第1卷 集合与充要条件（教师讲解卷）四川省（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 四川省对口招生《数学真题同源卷》 第1卷 集合与充要条件 （教师讲解卷） 一、集合 【概念回顾】 1.集合的基本概念与运算 （1）元素与集合的关系 属于，记为 ∈　；不属于，记为 ∉　 （2）集合之间的关系 子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集，记作A⊆B。 真子集：如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B。 相等：集合A与集合B中的所有元素都相同，记作A＝B。 （3）特殊集合：空集 ∅（一切集合的子集）、全集 U （4）集合运算：交集、并集、补集 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 【真题精讲】 考点01 集合的运算 1.（2025年四川对口招生） 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据并集的概念运算即可. 【解析】已知集合，集合，则，故选：B. 2.（2024年四川对口招生）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用集合的运算求交集即可. 【解析】集合，，则， 故选：C. 3.（2023年四川对口招生）设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】考查集合的并集的定义. 【解析】由的定义知，集合的所有元素为,则=，故选：D. 【举一反三】 1．已知集合，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集与补集的定义求解． 【详解】∵，，∴， 又∵，∴ 故选：C． 2.（2022年四川职教师资和高职班对口考试）设集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考察交集的定义,考察运算求解能力,是基础题. 【解析】，故选：B. 3.（2021年四川对口招生）设集合P ={-1,0}，Q={0,1,2}，则PQ=（ ） A. {0} B.{-1,0} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} 【答案】D 【分析】本题考察并集的定义,考察运算求解能力,是基础题. 【解析】PQ={-1,0,1,2}，故选：D. 4.（2019年四川对口招生）设集合,则=( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考察并集的定义,考察运算求解能力,是基础题. 【解析】PQ={-2,1,2}，故选：D. 5.已知集合则=（ ） A. B. C. D.或 【答案】C 【分析】本题考察集合的交集为一个点时用列举法表示,注意点的书写格式。 【解析】由题可知，故选：C. 【拓展提升】 一．选择题 1.下列集合中是集合的子集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查集合的子集. 由题可知，只要是这个集合的子集就行，因为所以集合取的正整数，即：1，2.所以只有D选项符合. 故答案为：D. 2．已知集合，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件对不等式进行求解，再根据集合交集的性质即可判断选项. 【详解】由解得，结合得， 由解得或，所以 所以. 故选：A 二．填空题 3．已知集合，求 【分析】由的单调性，确定集合中的元素，再由交集运算即可求解. 【解析】因为是增函数，且， 所以满足的最小整数为3， 所以. 4.设集合，，则 【分析】本题考查集合的交集运算. 【解析】因为，解得 而，有，，解得 所以. 5．设集合，，则 【分析】求出集合、，利用交集的定义可得集合. 【解析】因为，且函数在上为增函数， 当时，，即， 因此. 故答案为：. 三．解答题 6.已知集合 若,求的取值范围. 【分析】本题考查集合的交集运算. 【解析】解：因为,所以.又因为B=所以，解得.即.所以的范围为 7.已知集合，若A中至多只有一个元素，则的取值范围. 【分析】集合元素个数为方程根的个数 【解析】（1）当时，，符合题意. （2）当时，则，即 综上所述：或 二、充要条件 【概念回顾】 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 【真题精讲】 考点01 与函数结合 1.（2025年四川对口招生） 已知且，“指数函数为增函数”是“一次函数为减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由题意求出的范围，再由充要条件的定义即可判断. 【解析】由“指数函数为增函数”可得； 由“一次函数为减函数”可得，即； 所以由“指数函数为增函数”可推得“一次函数为减函数”, 由“一次函数为减函数”可推得“指数函数为增函数”, 即“指数函数为增函数”是“一次函数为减函数”的充要条件. 故选：C. 考点02与三角函数结合 1.（2024年四川对口招生）设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用任意角的三角函数结合条件充分性与必要性进行判断即可. 【解析】设，则“”，则，充分性不成立； ，则，必要性成立；则“”是“”的必要不充分条件；故选：B. 考点03与数列结合 1.（2023年四川对口招生）设，，，是实数，则“，，，成等差数列”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】本题考查充分必要条件的定义,是基础题. 【解析】“，，，成等差数列” “”. 反之，“” “，，，成等差数列”，例如，但是不成等差数列. ∴“，，，成等差数列”是“”的充分不必要条件. 【举一反三】 1.（2021年四川职教师资和高职班对口考试）已知（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】本题考查充分必要条件的定义,是基础题. 【解析】直接举例可得答案，例如a=2，b=-6，充分性不成立；a=-6，b=2，必要性不成立 故D正确. 2．已知，，，使成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的概念逐项判断. 【详解】对于A：若，则，即， 所以是的充分条件； 若，则，所以是的必要条件； 综上，是的充要条件，A错误； 对于B：取，则，但， 所以不是的充分条件，B错误； 对于C：取，则，但， 所以不是的充分条件，C错误； 对于D：若，因为函数是增函数，所以， 即是的充分条件； 若，满足，但无意义， 所以不是的必要条件； 所以是的充分不必要条件，D正确； 故选：D. 3.（2020年四川对口招生）已知则是的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题考查充分必要条件的定义及三角函数. 【解析】根据三角函数知识点可知当或时，故B正确. 4.设，，，是非零实数，则“，，，成等比数列”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】本题考查充分必要条件的定义,是基础题. 【解析】“，，，成等比数列” “”. 反之，“” “，，，成等比数列”，例如，满足但“，，，不成等比数列，必要性不成立. ∴“，，，成等比数列”是“”的充分不必要条件. 5．“”是“复数为纯虚数”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据复数除法的运算法则，结合充分条件和必要条件的定义进行运算判断即可. 【详解】由题意知， 当时，，复数，是纯虚数，充分性成立； 当复数为纯虚数时，有，必要性成立. 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：C 【拓展提升】 1． 选择题 1.（2022年河北）“四川形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题考查充分必要条件的定义,是基础题. 【解析】根据菱形和平行四边形的定义知菱形是特殊的平行四边形，充分性不成立必要性成立；故B正确。 2.（2022年四川对口招生）设，则“”是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 既充分又必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先证充分性，再证必要性。 【解析】若, ①当时, ; ②当时, ; ③当时,; 即充分性成立; 若 ①当时, ②当时, ,上式显然成立，此时符合题意.∴ ③当时, 上式显然不成立，此时不符合题意,舍去. ④当时, 即必要性成立； 综上“”是“”的既充分又必要条件. 二．填空题 3.“点A在第一象限”是“点A在轴的上方”的 （ 充分但不必要条件，必要但不充分条件，既充分又必要条件，既不充分也不必要条件 ） 【分析】本题考查充分必要条件的定义,是基础题. 【解析】根据一象限的点在轴上方，轴上方的点包括一二象限的点，充分性成立必要性不成立. 4.由实数组成的等比数列的前项和为，则“”是“”的 （ 充分但不必要条件，必要但不充分条件，既充分又必要条件，既不充分也不必要条件 ） 【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解析】若是等比数列，则，若则，即成立；若成立，则，即成立；故是的充要条件. 5．已知为等比数列，其公比，设甲：；乙：，则甲是乙的 （ 充分但不必要条件，必要但不充分条件，既充分又必要条件，既不充分也不必要条件 ） 【分析】根据充分性和必要性的意义，均举反例即可判断. 【解析】当时，，此时，不满足， 故充分性不成立； 若，此时满足，但，故必要性不成立， 故甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D. 三．解答题 6．命题任意，使得成立；命题存在，使得成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若q为假命题，求实数m的取值范围． 【分析】（1）若p为真命题，则使得方程没有实数根，即，即可求出实数m的取值范围； （2）若q为假命题，则使得恒成立，即方程有两个相等实数根或没有实数根，故，即可求出实数m的取值范围. 【解析】（1）解：因为p为真命题，所以， 即，即， 解得：． 所以实数m的取值范围是． （2）因为q为假命题，所以，解得：， 所以实数m的取值范围是． 7．已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【分析】（1）由可得，分和两种情况讨论即可； （2）由p是q的充分不必要条件可得真包含于，根据包含关系列出不等式组即可. 【解析】（1）由可得， 当时，则，解得； 当时，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （2）若p是q的充分不必要条件，则真包含于，这等价于且， 由可得，解得， 又（即且）无解，故恒成立， 所以实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》 第1卷 集合与充要条件 （教师讲解卷） 一、集合 【概念回顾】 1.集合的基本概念与运算 （1）元素与集合的关系 属于，记为 ∈　；不属于，记为 ∉　 （2）集合之间的关系 子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集，记作A⊆B。 真子集：如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B。 相等：集合A与集合B中的所有元素都相同，记作A＝B。 （3）特殊集合：空集 ∅（一切集合的子集）、全集 U （4）集合运算：交集、并集、补集 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 【真题精讲】 考点01 集合的运算 1.（2025年四川对口招生） 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2.（2024年四川对口招生）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3.（2023年四川对口招生）设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【举一反三】 1．已知集合，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2.（2022年四川职教师资和高职班对口考试）设集合，，那么（ ） A. B. C. D. 3.（2021年四川对口招生）设集合P ={-1,0}，Q={0,1,2}，则PQ=（ ） A. {0} B.{-1,0} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} 4.（2019年四川对口招生）设集合,则=( ) A. B. C. D. 5.已知集合则=（ ） A. B. C. D.或 【拓展提升】 一．选择题 1.下列集合中是集合的子集是（ ） A. B. C. D. 2．已知集合，则（  ） A． B． C． D． 二．填空题 3．已知集合，求 4.设集合，，则 5．设集合，，则 三．解答题 6.已知集合 若,求的取值范围. 7.已知集合，若A中至多只有一个元素，则的取值范围. 二、充要条件 【概念回顾】 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 【真题精讲】 考点01 与函数结合 1.（2025年四川对口招生） 已知且，“指数函数为增函数”是“一次函数为减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点02与三角函数结合 1.（2024年四川对口招生）设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点03与数列结合 1.（2023年四川对口招生）设，，，是实数，则“，，，成等差数列”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【举一反三】 1.（2021年四川职教师资和高职班对口考试）已知（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．已知，，，使成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 3.（2020年四川对口招生）已知则是的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设，，，是非零实数，则“，，，成等比数列”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．“”是“复数为纯虚数”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【拓展提升】 1． 选择题 1.“四川形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2022年四川对口招生）设，则“”是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 既充分又必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二．填空题 3.“点A在第一象限”是“点A在轴的上方”的 （ 充分但不必要条件，必要但不充分条件，既充分又必要条件，既不充分也不必要条件 ） 4.由实数组成的等比数列的前项和为，则“”是“”的 （ 充分但不必要条件，必要但不充分条件，既充分又必要条件，既不充分也不必要条件 ） 5．已知为等比数列， 为其公比，设甲：；乙：，则甲是乙的 （ 充分但不必要条件，必要但不充分条件，既充分又必要条件，既不充分也不必要条件 ） 三．解答题 6．命题任意，使得成立；命题存在，使得成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若q为假命题，求实数m的取值范围． 7．已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $