，突破“余弦公式变形”这一难点； 补充口诀辅助记忆，降低学生公式记忆难度，贴合中职学生的记忆特点； 由余弦二倍角公式推导降幂公式，延伸知识维度，满足学有余力学生的拓展需求，同时为后续三角函数化简、求值奠定基础。 案例分析 例1 已知，是第二象限角，求、和的值。 解：因为，是第二象限角，所以 从而得出 因为，所以 或 例2 已知，且，求和的值。 解：由，可知，故 注意： 因此， 例3 求下列各式的值： (1)；(2)；(3) 解： (1) (2) 例4 化简： 解：原式 例5 证明： 解： 所以原等式成立。 快速问答 二倍角的正弦公式： 的三种形式： 的分母是什么： 设计梯度化案例，覆盖“求值、化简、证明”三大核心应用场景，贴合教学重点，逐步引导学生掌握公式的灵活运用； 例1、例2突出“角的象限判断”，解决学生易错的“符号确定”问题，突破教学难点； 例3直接逆向应用公式，强化公式记忆与逆向思维；例4、例5侧重公式变形与综合应用，提升学生的逻辑运算能力； 穿插快速问答，及时巩固公式核心要点，反馈学生学习效果，调动学生课堂积极性，避免注意力分散。 学以致用 小组合作 (1) 已知，且，求的值。 解： 又因为，所以 (2) 已知，，求的值。 解：对两边平方得： 即，所以 练习 1. 角的终边经过点，则（） A. B. C. D. 答案：A 分析：根据终边上点的坐标求出三角函数值，结合二倍角公式即可解得。 详解：角的终边经过点 2.若，则（） A.6 B.3 C.1 D. 答案：D 分析：根据二倍角公式和化弦为切思想易得答案。 详解： 分子分母同除，原式 3. （） A. B. C. D. 答案：B 分析：根据二倍角的正弦公式求值即可。 详解： 4. （） A. B. C. D. 答案：B 分析：根据二倍角的余弦公式求值即可。 详解： 5. 已知，则（） A.1 B. C. D. 答案：B 分析：根据余弦的二倍角公式即可求解。 详解： 6. 的值为（） A. B. C. D. 答案：D 分析：根据题意，结合余弦的二倍角公式，即可求解。 详解： 公式填空，强化记忆 二倍角的正弦公式： 二倍角的余弦公式： 二倍角的正切公式： 小组合作任务设计基础题型，让学生在交流讨论中解决问题，培养团队协作能力和语言表达能力，同时帮助基础薄弱学生查漏补缺； 选择题覆盖公式的基础应用、逆向应用和变形应用，贴合学情设计梯度，兼顾不同层次学生的需求； 公式填空环节，强化学生对公式的记忆，巩固新知，避免机械记忆，结合前面的练习，实现“学练结合”，及时巩固课堂所学； 整个环节注重培养学生的运算能力和解题规范性，引导学生总结解题方法和易错点。 课堂练习 1.求下列各式的值 (1)；(2)；(3)；(4) 解： (1) (2) (3) (4) 2.已知，是第四象限角，求、和的值。 解析： 因为，是第四象限角，所以 3.已知，，求和的值。 解析： 由，可知，故 4.化简 (1)；(2)；(3)；(4) 解析： (1) (2) (3) (4) 5.求证： 解析：右边 所以原等式成立。 6.求证： 解析： 所以原等式成立。 课堂练习承接案例分析，题型全面，覆盖公式的正向应用、逆向应用、化简和证明，进一步巩固学生对公式的灵活运用能力； 练习题设计注重易错点（如角的象限、符号判断），针对性突破教学难点，帮助学生规避常见错误； 要求学生规范书写解题步骤，培养学生的逻辑思维和运算规范性； 通过练习及时反馈学生的学习情况，便于教师实时掌握学生的知识掌握程度，灵活调整后续教学节奏，兼顾全体学生的学习需求。 课堂小结 名称 简记符号 公式 二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 二倍角的正切公式 梳理本节课核心知识，帮助学生构建完整的知识框架，实现“碎片化知识系统化”，强化记忆； 总结解题方法和易错点，引导学生反思课堂所学，培养学生的归纳总结能力。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 6.2 二倍角公式 二倍角公式 正弦公式：sin2α = 2sinαcosα 余弦公式： cos2α = cos²α − sin²α cos2α = 1 − 2sin²α cos2α = 2cos²α − 1 正切公式：tan2α = 降幂公式 （由余弦公式推导） sin²α = cos²α = 板书层次清晰，逻辑严谨，兼顾知识的系统性和实用性，贴合新授课的教学需求，辅助课堂教学有序开展。 11、 教学反思 本节课通过生活实例导入，有效激发了学生的学习兴趣，借助两角和公式推导二倍角公式的过程，培养了学生的逻辑推理能力。讲练结合的方式帮助学生及时巩固知识，大部分学生能够掌握二倍角公式的记忆与基础应用。但在教学过程中发现，部分学生在余弦公式的变形选择上存在困难，结合角的范围确定三角函数值符号时容易出错。后续教学中，需针对这些易错点增加专项练习，设计更多变式题型，提升学生公式灵活运用的能力。同时，可以增加小组讨论的深度，鼓励学生分享解题思路，培养学生的合作交流能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $