5.1.1变化率问题课件-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦变化率问题，涵盖平均变化率、瞬时速度及曲线切线斜率等核心知识点。课堂导入从必修第一册函数单调性定性研究出发，通过“指数爆炸”与“直线上升”的速度差异提问，引导学生从定量角度探究变化快慢，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于以高台跳水运动员运动和抛物线切线为实例，通过计算不同时间段平均速度、观察Δt趋近0时的极限值，结合表格数据直观呈现规律，培养学生数学眼光（抽象数量关系）和数学思维（逻辑推理）。采用课堂探究与典例分析结合的教学方法，小结明确步骤，帮助学生深化概念理解，教师可借此提升教学的直观性与有效性。

变化率问题 人教A版（2019）选择性必修二 导数概念及其意义 导数的运算 导数在研究函数中的应用 平均变化率 瞬时速度 导数的几何意义 平均速度 曲线的割线斜率、切线斜率 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性 函 数 的 极 值 与 最 大（小）值 本章导读 学习目标 1.会求函数在某一点附近的平均变化率，理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念. 2.会求抛物线的切线斜率，体会数学的极限思想. 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题. 变化率：一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率. 新课导入 物理学中平均速度与瞬时速度 情景1：高台跳水运动员的速度 课堂探究 问题1：在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系： 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 视频中，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快。我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 课堂探究 请计算对应时间段的平均速度： 课堂探究 再计算： 追问1： （1）运动员在这段时间里是静止的吗? （2）平均速度能准确反映运动员的运动状态吗? (1)在这段时间内，运动员并不处于静止状态. (2)用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态. 要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度． 课堂探究 追问2：瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种关系求运动员在t =1s时的瞬时速度吗? 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity). 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是 可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 瞬时速度 问题2：运动员在t=1s时的瞬时速度是多少？ Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 课堂探究 Δt < 0 Δt > 0 -0.01 0.01 -0.001 0.001 -0.0001 0.0001 -0.00001 0.00001 -0.000001 0.000001 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格. -6.951 -6.9951 -6.99951 -6.999951 -6.9999951 -7.049 -7.0049 -7.00049 -7.000049 -7.0000049 通过观察可得，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于 -7. 课堂探究 课堂探究 思考：(1) 求运动员在t =0.5 s时的瞬时速度； (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 课堂探究 解： 因此运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度为 课堂探究 思考：(1) 求运动员在t =0.5 s时的瞬时速度； (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 1. 平均速度： 运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为 当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为 2. 瞬时速度： 两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值． 平均速度与瞬时速度的关系 1. 求问题1中高台跳水运动员在t=1.5 s时的瞬时速度. 课后练习 2. 火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求： (1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度. 课后练习 3. 一个小球从5 m的高处自由下落，其位移y (单位: m)与时间t (单位: s) 之间的关系为 y(t)=－4.9t2 . 求t =1 s时小球的瞬时速度. 课后练习 情景2：抛物线的切线的斜率 下面我们以抛物线 f (x)=x2 为例进行研究. 问题2：如何定义抛物线 f (x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线？ x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 ①与研究瞬时速度类似 ②在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2) ③考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P的变化情况 课堂探究 我们发现，当点P__________________，割线P0P_______________________位置. 这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 观察：如图，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势? T 无限趋近于一个确定的 无限趋近于点P0时 课堂探究 问题3：我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线 f (x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线的斜率呢？ 切线位置 割线位置 无限逼近 切线斜率 割线斜率 无限逼近 取极限 记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标即为(1＋Δx，(1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率 Δx→0时，斜率kPoP→2. 课堂探究 我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格： ∆x <0 ∆x >0 ∆x ∆x 通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2. 课堂探究 事实上，由 可以发现，当∆x在无限趋近于0时， 无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”，记为 从几何图形上看，当横坐标间隔| Δx |无限变小时， 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T .割线P0P的斜率k 无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.因此，切线P0T 的斜率k0=2. x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 课堂探究 2.切线的斜率： 点P0(x0, f (x0))与P(x0x, f (x0x))两点间的斜率 函数图象在点P0(x0, f (x0))处的斜率 x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 1.割线的斜率： 割线的斜率与切线的斜率 思考：观察问题1中的函数 的图象，平均速度 的几何意义是什么? 瞬时速度v(1)呢? t h 1 O • (1, h(1)) • (1+∆t, h(1+∆t)) 课堂探究 问题4：你能用上述方法，求抛物线 f (x)=x2在点 P0(2,4) 处的切线P0T 的斜率吗？ x y O 1 2 1 2 3 4 P0 P 记点P的横坐标x＝2＋Δx，则点P的坐标即为(2＋Δx，(2＋Δx)2). 于是割线P0P的斜率 故抛物线在点P0(2，4)处的切线斜率为4. 课堂探究 例1：求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处切线的斜率. 变式：求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处的切线方程. 典例分析 1. 你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线? 试求抛物线f(x)=x2在点(－1, 1)处切线的斜率. 课后练习 2. 求抛物线f(x)=x2+1在点(0, 1)处的切线方程. 课后练习 【例1】 一个质点沿直线运动，运动方程为，其中 的单位为， 的单位为 . (1)求该质点从 的平均速度； (2)求该质点在 内的平均速度. 解:(1) ， ，所以该质点从到的平均速度 . (2)在到的时间段内，该质点的平均速度 . 题型一：平均速度 求物体运动的平均速度的主要步骤 已知沿直线运动的物体的运动方程为 (3)求平均速度 . (2)计算时间的改变量 ； (1)计算位移的改变量； 【例2】已知沿直线运动的物体的位移与时间的关系式为 （位移单位：，时间单位：），求该物体在第 时的瞬时速度. 解:设附近的时间增量为，则物体在与 内的平均速度为 ， 所以物体在第时的瞬时速度 . 题型二：瞬时速度 已知沿直线运动的物体的运动方程为 计算瞬时速度的步骤 （2）再计算瞬时速度：物体在 时刻的瞬时速度是平均速度的极限值， 即 . （1）先计算平均速度： ； 【例3】已知曲线上的点， . (1)求曲线的割线 的斜率； 解：由曲线上的点，，得割线 的斜率 . 题型三：曲线的割线、切线的斜率 (2) 求曲线在点 <m></m> ，点 <m></m> 处的切线的斜率. 解：设曲线上点 <m></m> 附近的一点 <m></m> ， 则割线 <m></m> 的斜率 <m></m> ， 由在点 <m></m> 处的切线斜率为割线 <m></m> 斜率的极限值， 得切线斜率 <m></m> . 同理，曲线在点 <m></m> 处的切线斜率 <m> </m> . （1）先计算割线斜率：设附近的增量为，计算点 与点 所在割线的斜率 ； 计算切线斜率的方法步骤 （2）再计算极限得切线斜率：曲线在点 处的切线斜率 为割线斜率的极限值，即 . 已知曲线，切点坐标为 1.本节课收获了哪些知识？ 平均速度 瞬时速度 瞬时速度的本质是平均速度的极限. (1) 平均速度： (2) 瞬时速度： 2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤： 课堂小结 3.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度 2.抛物线的割线及切线的斜率 无限逼近 无限逼近 课堂小结 Lavf55.33.100 $