高一上学期知识归纳与题型赏析-《中学生数理化》高一数学2026年1月刊

中学生表理化餐典李装方年1月 高一上学期知识归纳与题型赏析 ■赵昆 张文伟 题型1：集合的基本概念与集合间的基 的真假；利用集合间的包含关系，设命题p对 本关系 应的集合为A,命题q对应的集合为B,若 研究集合问题，先看集合中的代表元素， A三B,则p是q的充分条件或q是力的必要 再看元素的限制条件。对于含有字母的集 条件，若A≠B,则p是q的充分不必要条件 合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否 或q是p的必要不充分条件，若A=B,则p 满足互异性。已知两集合间的关系求参数， 是q的充要条件。 关键是将两集合间的关系转化为元素间的关 例2设集合A={x「-1<x<3},集合 系，进而转化为参数满足的关系。解决集合 B={x|2-a<x<2+a}。 问题，要合理利用数轴、Venn图，要注意“空 (1)若a=2,求AUB和A∩B。 集”这一“陷阱”，当集合中含有字母参数时， (2)设p:x∈A,g:x∈B,若p是q成立 要注意分类讨论。 的必要不充分条件，求实数a的取值范围固。 例1已知集合A={0,1,2},则集合 解：(1)已知A={x|一1<x<3}。由 B=《x一yx∈A,y∈A}中元素的个数 a=2,可得B={x|0<x<4},所以AUB= 是()。 {x|-1<x<4},A∩B={x10<x<3}。 A.1B.3C.5D.9 (2)因为力是0成立的必要不充分条件， 解：当x=0时，y=0,1,2,此时x-y的 所以B至A。 值分别为0，-1，-2；当x=1时，y=0,1,2, 当B=☑时，由2-a≥2十a,可得a≤0； 此时x一y的值分别为1,0，一1；当x=2时， f2-a<2+a, y=0,1,2,此时x一y的值分别为2,1,0。综 当B≠必时，由}2一a≥一1，（等号不能同时 上可知，x一y的可能取值为-2，一1,0,1,2， 2+a3 共5个。应选C。 取到)，解得0<a≤1。综上可得，实数a的 跟踪训练1：（多选题）已知集合A={0, 取值范围是a≤1，即实数a∈（一∞，1]。 m,m2-3m十2}，且{2}二A,则实数m的取 跟踪训练2：已知p:4一x≤6，q:x≥a 值不可以为()。 1,若p是g的充要条件，则a的值为。 A.2B.3C.0D.-2 提示：由题意得p:x≥一2，q:x≥a一1。 提示：由{2}三A可知，若m=2,则m2- 因为力是g的充要条件，所以a一1=一2，则 3m十2=0，这与m2一3m十2≠0相矛盾。若 a=-1。 m2一3m+2=2,则m2一3m=0,即m=0或 题型3：全称量词命题与存在量词命题 m=3。因为m≠0，所以m=3,此时A={0, 对全称量词命题和存在量词命题进行否 3,2}符合题意，故m的值可以为3。应选 定，一要改变量词，二要否定结论。根据全称 ACD 量词命题和存在量词命题的真假求参数的取 题型2：充分条件与必要条件 值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集 充分、必要、充要条件的两种判断方法： 合问题求解。 利用定义，直接判断“若p,则q”“若q,则p” 例3命题：“Hx∈R,x2≠x”的否定 42 南一数赛青中学生教理化 是( ）。 “二定”“三相等”；拼凑，根据式子的特征灵活 A.HxR,x2≠x 变形，配凑出积、和为常数的形式；方法，一是 B.Hx∈R,x2=x 消元法，二是将条件灵活变形，利用常数“1” C.3x任R,x2卡x 的代换，三是配凑法。 D.x∈R,x2=x 例5(1)若0<x<2,则3x(2一x)的最 解：先将“”改为“了”，再否定结论，则 大值是( )。 此命题的否定为3x∈R,x2=x。应选D。 A.3 B 跟踪训练3：若命题“3x<2024,x>a” c号 D 是假命题，则实数a的取值范围是一。 1 《2)已知a,6,c均为正实数，若。十十2 提示：命题“3x<2024,x>a”是假命 题，其否定“Hx<2024,x≤a”是真命题，所 c十=1，则a十b十c的最小值为一。 1 以a≥2024，即a∈[2024，+∞)。 解：(1)因为0<x<2,所以2-x>0,所 题型4：不等式及其性质问题 应用不等式的基本性质可以证明不等 以3x2-)≤3(+名)=3，当且仅当 式，但一定要注意不等式的应用条件；作差法 x=2一x,即x=1时等号成立，所以3x(2一 是比较两个实数大小的基本方法，当判断不 x)的最大值为3。应选A。 等式是否成立时，可选择特殊值法。 (2)因为a+b十c=a+(b+2)+(c+1) 例4(1)若A=a2十3ab,B=4ab-b2, 3=[a+(b+2)+(c+1)]· 则A,B的大小关系是()。 A.A<B B.A≥B (+十+）-3=(+2+2+ a C.A<B或A>B D.A>B 片+++》 -3≥3+2+2+ (2)若a>b,x>y,则下列不等式正确的 2-3=6,当且仅当a=b十2=c十1=3，即 是()。 a=3,b=1,c=2时等号成立，所以a十b+c A.a+x<b+y 的最小值为6。 B.ax>by 9 C.|a|x≥laly 跟踪训练5：已知函数y=x一4十 x+1 D.(a-b)x<(a-b)y (x>一1)，当x=a时，y取得最小值b,则 解：(1)因为A-B=a2+3ab-(4ab a= ,b=一。 b)=(a合》+子6≥0，所以A≥B.应选 提示：y=x一4+片=(x+D+ 9 x+1 B。 一5。因为x>一1，所以x十1>0，所以y≥ (2)当a≠0时，|a|>0,由x>y,结合不 9 等式两边同乘以一个大于零的数不等号方向 2√x+1)·x+-5=2×3-5=1,当且仅 不变，可得|ax>|a|y。当a=0时，lax 9 =|a|y。故ax≥a|y,C正确。应选C。 当x+1= 十，即x=2时等号成立，所以 跟踪训练4：若1≤a≤5，一1≤b≤2，则 a=2,b=1。 a一b的取值范围为。 题型6：一元二次不等式问题 提示：因为一1≤b≤2，所以一2≤一b≤ 解一元二次不等式（或分式不等式），先 1。又1≤a≤5，所以-1≤a-b≤6，即a- 转化为标准形式（二次项系数为正），然后分 b∈[-1,6]. 解因式，变成因式相乘的形式，从而得到不等 题型5：利用基本不等式求最值 式的解集；一元二次不等式解集的端点值就 基本不等式的三个关注点：前提，“一正” 是对应二次函数的零点，也是对应一元二次 43 中学生数理化高数学2026年1月 经典题突破方法 方程的实数根。 问题。 例6若不等式ax2+5x-2>0的解集 例7已知函数y=x2十ax十3。 是女合<x<2 (1)当x∈R时，y≥a恒成立，求a的取 值范围。 (1)求a的值。 (2)当4≤a≤6时，y≥0恒成立，求x的 (2)求不等式 1-ax x十1>a+5的解集。 取值范围。 解：(1)依题意得方程a.x2十5.x-2=0 解：(1)由题意知当x∈R时，x2+ax+ 3-a≥0恒成立，则△=a2一4(3-a)≤0，即 的两个实数根为2和2，且a<0。由根与系 a2十4a-12≤0，解得-6≤a≤2，故a的取 2 值范围为{a|一6≤a≤2}。 2 ×2= a 数的关系得 解得a=一2。 (2)将y=xa十x2十3看作关于a的一 +2= 次函数，当4≤a≤6时，y≥0恒成立，只需在 a 区间端点a=4和a=6处y≥0即可，所以 (2)将a=一2代人不等式得1+2x x+>3, 1x2十4x+3≥0， 解得x≤一3一√6或x≥一3 即1+2z x+1 一3>0，整理得二(x十2 >0,即 x2+6x+3≥0， x+1 十√6，即x的取值范围是{xx≤一3一√6或 (x十1)(x十2)<0，解得-2<x<一1，所以 x≥-3十√6}。 不等式的解集为{x|一2<x<一1}。 跟踪训练6：解关于x的不等式ax2 跟踪训练7：已知x>0,y>0,且2 (a+1)x+1<0。 提示：当a=0时，原不等式化为一x十 1=2,若x十2y>m2-3m-1恒成立，则实 1<0,解得x>1;当a<0时，原不等式化为 数m的取值范围是()。 (x-)(x-1D>0,解得x<2或x>1:当 A.{m|m≤-1或m≥4} B.{mm≤-4或m≥1} >0时，原不等式化为(c-)x-1)<0, C.{m|-1<m<4} D.{m|-4<m<1} 若-1，则a=1,可得不等式无解，即解集 提示：由，异十寸-2，可得2+x十1 为②，若<1，则a>1,解得<x<1,若 2(x+1)y,化简得x+1=2xy,所以2y=1十 >1,则0<a<1,解得1<<日，综上可 是，所以x+2=x++1≥2· -+1= x 知，当a<0时，不等式的解集为 3,当且仅当x=1,y=1时等号成立，所以 :<日或>1当a=0时，不等式的解 (x十2y)mm=3,所以x十2y>m-3m-1恒 成立可转化为3>m-3m-1,即m-3m 集为{x|x>1};当0<a<1时，不等式的解 4<0,解得一1<m<4,即实数m的取值范围 集为{1<<：当a=1时，不等式的解 是{m-1<m<4}。应选C。 集为必；当a>1时，不等式的解集为 题型8：函数的定义域问题 已知函数的解析式，则函数的定义域是 使解析式有意义的自变量的取值集合。复合 题型7：不等式恒成立问题 函数的定义域：若f(x)的定义域为[a,b],则 不等式恒成立问题的三种处理方法：分 f(g(x)的定义域应由a≤g(x)≤b解出； 离参数法；数形结合法；转化为求函数的最值 若f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定 44 南一数赛青中学生教理化 义域为g(x)在[a,b]上的值域。注意： (2)当x∈(1，十o∞)时，判断f(x)的单 ①f(x)中的x与f[g(x)]中的g(x)的地位 调性并证明。 相同；②定义域所指的永远是x的取值范围。 (3)在(2)的条件下，若实数m满足 2x2 例8(1)函数f(x)= f(3m)>(5一2m),求m的取值范围。 :+(2x √/1-x 解：(1)函数f(x)是奇函数。证明如下： 1)°的定义域为( )。 易知函数f(x)的定义域为（一∞，0）U(0, A.(-∞，2）B(21) 十∞)。因为f(-x)= (-x)2十1 =-x2+1 一x x c()D.(-)u(g) =一f(x),所以f(x)是奇函数。 (2)函数f(x)在(1，十∞)上单调递增。 (2)已知函数y=f(x一1)的定义域是 证明如下：任取x1,x2∈(1，十∞)，且x1 [-1,2],则函数y=f(1一3x)的定义域 为( )。 x。易得f(x1)-f(x:)=+1+1 A[3 B[gj (x1-x2)(x1x2-1) 。因为x1>x2>1,所以 C.[0,1] [] x1一x2>0,x1x2-1>0,x1x2>0,所以 f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以 解：(1)由题意得 1一x>0,解得x<1 函数f(x)在(1，十∞)上单调递增。 2x-1≠0， (3)由(2)知函数f(x)在(1，+∞)上单 且x≠合：所以函数了()的定义域是 调递增。因为f(3m)>f(5-2m),所以 3m>5-2m>1,解得1≤m<2,所以m的取 (-∞，2)U(分，1)应选D. 值范围为(1,2)。 (2)由y=f(x一1)的定义域是[一1,2] 跟踪训练9：设∫(x)是定义域为R的奇 得x-1∈[-2,1]，即f(x)的定义域是 函数，且f1+x)=f(-x)。若f(-号) [-2,1]。令-2≤1-3x≤1，解得0≤x≤1， 即y=f(1一3x)的定义域为[0,1]。应选C。 3则f(停)等于( 跟踪训练8：若函数∫(x)的定义域为 [-2,4],则函数g(x)=f(-x)十x-I的 A-号B-号 c.3D. 定义域为一。 提示：由f(1+x)=f(一x),且f(x)是 一2一x4, 定义在R上的奇函数，可得f(1十x)= 提示：由题意知 所以 x-1≥0， f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1十 -4≤x≤2·可得1≤x≤2，所以函数g(x） x)=f(x),所以f(x)=f(x一2)。故 x≥1， 的定义域为[1,2]。 f()-f(停-2-f()-3.应选c 题型9：函数的性质问题 题型10：指数函数、对数函数的图像及 函数的性质主要有定义域、值域、单调性 应用 和奇偶性。利用函数的单调性和奇偶性求 指数函数、对数函数的图像及应用有两 值、比较大小、解不等式是高考的常考点，解 个方面：一是已知函数解析式求作函数图像， 不等式时要注意数形结合法的应用，注意不 即“知式求图”；二是判断方程根的个数，通常 要忽视函数定义域的影响。 不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对 例9已知函数f(x)=x十1 数函数图像的交点个数问题。掌握指数函 数、对数函数图像的作法及简单的图像平移 (1)判断f(x)的奇偶性并证明。 与翻折变换，可以提升直观想象和逻辑推理 45 中学生数理化 经典题突破方法 高-数学2026年1月 的素养。 函数f(x)=logx在区间[a,3a]上的最大 例10 已知a>0,且a≠1，则函数 值与最小值之差为1。①求a的值。②若 f(x)=a" 和g(x)=1og.(-)的图像只可 1≤x≤3，求函数y=(1og。x)2一log。E十2 的值域 能是( 解：(1)因为a=1og2π>1og22=1,b= 1684C1641=0c=x-是，即0<c<1. 所以a>c>b。应选C。 (2)①因为log.3>log.2,所以a>1,所 解：易得函数g(x)的定义域是（一∞， 以f(x)=logx在[a,3a]上单调递增。又 0),排除A,B。若0<a<1,则f(x)=a是 f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为 减函数，此时g(x)=1og.(一）是减函数， 1,所以log(3a)-log.a=1,即log.3=1,所 C,D都不满足。若a>1,则f(x)=a是增 以a=3。 函数，此时g(x)=1og.(-)是增函数，C ②易得函数y=(logx)2一log√+2 =(1ogx)2- 满足。应选C。 跟踪训练10：在同一平面直角坐标系 。令t=1og,因为1≤x≤3，所以0≤ 31 中，函数y=a,y=log(x十a)(a>0,且 a≠1)的图像可能是( 1ogx≤1，即0≤t≤1。原函数等价于g(t) -(-)广+器∈[0,1，所以g)e [酷]·则所求函数的值城为酷] 跟踪训练11：若0<x<y<1, 提示：函数y=a与y=1og。(x十a)的 则( ）。 图像均过定点(0,1)，C,D不满足。易知函数 A.3'<3 B.log.3<log,3 y=a-=( 日)厂与y=log:(x十a)的单调性 C.logx<logiy D.(》<() 不同，B不满足，A满足。应选A。 提示：对于A,函数y=3在R上单调递 题型11：指数函数、对数函数性质的应用 增，则3<3，A错误。对于B,由底数a对 指数函数、对数函数性质的应用问题，主 对数函数y=log。x的图像影响可知，当0< 要掌握函数的单调性、奇偶性，以及利用函数 a<1时，在x∈(1，十∞)上“底小图高”，因 的性质比较大小、方程与不等式的求解等问 为0<x<y<1,所以log3>log,3,B错误。 题。在解含对数式的方程或不等式时，不能 对于C,函数y=log1x在(0，十∞)上单调递 忘记对数的真数大于0，以免出现增根或扩 增，则log1x<1og1y,C正确。对于D,函数y 大范围。熟练掌握指数函数、对数函数的图 像与性质，可以重点提升数学运算和逻辑推 =()广在R上为减函数，则(？)广>（任）广， 理的素养。 D错误。应选C。 例11(1)设a=1og2元，b=log1元，c= 题型12：函数的零点问题 π2，则( ）。 函数的零点与方程的根的关系：方程 A.a-bc B.b>a>c f(x)=0有实数根一函数y=f(x)的图像 C.a>c>b D.c>b>a 与x轴有交点台→函数y=f(x)有零点。确 (2)已知a>0,a≠1且log.3>log.2,若 定函数零点的个数有两种基本方法：利用图 46 南一数赛青中学生教理化 像研究与x轴的交点个数；转化成两个函数 题型13：三角函数的图像与性质 图像的交点个数。 三角函数的性质主要包括定义域、值域、 例12(1)设函数f(x)=1og2x十2 单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时将 3,则函数f(x)的零点所在的区间为( )。 ωx十中看成一个整体，利用整体代换思想解 A.(0,1) B.(1,2) 题是常用的技巧。要熟练掌握y=Asin(wx C.(2,3) D.(3,4) 十)图像的“五点作图法”，以及图像的伸缩 (2)已知函数f(x)= 变换、平移变换等。掌握三角函数的图像和 e十a,x≤0， 性质，可以重点提升直观想象和数学运算的 (a∈R),若函数f(x)在R上 3x-1,x>0 素养。 有两个零点，则a的取值范围是()。 例13(1)已知函数f(x)=sin(x十 A.(-0∞，-1) B.(—o∞，1) C.(-1,0) D.[-1,0) ）,其中x∈[一]，若f(x)的值域是 解：(1)因为函数f(x)=1og2x十2一3 在定义域(0，十∞)上单调递增，所以f(x)的 【名]：则实致的取值范是 零点至多有一个。由f(1)=1og21十2-3= 一1<0，f(2)=1og2十22-3=2>0，结合函 (2)函数y=sin(x-)的图像的对称 数零点存在定理知在区间(1,2)内函数存在 轴为 ,对称中心为 零点。应选B。 解：(1)由x∈ 1 [-a]可得x+若∈ （2)由3.x-1=0,可得x=3>0。若函 数∫(x)在R上有两个零点，则可转化为e十 [a+] 由函数∫(x)的值域为 a=0在x≤0上有一个实数根，即函数y= [一]，结合正弦函数的图像知受 一a与y=e在x≤0上的图像有一个交点。 当x0时，e"∈(0,1]，所以0<-a1,即 6,所以 ≤a≤元，即实数a∈ 3,π。 一1≤a<0。应选D。 跟踪训练12：方程子-()广 的根x。所 (2)由x一子-受十灰，k∈么，可得x 3π 在的区间为( )。 4 十kπ，k∈Z。由x一 4 =kπ，k∈Z,可得 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) x=元十k元，k∈Z。故函数y=sin（x 4 提示：将方程变形，构造函数f(x)= 牙)的图像的对称轴为x-3+大元，k∈Z,对 4 子-（仔）》厂。因为函数y=子和y=(位》 称中心为牙+6x,0）k∈五。 均为增函数，所以函数f()--(侵》为 跟踪训练13：已知函数f(x)=2sin2x+ 增函数。由f(0)=0-1=-1<0,f(1)=4 -=-<0，f(2)=2--子>0，结合 1 若)十a十1其中a为常数)。 (1)求f(x)的单调区间。 函数零点存在定理得f(x)-千一（兮）广的 (2)当xe[0,]时，f(x)的最大值为 零点在区间1,2)内，即方程子=（分）厂的根 4,求a的值。 x。所在的区间为(1,2)。应选B。 提示：(1)由一 +2k≤2x+≤+ 62 47 中学生表理化餐李方蕊年1月 2k元，k∈乙，解得-一于十k元≤x≤吾十k元，k∈ (2)因为-平≤x<誓，所以-<2x 2,所以函数∫(x)的单调递增区间为 吾≤吾，所以-1≤sin(2x一晋）≤，所以 [吾+，吾+](k∈》.由受+2x≤ 2≤f(x)≤子，所以函数f(x)在区间 2x十吾<经+2k元k∈Z,解得答+k≤x≤ [一牙，]上的最大值为子最小值为一 3π+k,k∈Z,所以函数f(x)的单调递减区 跟踪训练14：已知函数f(x)=co(冬 间 [后+，+]∈. x小cos(x+) (2)因为0≤x≤受，所以8≤2x 6 1)求f()的值. 2石所以-≤n(2x+吾）≤1，所以fx) (2)将f(x)图像上的所有点向左平移m 的最大值为2十a十1=4，所以a=1。 (m>0)个单位长度，得到g(x)的图像，若 题型14：三角恒等变换与三角函数的综 合问题 g(x)的图像关于点（侣0）对称，求当m取 三角恒等变换与三角函数的综合问题， 最小值时，函数g(x)的单调递增区间。 常以三角恒等变换为主要的化简手段，考查 提示：1)f()=cas(3-若)os(告十 三角函数的性质。当给出的三角函数关系式 较为复杂时，要先通过三角恒等变换，将三角 函数的表达式变形化简为y=Asin(w.x十9) 十k或y=Acos(wx十P)十k的形式，再根据 (2)f (z)=sin(+)cos(+)= 化简后的三角函数，讨论其图像与性质。通 过三角恒等变换，进而研究三角函数的性质， 2sim(2x+）.将f)的图像向左平移n 可以培养逻辑推理和数学运算的素养。 (m>0)个单位长度，得到g()=sin2x+ 例14已知函数f(x)=cos xsin(x十 晋+2m)小，因为函数g(x)的图像关于点 ）-5osx+ ,x∈R。 4 (0)对称，所以sin(2×否+吾+2m）-0, (1)求f(x)的最小正周期。 (2)求f(x)在区间[至，]上的最大 所以行+2m=k,k∈，所以m-经-吾 23 k∈Z。因为m>0,所以当k=1时，m有最 值和最小值。 小值若，此时g(x)=合sin(2x+）。由 解：(1)f(x)=cosx 2 sin 1 √ +2k<2x十≤受十2次，k∈7，可得 2 cos't+ =m2x-(1+e0s2x)+ x∈[径十，一音十]k∈，所以当m 4 取最小值时，函数g(x)的单调递增区间是 4sin 2x- cos2x=名in(2x-5）,所以 [一受+kx,一是十k对]k∈z. 函数fx)的最小正周期了-受-x 作者单位：河南省开封高级中学 (责任编辑郭正华) 48