放缩法证明数列不等式的若干技巧和方法-《中学生数理化》高二数学2026年1月刊

放缩法证明数列不等 ■湖北省仙桃八中刘少平名师 数列不等式的证明是近些年高考的热点 题型，许多与数列求和有关的不等式证明，其 对应的数列通常不能直接用基本公式或常规 方法求和，往往需要根据题设条件特征，对通 项进行放缩，构造一个可以求和的数列来解决 问题。常用的放缩手段是：舍去或添上一些正 数项（或负数项），或在和式、积式中将某些项 扩大（或缩小），或在分式中扩大（或缩小）分子 (或分母)，或用重要不等式进行放缩。 一、利用放缩构造等差数列求和证明不 等式 例1设S.=√个×2+√2×3+…十 Vn(m+D,求证：nn,+D<s,<n十1) 2 2 解析：此数列的通项a.=√k(k+1)(k =1,2,…,n)。对于k∈N",都有 V中D<++卫=友+子，所以S,= 2 √IX2+√2X3+…+√n(n+1)< (1+2)+(2+2)+…+a+2） n(n+2)(n+1) -。又对于Vk∈N,都有 2 2 √R(k+1)>k,所以Sn=IX2十√2X3 +…十√n(n十1)>1十2十…十n= n(n+1) 2 故原不等式成立。 评注：不等式形如g(n)<空a,<f(n),若 式子两边是某等差数列的和，我们可以考虑放 缩为等差数列模型后求和。应把握放缩的度， 上述不等式右边放缩用的是均值不等式 Vaba 2,若利用V(k+1D<k十1，则 S。<(k+1)=n(n+3)(n+1) ，就放缩过 2 2 度了。 例2(2025年武汉模考节选)已知函 数f(x)=e。 朝器数婴典盟赛窄方清中学生表理化 式的若干技巧和方法 工作室 陆轩浩刘少平 (1)证明：f(x)≥f'(m)(x-m)+f(m)。 (2)记a,=f(n),证明：之a,≥n·e 解析：(1)令g(x)=f(x)-f'(m)(x m)-f(m)=e-e"(x-m十1)，则g'(x)= e-e”。当x∈（一o∞，m)时，g'(x)<0;当 x∈(m,十∞)时，g'(x)>0。故g(x)在 (一∞，m)上单调递诚，在(m,十∞)上单调 递增，所以g(x)≥g(m)=0,即f(x)≥ f'(m)(x-m)+f(m)。 (2)由(1)知a:≥em(i一m十1)，则： 含a,≥e”0+2+3十…+n+n1-m门 =e(g+1-m) 之，则公a,≥n·e中，原 令m= =1 不等式得证。 评注：a,=e十e十十e不能直接求 和，利用题中两问之间的关系，将a;进行放缩 得到a,≥e”(i一m十1)，将不能求和的数列放缩 为可求和的等差数列，使问题巧妙获解。 二、利用放缩构造等比数列求和证明不 等式 例3(2025年湖南师大附中5月联 考)已知各项均非零的等差数列{a,}的前n 项和为Sn,且a2=4,anam+1=4Sn。 (1)求{an}的通项公式。 (2)已知正项数列6，}满足：6：=子，且 b+1是bn和bnbn+1的等差中项，求数列 {公-)·a}的前n项和工。 (3)在(2)的条件下，记正项数列{bn}的前n 项和为M,证明：号[-（合）门<M<名。 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d。 因为4Sn=aa+1,所以4Sn+1=an+1am+2。两 式相减得4(Sn+1一Sm)=am+1am+2一anam+1, 即4am+1=am+1(am+2一an）。 15 中学生表理化然题学聚酸方祛 又am+1≠0，则am+2一am=4,故2d=4, d=2。又a2=4,故an=a2十(n-2)d=2n。 (2)因为bn+1是bn和bbn+1的等差中 项，所以2b+1=bn十bbn+i。因为bn>0,所 一1=2，故数列公-1是首项为 2,公比为2的等比数列，则 1 -1=2×2-1= 2°，即b,=2”+ 令c (号-a…可知.=2×2m n×2m+1。则T,=1×22+2×23+3×21十 十(n-1)2”+n×2"+1,所以2Tn=1×23+ 2×21+3×25+…十(n-1)2m+1十n×2m+2。 两式相减得一T,=22十23十21十…十 20+1一nX2"+2= 22(1-2") 1-2 -nX2"+2=-（n 一1)×2+2一4，所以Tm=(n一1)×2"+2+4。 (3)由(2)可得b,=2十≥2+2 1 1 3×(）) 所以M≥+×名+×（）广+… +×()=号-()]。 因为.-（》”，所以当 =1时，M=<<，当w≥2时，M< 3+(分)+()+…+(2)=号+ 1片号 1- 综上，号-（合）门≤M,<号 评注：观察所证不等式，发现无法通过数 列通项2十求出数列的和，所证不等式左边 合（侣）》”，右边是实数号，考虑对的分母 16 进行放缩，转化为等比数列求和。 例4(2025年重庆八中模考)记Sm 为数列{an}的前n项和，已知a1=2,{3an一 2Sn}是公差为2的等差数列。 1)求{an}的通项公式： (2)证明：+1+…+1<1. 解析：(1)因为3a1-2S1=a1=2,{3am 一2Sn}是公差为2的等差数列，所以3am一 2S。=2+2(n-1)=2m,即S,=多a,n0 3 当n≥2时，am=S,一Sm-1= 2 an-n- 3 a-1十(n-1),则a,=3a,-1十2，即a,十1 =3(aw-1+1)。 又a1十1=3，故数列{an十1}是以3为首 项，3为公比的等比数列，an十1=3”，则an= 3"-1。 1 a,一3一。利用精水不等 (2)由(1)得1= 式进行放缩，可得上=1 1+1 am3”-13"-1+1 3。故+ ++1<2+2 2 a a2 a<3+3++3 1 2× =1- 1 1一3 31。 评注：对于分式的比较大小或不等式问题， 可以观察分式的结构特征适当放缩，本例是用 糖水不等式只<&十m6>a>0,m>0)进行放 bb十m 缩，注意从左往右是放大，从右往左是缩小。 三、利用放缩构造数列裂项相消求和证 明不等式 例5(2025年辽宁省实验中学模考) 已知正项数列{an}满足a1=1,a2=2,且对任 意n∈N”,满足aam+2一a7+1=一1。 (1)求数列{a,}的通项公式； ②)设么一子数列6.的前以痕和为 工证明r.<号 新樱数警典盟聚壁方清中学生表理化 8设-)证明：s< 1 1 -子+2)a-)n- n+2 品 裂项求和，由于所运不等式的右边为实数号，故 解析：(1)已知a1=1,a2=2,anam+2 a+1=-1,故当n=1时，a1a-a号=一1，解 对不等式左边的式子从第2项开始拆项。解(3) 1 得a:=3。由aam+2一a+1=一1，可得 问的关键是对(3h+1)(3h十2进行放缩，找一个 am+1an+3一a+2=一1。两式相减可得aan+2 十a+:=a+1a+十a+1,整理得，十a 比3+1)(3十②大且能裂项相消的式子。因为 an+1 3k(3k+3)(3k十1)(3k+2),所以 an+1十an+3 an+2 所以a,+a2=a1十a=1十3=2，即 这样就可以裂项相消求和。 an+l 2 an十am+2=2a+1,故{an}为等差数列，a,=n。 例6(2025年广州大学附中模考)已 知数列{an},a1=l,S,为数列{am}的前n项 （2)由1)得a.=,所以b.=之 1 和，且S,=3(n+2)a。 当n=1时，T:=b=1<5 3 (1)求数列{an}的通项公式； =1+ (2)已知当x>0时，不等式sinx<x恒 当n≥2时，T,= 1十 成立，证明：+sim)(1+sn).… (+sim2）<e 1+21 -5 解析：1)S.=子(n十2a,即3S.=（n 3 ，13 n十2 十2)an。当n≥2时，3Sm-1=(n+1)am-1。 综上，对任意n∈N,T。<3。 .5 两式相减得3am=(n十2)an一(n十1)a,-1,即 as-)》 n-1)a,=(n+1)a,-1,也即a=a n+1,变 形为a。 an-1 1 n(n+D-n(n-D =6(3k+1)(3k十2) =2+含8跳+13k+8 1 1 可知数列{为常数数列，所以 an an-1 1 因为3k(3k+3)<(3k+1)(3k+2),所 n(n+1)n(n-1)=1×2=2 1 以5，<12十含3+3=2 1 1 则a,=2n(n十1)(n≥2)。 含（传南）名+-)合 经检验a1=1也满足上式，从而a,= 1 n(n+1),n∈N。 (2)当x>0时，sinx<x。 评注：数列通项，一，显然前n项和不好 anan 宋，可对通项时文彩教城，脚衣初 因为a,=2n(n十1)>0，所以】 1 17 中学生教理化然学破方法 n(n+1) >0。又1∈(0,1]，故sin1>0。 a a. 将(1+sin)(1+sm) (1十s如)<心两边同时取自然对数，则原问题 等价于证明11+m)+n(1+sn)+… In(si)in(1sin 考虑到切线放缩不等式ln(x十l)<x(x >0,故1n1+sin）<sin< 2 于是1n(1+im)+in1+sin)十 (s)+in( =201-n)<2。 故(1+sin)1+sim)·… 1+sin2)c,得证. 评注：要灵活运用题目中出现的信息，本 例给出sinx<x(x>0),意在提示将含三角 函数的形式放缩为不含三角函数的常规数列 求和形式。题中原来要证明的不等式左边是 乘积形式，右边是，不好直接证明，通过式 子两边取自然对数，转化为和的形式，便于利 用ln(x十1)<x(x>0)进行放缩，从而裂项 相消求和。 四、利用放缩构造数列错位相减求和证 明不等式 例7(2021年天津高考题)已知{an}是公 差为2的等差数列，其前8项和为64；{bn}是公比 大于0的等比数列，b1=4,b?一b2=48。 (1)求{an}和{bn}的通项公式。 1 (2)i记c.=b.+6n∈N。 (i)证明：{c一c2n}是等比数列； (i)证明：之 a:a:+1 √e-c <22(n∈N")。 18 解析：(1){an}是公差为2的等差数列， 其前8项和为64，则S。=8a1+8X7×2 2 64,解得a1=1。故an=a1十2(n-1)=2n-1。 设等比数列{bn}的公比为q(q>0),所 以b3-b2=b1q2一b19=4(q2一q)=48,解得 q=4或-3（舍去），故bn=b1g”-1=4",n∈N“。 (2)0由题意知，-6+=4十 所以c-c=(+是）广-(+）=2x 4”,且c-cn≠0，故+一c2+2=2×4 ca-cin 2×4" 4,{c号一c2n}是等比数列。 4n2 2n (ii) anan+l √e-cn W2×22m √2×2" √22，则 <1 X k 点1√c一c张√2人台2可 设工=品-古+ 三121= 「2+…+ 3 2,则 ,+++ 2。 T=1+1+1 1 两式相减得 2+ 2+ 1 1 n 2- 2” 2”n=2一2，，所以工 12 1一2 =4 n+2 21。 故 a:a:+ 1 2 121= )<22。 评注：最后一问考查数列不等式的证明， 显然 @a出无法直接求解，应先放缩去 k=1Vc6一C25 掉根号，再由错位相减法即可得证。 放缩法灵活多变，技巧性强，难度大。只 要同学们在学习过程中明确放缩的目标和方 向，仔细分析数列通项的结构特征，联想常见 放缩模型，尝试放缩，调整精度，不断反思总 结，逐步积累经验，就能破解思维障碍，揭开 其神秘面纱，感受放缩法的无限魅力。 (责任编辑徐利杰)