例谈证明数列不等式的七种策略-《中学生数理化》高二数学2026年1月刊

中学生表理化部学经圣酸方法 例谈证明数列不等式的七种策略 ■河南省中牟县第四高级中学 王莹莹 数列是自变量为正整数的一类函数， 策略二、利用公式求和再放缩证明数列 在高考中屡见不鲜，尤其是数列与不等式 不等式 的综合问题，是高考考查的热点内容。常 例2已知等比数列{a,}(n∈N“)为 见的题型大致有三种：一是判断数列问题 递增数列，且a=a6,5aa=2a2十2a1,设bn= 中的一些不等关系；二是以数列为载体，考 查不等式恒成立问题；三是考查与数列不 4n一2(n∈N),数列{b,}的前n项和为S, an 等式有关的证明问题。在证明数列不等式 证明：S,<6。 问题时，需要充分利用数列的自身特点，挖 证明：记等比数列{an}的公比为q,则 掘内在的知识规律，在解决此类问题的过 1 程中积累策略和方法。 /(a1q)2=a1q, 解得 或 下面用七种不同的策略，对典型例题进 5a1q2=2a1q+2a1q3, 1 =2 行梳理证明，希望同学们体会论证推理的核 /a1=2, 心本质，从而对完善数列不等式证明的方法 因为等比数列{an}为递增数列，所以 g=2。 体系有所帮助。 a1=2, 策略一、利用函数的单调性证明数列不 故am=2×2-1=2”,则{bn}的通项公 q=2, 等式 例1已知数列{an}满足a1=1,an+ 式为b,=4n一2 2n -a+1.设6，-a,+名证明号+ 所以数列6，的前”项和3-会+会 ∠1 +…十6n +.+4n-213 2” 证明：由a,1=30,+1,得a十合 +2+…+23+0 2" 。两式相减 so.+号）又a十日-是故.+}是 得s.=1+2(++十) 2n-1 2-1 2n 以受为首项，3为公比的等比数列，所以a,十 =3 2n+ 21 ,所以S。=6-2n十3 2-1。 之-×31-，即(6的通项公式为6， 3" 2=2 又因为n∈N,所以+3>0，故5. 2n-1 多 1 2 6-2m+3<6。 2-1 是+…+导=1-(》 策略三、利用先放缩通项再求和证明数 3 列不等式 又因为数列1-（兮）}单调递增，所以 补充知识点1：由n次方差公式a”一b =(a-b)(a"-1+a"-2b+a”-3b2+…+ab"- 1-()1-（传）广<1，故号≤+ 十… 十b-1)得，当a>b>0,n∈N时，a"-b"≥ +8 (a一b)a”-1,由此放缩出一个等比数列模型 cn=(a-b)a"-1。 36 器脑数餐聚方清中学生表理化 补充知识点2：糖水不等式—设n> 1 S 1 m>0,c>0,则”<m十c 2(n+2)n≤2(m+1)n∈N)。 nn十c 策略五、利用函数的观点求解数列不等 例3已知数列{a,}的通项公式为 式恒成立问题 。,证明+…+<号 例5已知数列{an}中，a1=1,满足 an 2 am+1=2an+2n-1(n∈N")。设S,为数列 解法：由超愈如-二对于- {a,}的前n项和，若不等式入·2”十Sn+4> =3”一1"，利用补充知识点1得，3”一1≥2× 0对任意正整数n恒成立，求实数入的取值 范围。 所以+ al a?a3 解析：由an+1=2am十2n一1，得an+1十 2(n+1)+1=2(a,+2n+1)。又a1+2+1 a, =4,故数列{an十2n十1}是首项为4，公比为 解法二：由超意知名当=1时。 2的等比数列，即am十2n十1=2m+。 故{am}的通项公式为an=2+1-2n一1。 上=1。利用糖水不等式可知，当n>1时，3一 2 Sn=a1十a2十…十an=(22-3)+(2一 2+11 5)+…+[2+1-(2n+1)]=(22+23+…+ <8)十3。后边的证明思路同上。 2m+1)-(3+5十…十2n十1)=2”+2一n2 策略四、利用递推结构的特有属性证明 2n-4。 数列不等式 若入·2”+S,+4>0对于Hn∈N*恒成 1 例4已知数列{a,}满足a1=2且 立，即入>”+2n 2” 4对于Hn∈N*恒成立， am+l=an-a(n∈N“)。 所以>（巴十2-4） (1)证明：1<a,≤2； 2” an+l 令b.=n十2n-4,则61-h.=3” (2)设数列{a}的前n项和为Sn,证明： 2” 2n+1 013 1 所以b1<b2,且b2>b>b1>…,即(bn)ms= 证明：(1)由题意得a+1一an=一a≤0， 2+2×2-4=-2。 22 即a≤a。又a=号故a.< 故入的取值范围为（一2，十∞）。 策略六、利用待定系数法放缩证明数列 由an=(1一an-i)an-1,得an=(1一am-1)· 不等式 (1-am-2)·…·(1-a1)a>0。 例6已知a,=(m+D2m+D(n∈ 1 由0<a,≤2得=a, .1 1 9a+ia,-a:=1-a ∈(1,2]，即1<a≤2。 N),证明：s=a十a:+a,十…十a,<号 an+1 11 (2)由题意得a:=an一am+1,所以Sn= 证明：假设(n十1)(2n+1D<2Ln十友 af十a号十…十a=a1-an+1。 由1一1=和1<a≤2，得1< m十)T]则s<号[+6中6++ 1 1 1 antl an an+l an+I 1 1 1711 1-1≤2，累加得n<1-1≤2m 3十k 十… n十k一n十1+]=之1十飞 an+l an 4n+1a1 1 1 又a=日则写 1 1 n+1+]<2(1十k)· 则2(n十D≤a+1<n十2，故 (下转第39页) 37 高二数学零探究中学生教理化 解题篇课本习题探究 00000000g000000000000000000000000260000000060000000000000600000000000000000000000000000000000000060000 (上接第37页) 1 2 策略七、利用比较通项的方法证明数列不等式 令20十k) =，得k= ,此时 例8已知数列b.=2n(n∈N“),证 1 5 2m2+3n+8 5 明+.+1..6，+1a+7 b b。 1 2n+3n十1(2n十1)(n+1),假设成立，故 证明：不等式左边可视为数列4，-2”十'的 2n 连乘积。不等式右边可视为另一数列{c,}的连 原不等式得证。 例7已知a,=3-2(n∈N),证 1 乘积，记作Sn=c1c2·…·cn=√n十I。 当n=1时，c1=S1=√2>0；当n≥2时， 明：s=a+a,+a,+…十a,< S, 干工>0，且c1=厄满足该式。 n 证明：假设2≤：则S≤ 因此c,= m+丁>0。 n (号+子++子）=员1-子)安 要证不等式成立，就要证an>cn>0,即 令员=名，解得A=弓，此时要证明 证2n十1、 m+1 2n >0,也即证4n2+4n十1> 4n(n十1)>0，显然恒成立。则a1a2·…· 3”-2≤3。由于3-2-3-1=2·3 1 an>c1c2·…·cn,即原不等式得证。 -2·2-1≥0，则3”-2≥3-1，故1 注：本文系2025年郑州市教育科学一般课题 3”-2" “高阶思维视域下高中数学结构化教学实践研究” 成立，原不等式得证。 (项目编号：2025 ZKYBX14116)的阶段性成果。 (责任编辑赵倩) 39