巧用换元法解题&巧用特殊值法解题-《中学生数理化》高一数学2026年1月刊

中学生表理化智职皱掉与拓景年1月 巧用换元法解题 ■罗文军 一、利用三角换元法求二元条件的最值 例1（多选题）若实数x,y满足x2十 得y=sin9+5cos0=2sin(0+）,0+写 y2 1 2xy=1,则( )。 ∈[当9+-晋时，可得…=1， A+y29 B.x十y≥ 6 当9+吾-时，可得y=2,所以爵数y 3 cr+y≥ √x一4十√15一3x的值域为[1,2]。 n+y≤9 点评：解答本题的关键是三角换元法的 解：由题设得（一子广+（年） 灵活应用。 三、利用局部换元法求二元条件的最值 1,令x- 4)=c0s0, 例3已知实数x,y满足2x2一3y2 4y=sin,则y= xy=1,则2x2十3y2的最小值为。 4 1 解：因为2x2-3y2一xy=1,所以(2x -sin 0,= =sin0+cos0,所以x十y= √15 V1 3y)(x+y)=1。令m=2x-3y,n=x+y, w15 in0十cos0。由辅助角公式得x十y= 则x=m十3 5 2,y=2m二m,且mm=1,所以 3 5 26 in(0十9。)，其中0。由tan0。= √百确 2x+3y=2(吉)+3(m。"） 3 5 定，所以-25≤十y≤2 m2+6n226 ,当且仅当m=6,m= 3 g,A正确，B错 5 6 时等号成立，所以2x2十3y的最小值为 误。易得十y=品n0+ sin 0cos 0 √15 2√6 59 1 +1= sin 20- 5cos20+16 4 15 5-15sin(20 点评：利用局部换元法，将已知条件转化 为积为定值，再结合基本不等式求出最小值。 9)+16 ,其中0，由an9。= √15 15确定，所 四、利用局部换元法求三角函数的最值 例4函数f(x)=sinx十cosx一sinx· 以号≤十y≤号C正确，D错误。应选 cosx,x∈[0，π]的值域为。 AC。 解：设t=sinx十cosx,则sin xcos x= 点评：利用三角换元法可判断A和B,结 1,且一1≤t≤厄。原函数等价于函数y 2 合二倍角的正弦和余弦公式可判断C和D。 二、利用三角换元法求无理函数的最值 2++= 1 2t-1)+1,-1≤t≤ 例2函数y=√x一4十√I5-3x的值 2,所以当t=1时，ymx=1,当t=一1时， 域为一。 y=-1。故函数f(x)的值域为[一1,1]。 解：由题意得y=√x一4十√3√5一z, 点评：运用局部换元法，将所求问题转化 令√x-4=sin0,W5-x=cos0,则y=sin0 为二次函数在闭区间上的值域问题求解。 作者单位：甘肃省秦安县第二中学 +√3cos0,其中0∈ 由辅助角公式 (责任编辑王琼霞) 18 高一数型识施物卓骨中学生表理化 特殊值法，也叫特值法，它是通过设题中 某个未知量为特殊值，利用简单的运算，得出 最终答案的一种方法。下面举例分析特殊值 法在解题中的应用。 巧用特殊值法解题 一、求函数的值 例1已知函数f(x)与g(x)分别是定 ■吴衡 义域上的奇函数与偶函数，且f(x)十g(x) 「x+-2,则f(2)=( =x21 A- C.-3 D号 三、求函数的最值 解析：令x=2,可得f(2)十g(2)=4一 例3定义在(0，十∞)上的函数f(x), 日-2-号 对于任意的x,y∈(0，十∞)，总有f(x)十 再令x=一2，可得f(一2)十g(一2)= f(y)=f(xy),当x>1时，f(x)<0且 f(e)=-1. 4二2十2=3。因为函数f(x)与g( (1)判断函数f(x)在(0，+∞)上的单调 分别是定义域上的奇函数与偶函数，所以 性，并证明。 f(2)=-f(-2),g(2)=g(-2),所以 (2)求函数f(x)在 [e 上的最大值 -f(2)+g(2)=3。 与最小值。 上述两式相减得2f(2)二号二3一-4 3 解析：(1)f(x)在(0，十∞)上单调递减。 所以f2)= 3。应选A。 证明如下：设x1>x2>0,令xy=x1, 评注：奇函数和偶函数的定义域关于原 x=x,则y=>1,即y>1,所以f(y)< 点对称。 二、求参数的值 0,所以f(侵)<0。由已知条件得f(x:)+ x2+1 例2已知函数f(x)=(3x十2-a为 f(但）=f(x),即f(x)-f(x) 偶函数，则a=( ）。 A.言 号 f()<0,所以f(x)<f(x),所以函数 f(x)在(0，十∞)上单调递减。 c号 n吉 (2)已知f(e)=-1,令x=y=e,可得 f(e)=f(e)十f(e)=-2。令x=y=1,可 解析：因为f(x)为偶函数，所以（一1） 得f(1)+f(1)=f(1),即f(1)=0。令x= (-1)2+1 =f(1),所以3×(-1)+2](-1-a) e,y=。,可得f1)-f(e)+f() 1 =0,即 1+1 2 3十2)1a)解得a三号。检验知a三3 r(）=1。 符合题意。应选B。 评注：若定义在I上的函数∫(x)是偶函 由(1)知函数f(x)在[二c]上单调递 数，且一a,a∈I,则f(a)=f(一a);若函数 f(x)为奇函数，则f(a)=一f(一a)。 减，所以f(x)=f(日）=1，f(x)m 19 中学生数理化需识皱华与0年1月 知识结构与拓展 f(e)=-2。 评注：函数f(x)在[a,b]上单调递减，则 2x<分 函数f(x)= 则下列各值 f(x)max=f(a),f(x)mim=f(b);函数f(x) 1 2(1-x),x≥2' 在[a,b]上单调递增，则f(x)m=f(b), 是f(x)周期为1的周期点的是( )。 f(x)mim=f(a)。 四、比较大小 A.0 c号 D.1 例4(1)已知a<b<0,则下列不等式 解析：对于A,当x。=0时，x1=f(0)= 恒成立的是( )。 4.1<1 0=x0,符合题意，A正确。对于B,当x。=3 ab B1、1 C.a<b D.<1 时x=f(兮）-子x=f(号）=号x=… (2)已知a>b>c>1,且ac<b2, =工。=号，所以不是了(x)的周期点，B错 则()。 误。对于C,当x。= A.log.b>logic>log.a 号时，结合选项B得 B.log.b>loga>log.c 2 x1=x:=…=x,=3=xo,符合题意，C正 C.log,c>log,b>log.a 确。对于D,当x。=1时，x1=f(1)=0≠x0, D.log.a>log.b>log.c 结合选项A知1不是f(x)周期为1的周期 解析：(1)已知a<b<0,不妨令a=一3， 点，D错误。应选AC。 =-么，则->即行A不成立， 评注：仔细品味新定义的概念、法则，对 B成立。由（一3）2>（一2）2，C不成立。由 新定义所提取的信息进行加工，探求解决的 号=二号>1，D不成立。应选B 方法。对新定义问题，应采取以下策略：首 先，注重审题，提升对题目的理解能力；其次， (2)已知a>b>c>1,且ac<b,不妨令 重视知识的拓展；再次，强化知识间的联系。 a=4,b=3,c=2,则1og13<1,1og2<1, log24=2>1,A,C不成立。令a=6,b=4, 感悟写 c=2,则2>1og16>1,1og24=2,1og62<1,即 函数y= 1十sin工在区间[一元，x]上的图 logb>log6a>log.c,B成立，D不成立。应 2+2x 选B。 像可能是( )。 评注：对数式1og.b(a>0,且a≠1，b> 0),当a>b时，logb<1；当a<b时，logb> 1；当a=b时，logb=1。 五、求周期点 B 例5（多选题）华人数学家李天岩和美 国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由 此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会 D 学等领域都有重要作用。在混沌理论中，函 数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 提示：当x=0时，y=2,排除C。当 f(x)是定义在R上的函数，对于x∈R,令 x= xn=f(xm-1)(n=1,2,3,…),若存在正整数 2时，y=0,排除B,D。应选A。 k,使得x=xo,且当0<j<k时，x,≠xo,则 作者单位：江苏省启东市吕四中学 称x。是f(x)的一个周期为k的周期点。若 (责任编辑王琼霞) 20