6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 巩固训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1. 图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有（    ） A．12种 B．17种 C．23种 D．60种 2. 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（    ） A．26 B．24 C．19 D．18 3. 用中的任意一个数作为分子，中的任意一个数作为分母，可构成 个不同的分数. 4. “数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（    ） A．72 B．108 C．144 D．196 5. 3名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为 . 6. 在某运动会的百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙3人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有 种． 7. （多选）如图，线路从到之间有五个连接点，若连接点断开，可能导致线路不通，现发现之间线路不通，则下列判断正确的是（    ） A．至多三个断点的有种 B．至多三个断点的有种 C．共有种 D．共有种 8. 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（    ） A．60 B．48 C．36 D．24 9. 如图，沿着箭头从点P走到点Q，有 种不同的最短路径． 10. 某电商推出了A，B，C，D四种红包，活动规定每人可以依次点击5次，每次都会获得四种红包的一种，若集齐四种才能获奖，且每次红包出示的顺序不同对应的奖次也不同.甲按规定依次点击了5次，直到第5次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为 . 11. 若一个三位数同时满足：①各数位的数字互不相同；②任意两个数位的数字之和不等于9，则这样的三位数共有 个．(结果用数字作答) 12. 某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，两个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式?（用1，2，3，4，5，6表示广告的播放顺序） 13. 如图所示的，，，按照下列要求涂色． （1）用3种不同颜色填涂图中，，，四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？ （2）若恰好用3种不同颜色给，，，四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？ （3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1. 图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有（    ） A．12种 B．17种 C．23种 D．60种 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理 【分析】由排列､组合及简单计数问题，结合分类计数加法原理求解即可． 【详解】图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有种． 故选：． 2. 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（    ） A．26 B．24 C．19 D．18 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据分类加法计数原理计算． 【详解】由题图可知，从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3，4，6，6， 由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为. 故选：C． 3. 用中的任意一个数作为分子，中的任意一个数作为分母，可构成 个不同的分数. 【答案】16 【难度】0.94 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分子、分母的选择个数及分步乘法计数原理可得分数的个数； 【详解】从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，8，12，16中任选一个数作分母， 可构成个不同的分数； 故答案为：16. 4. “数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（    ） A．72 B．108 C．144 D．196 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】分步完成，5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取． 【详解】按题意5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．因此填法总数为． 故选：C. 5. 3名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为 . 【答案】64 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】依题意，每名毕业生都有种选择， 按照分步乘法计数原理可得不同选法的种数为种. 故答案为： 6. 在某运动会的百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙3人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有 种． 【答案】2880 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的计数问题 【分析】先在1,3,5,7四条跑道上安排甲、乙、丙3人，再在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排另外5人，再由分步计数原理求解. 【详解】分两步安排这8名运动员． 第1步：安排甲、乙、丙3人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，安排方式有4×3×2＝24(种)． 第2步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)． 所以安排这8人的方式有24×120＝2 880(种). 故答案为：2880 7. （多选）如图，线路从到之间有五个连接点，若连接点断开，可能导致线路不通，现发现之间线路不通，则下列判断正确的是（    ） A．至多三个断点的有种 B．至多三个断点的有种 C．共有种 D．共有种 【答案】AC 【详解】若有1个断点，则1,5中断开1个，有2种情况； 若有2个断点，则1,5都断开有1种；1,5断开1个，2,3,4断开1个有种，共种情况； 若有3个断点，则2,3,4断开有1种；1,5都断开，2,3,4断开1个有3种；1,5断开1个，2,3,4断开2个有种，共种； 若有4个断点，则1,5都断开，2,3,4断开2个有3种；1,5断开1个，2,3,4都断开有2种，共有种； 若有5个断点，有1种情况. 综上，至多三个断点的有种，故A正确，B错误；所有情况共有种，故C正确，D错误. 故选：AC. 8. 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（    ） A．60 B．48 C．36 D．24 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理 【解析】分成两类，第一类是长方体的面和它相对的面上的条棱和条对角线组成的“平行线面组”，第二类是长方体的对角面和棱构成的“平行线面组”，分别计算两类的结果再相加即可. 【详解】一个长方体的面可以和它相对的面上的条棱和两条对角线组成个“平行线面组”， 一共有个面，共有种. 长方体的每个对角面有个“平行线面组”，共有个对角面， 一共有种. 根据分类计数原理知：共有种. 故选：B 9. 如图，沿着箭头从点P走到点Q，有 种不同的最短路径． 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】利用直接列举树状图法来研究，或转化为四步中必向右走两步，必向前走一步，必向下走一步，从而利用分步计数原理来求即可. 【详解】直接写出经过每个点的路径种数，如图所示． 通过树状图列举： 所以总共有12种不同的最短路径． 10. 某电商推出了A，B，C，D四种红包，活动规定每人可以依次点击5次，每次都会获得四种红包的一种，若集齐四种才能获奖，且每次红包出示的顺序不同对应的奖次也不同.甲按规定依次点击了5次，直到第5次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为 . 【答案】144 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由题意可得直到第5次才获奖，说明前4次点击中恰有其余三种不同类型，结合容斥原理采用分步计算可得. 【详解】由题意可得直到第5次才获奖，说明前4次点击中恰有其余三种不同类型， 采用分步计算， 第五次共有4种选择， 前四次共有种，减去缺少一种的类型有种；再加上缺少两种的类型共有， 由容斥原理可得前4次点击中恰有其余三种不同类型共有种， 由分步乘法原理可得种. 故答案为：144. 11. 若一个三位数同时满足：①各数位的数字互不相同；②任意两个数位的数字之和不等于9，则这样的三位数共有 个．(结果用数字作答) 【答案】432 【难度】0.4 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】从百位开始讨论，然后分析十位数字，对应分析个位数字情况，最后找规律总结即可求解； 【详解】从百位开始讨论： （1）百位数字为1，十位数字有0,2,3,4,5,6,7,9，（除1,8外所有数字）； 当十位数字为0时，个位数字为2,3,4,5,6,7,（除1,0，8，9外所有数字），所以对应的三位数有种； （2）百位数字为2,3,4,5,6,7,8,9，情况同（1）； 综上这样的三位数共有：种； 故答案为：432. 12. 某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，两个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式?（用1，2，3，4，5，6表示广告的播放顺序） 【答案】 【详解】完成这件事有三类方法. 第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2，4，6，分6步完成这件事， 共有（种）不同的播放方式； 第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1，4，6，分6步完成这件事， 共有（种）不同的播放方式； 第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1，3，6，同样分6步完成这件事， 共有（种）不同的播放方式. 由分类加法计数原理知，6个广告不同的播放方式有（种）. 13. 如图所示的，，，按照下列要求涂色． （1）用3种不同颜色填涂图中，，，四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？ （2）若恰好用3种不同颜色给，，，四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？ （3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？ 【答案】（1）24；（2）18；（3）6. 【详解】（1）涂区有3种涂法，，，区域各有2种不同的涂法， 由分步乘法计数原理知将，，，四个区域涂色共有种不同的涂色方案； （2）恰好用3种不同颜色涂四个区域，则，区域或，区域或，区域必同色， 由分类加法计数原理可得恰好用3种不同颜色涂四个区域共种不同涂色的方案； （3）若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则，区域必同色，且，区域必同色， 先从3种不同颜色中任取2种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域，共2种不同的涂法， 由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂完四个区域，共有种不同的涂色方案． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $