6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 目录 知识点一：分类加法计数原理 2 知识点二：分步乘法计数原理 2 知识点三：两个计数原理的联系与区别 2 知识点四：解决计数问题的常用方法 2 题型1：分类加法计数原理的应用 3 题型2：分步乘法计数原理的应用 5 题型3：两种计数原理的综合应用 7 题型4：涂色问题 10 知识点一：分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. 知识点二：分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 知识点三：两个计数原理的联系与区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 把一个原始的事件分解成若干个分事件来完成，它们都是关于做一件事的不同方法种数的问题 区别 完成一件事，共有n种方法， 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 完成一件事，共有n个步骤， 各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事 判断一种方法是“分类”还是“分步”的标准是看这种方法是否能独立地完成这件事情，如果能独立完成就是“分类”；如果不能独立完成，就是“分步”. （1）分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． （2）分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，才是完成任务．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． 知识点四：解决计数问题的常用方法 1. 列举法 列举法是指完成一件事的方法不是很多，可以一一列举出来，然后再一种一种地数，进而确定完成这件事共有多少种方法.有些列式困难、数目较少的问题都可用此法. 2. 画树状图法 当完成一件事的各个步骤有多种方法时，可按步骤顺序把各种情形在一个图形上画出来，可以有效避免结果的重复和遗漏. 3. 间接法 对含有“至少”“不少于”“不超过”“不都”“不全”等关键词的题目，要从正面和反面去比较，当用直接法不宜求解时可采用间接法求解，即从方法总数中去掉不符合条件的方法数，从而得到符合条件的方法数. 题型1：分类加法计数原理的应用 方法提炼 应用分类加法计数原理解题的策略： (1) 标准明确：明确分类标准，确定完成一件事的各类方案. (2) 不重不漏：完成这件事的各类方案必须满足既不重复，又不遗漏. (3) 方法独立：确定用每一类方案中的每一种方法都能独立地完成这件事. 【例1.1.】 小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（    ）种练习的方案. A．31 B．18 C．21 D．33 【答案】B 【详解】七个课间编号为， 如果仅有一个课间练习，则每个课间都可以，有7种方案， 若有两个课间练习，选法有， 共种方案， 三个课间练习，选法为，共种， 故总数为种. 故选：B 【例1.2.】 三名篮球运动员甲､乙､丙进行传球训练（不能传给自己），由甲开始传，经过4次传递后，球被传给丙，则不同的传球方式共有 种． 【答案】5 【详解】 由上述树状图可知，不同的传球方式共有种. 故答案为：5. 【例1.3.】 将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有 A．16种 B．12种 C．9种 D．6种 【答案】B 详解：由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有： 当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；   当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 因此，不同的放球方法有12种，故选B. 【例1.4.】 如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（    ） A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：． ∴；；；；． 原位小三和弦满足：． ∴；；；；． 故个数之和为10． 故选：C． 题型2：分步乘法计数原理的应用 方法提炼 运用分步乘法计数原理解题时，首先应根据题意确定一个合理的分步标准，然后分别计算每一步的方法数，最后再利用分步乘法计数原理求出完成这件事的方法总数。分步时，每步之间必须连续，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事，且每步之间既不能重复也不能遗漏. 【例2.1.】 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 【答案】B 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 故选：B. 【例2.2.】 要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【详解】依题意，在左边并联的两个开关中任取1个合上，再在右边并联的三个开关中任取1个合上，电路正常工作， 所以不同方法种数为. 故选：C 【例2.3.】 （多选）有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（    ） A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案 B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案 C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案 D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案 【答案】ACD 【详解】对于A、B项， 按照6名同学参加的项目，分为6步，每步均有3种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故A正确、B错误； 对于C项，根据3个智力竞赛项目，分为3步，每步均有6种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故C正确； 对于D项，根据3个智力竞赛项目，分为3步. 第1步，6种选择；第2步，5种选择；第3步，4种选择. 根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故D正确. 故选：ACD. 【例2.4.】 如图所示，在A，B间有4个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致线路不通，现发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 种．    【答案】13 【详解】由题意知四个焊接点脱落或不脱落的不同情况共有种， 其中A，B之间线路通的情况只有：124不脱落3脱落，134不脱落2脱落，1234都不脱落，共3种情况， 故A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（种）， 故答案为：13 【例2.5.】 某公园有如图所示A至H共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（    ） A．168 B．336 C．338 D．84 【答案】B 【详解】第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个男生在第二行有三个位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有种， 第二步：排女生，若男生选，则女生有共7种选择，由于女生可以互换，故女生的排法有种， 根据分步计数原理，共有种， 故选：B. 题型3：两种计数原理的综合应用 方法提炼 两个计数原理的综合问题中往往既有分类又有分步，这时首先要理解题意，弄清“完成哪件事”，弄清是类的趋势大，还是步的趋势大，再决定是先分步还是先分类. (1) 类中有步 完成这件事的方法数为. (2) 步中有类 完成这件事的方法数为. 【例3.1.】 同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（    ） A．32种 B．128种 C．64种 D．256种 【答案】C 【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法； 若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法． 故一共有种去法． 故选：C. 【例3.2.】 如图，小明从街道的处出发，到处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（    ）    A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】D 【详解】中途共三次转向可以分为两类: 第一类，第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转，此时有种方法， 第二类，第一次向上转，第二次右转，最后向上转，此时共有种方法. 故总的方法有24种， 故选：D. 【例3.3.】 把数字1、2、3分别写在9张卡片上，其中有4张写着1，4张写着2，1张写着3，把这9张卡片排成三行三列，每行每列都是三张卡片，则每行和每列的卡片上数字和为奇数的排法的种数有（    ） A．30 B．27 C．54 D．45 【答案】D 【详解】每张卡片都有所在的行和列，为了保证每行每列的数字和为奇数， 所以每行和每列有3个奇数或者1个奇数， 首先考虑写有数字3的卡片，然后再考虑写有数字1的卡片， 3所在的行要么有2个1，要么没有1， 当3所在的行有两个1时，另外两个1必须在同一列，于是有3种排法， 当3所在的行没有1时，剩下的两行应该是一行3个1，一行1个1， 于是有2种排法，所以对于3的每一个位置有5种排法， 由于3可以放在这9个位置中的任何一个位置，因此共有45种排法. 故选：D 【例3.4.】 用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（    ） A．16个 B．12个 C．9个 D．8个 【答案】D 【详解】比2000大，故千位为2，3，4， 若千位为2，则个位为4，有（个）符合题意的四位数； 若千位为3，则个位为2或4，有（个）符合题意的四位数； 若千位为4，则个位为2，有（个）符合题意的四位数． 根据分类加法计数原理得，一共有（个）符合题意的四位数． 故选:D． 【例3.5.】 用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 【答案】420 【详解】①第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，有种法． ②第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字外的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字，根据分步乘法计数原理，有种取法． 所以根据分类加法计数原理，共可以组成个无重复数字的四位偶数． 故答案为：420. 题型4：涂色问题 方法提炼 涂色问题是指用n种不同颜色给已知图形的区域涂色，求共有几种涂色的问题.涂色时需要关注图形特征：区域的个数、区域的相邻情况、图形情况等。这些特征都有可能使分类的标准、分步的过程不同. 涂色问题大致有两种解决方案： (1) 选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，应用分步乘法计数原理进行计算. (2) 先根据涂色时所用色彩的多少进行分类处理，再对每一类的涂色方案应用分步乘法计数原理进行计算，最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和，即得到最终涂色方法数. 【例4.1.】 如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（    ） A．400 种 B．460 种 C．480 种 D．496 种 【答案】C 【详解】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色， 当使用4种颜色时，有6种涂法，有5种涂法，有4种涂法，有3种涂法， 所以共有种方法； 当使用3种颜色时，和涂一种颜色，共有6种涂法， 有5种涂法，有4种涂法， 所以共有种方法； 所以不同的涂法共有种. 故选：. 【例4.2.】 用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（    ） A．120 B．72 C．48 D．24 【答案】A 【详解】先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择， ① 当,颜色相同时涂色方法数是：， ② 当,颜色不相同时涂色方法数是：， 所以，满足题意的涂色方法总数是：48+72=120． 故选：A． 【例4.3.】 如图所示的按照下列要求涂色，若恰好用3种不同颜色给个区域涂色，且相邻区域不同色，共有 种不同的涂色方案？ 【答案】18 【详解】恰好用3种不同颜色涂四个区域，则区域或区域或区域必同色， 当同色时，有种，同理、分别同色时各有6种， 由分类加法计数原理得恰好用3种不同颜色涂四个区域共种不同涂色的方案. 故答案为：18 【例4.4.】 （1）如图①所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有多少种不同的涂法？ （2）如图②所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，共有多少种不同染色方法？ 【答案】（1）12（2）420 【详解】（1）①若A，C涂色相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，2，则有3×2×1×2＝12种不同的涂法； ②若A，C涂色不相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，1，则有3×2×1×1＝6种不同的涂法； 所以，根据分类加法计数原理，共有12＋6＝18种不同的涂法． （2）按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类： 第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180种不同的染色方法； 第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240种不同的染色方法； 根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420种不同的染色方法 【例4.5.】 用种不同的颜色给如图所示的、、、四个区域涂色． （1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？ （2）若相邻区域不能用同一种颜色，当时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？ （3）若相邻区域不能用同一种颜色，图③有种不同的涂色方案，求的值． 【答案】（1）种；（2）题图①：种，题图②：种；（3）． 【详解】（1）由题意知题图①中的四个区域，每个区域有种涂色方案，共有种方案； （2）题图①：第一步，涂，有种不同的涂法； 第二步，涂，与的颜色不相同，有种不同的涂法； 第三步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法； 第四步，涂，只需与的颜色不相同，有种不同的涂法． 所以共有种不同的涂色方案. 题图②：第一步，涂，有种不同的涂法； 第二步，涂，与的颜色不相同，有种不同的涂法； 第三步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法； 第四步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法． 所以共有种不同的涂色方案； （3）前三步与题图①的涂法类似，分别有、、种不同的涂法， 第四步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法． 所以共有种不同的涂色方案， 所以，，所以． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 目录 知识点一：分类加法计数原理 2 知识点二：分步乘法计数原理 2 知识点三：两个计数原理的联系与区别 2 知识点四：解决计数问题的常用方法 2 题型1：分类加法计数原理的应用 3 题型2：分步乘法计数原理的应用 4 题型3：两种计数原理的综合应用 5 题型4：涂色问题 6 知识点一：分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. 知识点二：分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 知识点三：两个计数原理的联系与区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 把一个原始的事件分解成若干个分事件来完成，它们都是关于做一件事的不同方法种数的问题 区别 完成一件事，共有n种方法， 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 完成一件事，共有n个步骤， 各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事 判断一种方法是“分类”还是“分步”的标准是看这种方法是否能独立地完成这件事情，如果能独立完成就是“分类”；如果不能独立完成，就是“分步”. （1）分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． （2）分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，才是完成任务．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． 知识点四：解决计数问题的常用方法 1. 列举法 列举法是指完成一件事的方法不是很多，可以一一列举出来，然后再一种一种地数，进而确定完成这件事共有多少种方法.有些列式困难、数目较少的问题都可用此法. 2. 画树状图法 当完成一件事的各个步骤有多种方法时，可按步骤顺序把各种情形在一个图形上画出来，可以有效避免结果的重复和遗漏. 3. 间接法 对含有“至少”“不少于”“不超过”“不都”“不全”等关键词的题目，要从正面和反面去比较，当用直接法不宜求解时可采用间接法求解，即从方法总数中去掉不符合条件的方法数，从而得到符合条件的方法数. 题型1：分类加法计数原理的应用 方法提炼 应用分类加法计数原理解题的策略： (1) 标准明确：明确分类标准，确定完成一件事的各类方案. (2) 不重不漏：完成这件事的各类方案必须满足既不重复，又不遗漏. (3) 方法独立：确定用每一类方案中的每一种方法都能独立地完成这件事. 【例1.1.】 小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（    ）种练习的方案. A．31 B．18 C．21 D．33 【例1.2.】 三名篮球运动员甲､乙､丙进行传球训练（不能传给自己），由甲开始传，经过4次传递后，球被传给丙，则不同的传球方式共有 种． 【例1.3.】 将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有 A．16种 B．12种 C．9种 D．6种 【例1.4.】 如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（    ） A．5 B．8 C．10 D．15 题型2：分步乘法计数原理的应用 方法提炼 运用分步乘法计数原理解题时，首先应根据题意确定一个合理的分步标准，然后分别计算每一步的方法数，最后再利用分步乘法计数原理求出完成这件事的方法总数。分步时，每步之间必须连续，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事，且每步之间既不能重复也不能遗漏. 【例2.1.】 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 【例2.2.】 要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【例2.3.】 （多选）有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（    ） A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案 B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案 C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案 D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案 【例2.4.】 如图所示，在A，B间有4个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致线路不通，现发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 种．    【例2.5.】 某公园有如图所示A至H共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（    ） A．168 B．336 C．338 D．84 题型3：两种计数原理的综合应用 方法提炼 两个计数原理的综合问题中往往既有分类又有分步，这时首先要理解题意，弄清“完成哪件事”，弄清是类的趋势大，还是步的趋势大，再决定是先分步还是先分类. (1) 类中有步 完成这件事的方法数为. (2) 步中有类 完成这件事的方法数为. 【例3.1.】 同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（    ） A．32种 B．128种 C．64种 D．256种 【例3.2.】 如图，小明从街道的处出发，到处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（    ）    A．8 B．12 C．16 D．24 【例3.3.】 把数字1、2、3分别写在9张卡片上，其中有4张写着1，4张写着2，1张写着3，把这9张卡片排成三行三列，每行每列都是三张卡片，则每行和每列的卡片上数字和为奇数的排法的种数有（    ） A．30 B．27 C．54 D．45 【例3.4.】 用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（    ） A．16个 B．12个 C．9个 D．8个 【例3.5.】 用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 题型4：涂色问题 方法提炼 涂色问题是指用n种不同颜色给已知图形的区域涂色，求共有几种涂色的问题.涂色时需要关注图形特征：区域的个数、区域的相邻情况、图形情况等。这些特征都有可能使分类的标准、分步的过程不同. 涂色问题大致有两种解决方案： (1) 选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，应用分步乘法计数原理进行计算. (2) 先根据涂色时所用色彩的多少进行分类处理，再对每一类的涂色方案应用分步乘法计数原理进行计算，最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和，即得到最终涂色方法数. 【例4.1.】 如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（    ） A．400 种 B．460 种 C．480 种 D．496 种 【例4.2.】 用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（    ） A．120 B．72 C．48 D．24 【例4.3.】 如图所示的按照下列要求涂色，若恰好用3种不同颜色给个区域涂色，且相邻区域不同色，共有 种不同的涂色方案？ 【例4.4.】 （1）如图①所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有多少种不同的涂法？ （2）如图②所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，共有多少种不同染色方法？ 【例4.5.】 用种不同的颜色给如图所示的、、、四个区域涂色． （1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？ （2）若相邻区域不能用同一种颜色，当时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？ （3）若相邻区域不能用同一种颜色，图③有种不同的涂色方案，求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $