循规探律找方法，有的放矢提效率——概率与统计解答题的考向分析-《中学生数理化》高考数学2026年1月刊

中学生款理化贺程数学科受高幸新指向 循规探律找方法， 概率与统计 ■四川省绵阳实验 概率的研究对象是随机现象，为人们从 不确定性的角度认识客观世界提供重要的思 维模式和解决问题的方法；统计的研究对象 是数据。在高考中，概率与统计始终是重点 考查内容，其命题趋势呈现两大特征：一是保 持对概率统计核心知识的深度考查；二是与 数列、函数及导数等代数主干内容的交叉融 合不断深化，综合考查同学们的知识迁移与 解决复杂问题的能力。从考查方式来看，数 学运算素养贯穿概率统计板块始终，逻辑椎 理素养主要体现在对事件关系的判断和概率 模型的选择上，数据分析素养则聚集于统计 图表解读和数据特征分析。下面对概率与统 计解答题的考向进行分析，希望能给同学们 的复习备考提供一些帮助。 考向一、基于统计案例的离散型随机变 量的多模型辨析 例1(2025年四川成都诊断试题)随 着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和 高质量发展等区域重大战略实施取得新成 效，城乡融合和区域协调发展继续推进，2024 年年末全国常住人口城镇化率增长至 67.00%。图1为2020~2024年年末常住人 口城镇化率的折线图。 (1)由折线图 2020一2024年年末常住人口城慎化率 看出，可用线性回 64.7065.20 67.00 归模型拟合常住人 6.20 62 63.90 口城镇化率y与 60 2 3 4 年份代码x 年份代码x的关注：年份代码1~5分别对应年份2020~2024 系，请建立y关于 图1 x的回归方程； (2)从这5年中任取2年，记常住人口城 镇化率超过65.00%的年数为X,求X的分 布列与数学期望。 附：回归方程y=x十a中斜率和截 12 有的放矢提效率 答题的考向分析 高级中学黄芹 距的最小二乘法公式分别为b= -,a=y-bx。 解析：(1)设年份代码的平均数为x,则 x=1+2+3+4+5=3. 设常住人口城镇化率的平均数为y,则 y=63.9+64.7+65.2+6.2+67.0=65.4 5 因为∑(x,-x)2=(-2)2+(-1)+ =1 02+12+22=10,2(x;-x)(y,-y) (-2)×(-1.5)+(-1)×(-0.7)+0× (一0.2)+1×0.8+2×1.6=7.7，所以b= ∑(x,-x)(y,-y) 7.7 10 =0.77,a=y 2x,-) 6x=65.4-0.77×3=63.09。 所以y关于x的回归方程为y=0.77x +63.09。 (2)由图1可知，第3、4、5年常住人口城 镇化率超过65.00%。 由题意可知，X的所有可能取值为0,1， 2,且P(X=0)= C'C 1 C =10:P(X=1)= CC Px=2=e-高 3 CC 3 所以X的分布列为表1： 表1 X 0 1 2 3 3 10 5 10 1 3 数学期望E(X)=0×10十1×亏+2× 3.6 10=5 点睛：第(1)问，利用样本中心点(x,y) 求线性回归方程，若是非线性回归模型，则需 要换元转化为线性回归模型；第(2)问，从这 5年中任取2年，是不放回抽取，满足条件的 年数X服从超几何分布。 考向二、综合运用概率核心知识解决复 杂概率问题 例2(2025年四川三模)图是计算机 科学中的一种极为重要的模型。图的连通性 常应用于计算机网络、智能导航及AI算法优 化等领域中。一个图G由顶点集V与边集 E组成，记为G=(V,E)。顶点集V是这个 图所有顶点的集合，图中任意3个顶点不在 同一直线上。图的边是指两个不同的顶点直 接相连成的线段，边集E就是这个图所有边 的集合。如图2为一个由4个 顶点组成的图G',其顶点集 B V'={A,B,C,D},边集E'= c' {AB,BC,BD}。若图G中依 图2 次存在一组边：A。A1,A1A2, …,Am-1Am,则称顶点A。,Am相互可达。若 图G中任意两个顶点相互可达，则称图G是 连通的。如图G'就是连通的。一个含有n 个顶点的图G,,任意两个顶点间有边的概率 为？。设图G。是连通的概率为R(),定义 R(1)=1。 (1)当n=3时，在顶点A与顶点B相互 可达的条件下，求A与B之间有边的概率； (2)当n=4时，求恰有3个顶点相互可 达的概率。 解析：(1)设事件X=“顶点A与顶点B 相互可达”，事件Y=“A与B之间有边”。 当n=3时，A与B相互可达分以下两 种情况： ①A与B之间有边，概率为2 1 ②A与B之间无边，但都与第三个顶点 如营微学普氧肉中学生款理化 有边，概率为1-2)×名×号一日 故A与B相互可达的概率P(X)= 1 15 2+8=8 又因为P(XY)=P(Y)=号， ，所以 P(YIX)-P(XY_4 P(X)=5。 4 故A与B之间有边的概率为5。 (2)设事件C=“恰有3个顶点相互可 达”。任取3个顶点，第4个顶点与这3个 顶点均无边的概率为C×(1-）广-之， 同时这3个顶点相互可达，故P(C)=子× R(3)。 图G3连通有以下两种情况： ①3个顶点两两有边，概率为（侵）厂'=名： ②有2个顶点间无边，但都与第3个顶 点有边，概率为C×1-2)×(分)-冬。 所以R(3)=名+名-合，则P(C) 名×R(8)=子 故恰有3个顶点相互可达的概率为 1 4。 点睛：本题主要考查计数原理、条件概率 公式、全概率公式。第(1)问，条件概率。分 类讨论：①A与B之间有边：②A与B之间 无边。第(2)问，独立事件同时发生。分类讨 论：①可达的3个顶点两两有边；②可达的3 个顶点中有2个顶点之间无边。需要注意的 是，分类讨论要做到不重不漏。 考向三、概率与数列的交汇问题 例3(2025年湖北武汉模拟预测)现 有甲、乙两个口袋，甲口袋中有编号为1,2,3 的3个白球，乙口袋中有编号为1,2,3的3 个黑球，已知每个球除颜色和编号不同外，其 余全部相同。现从甲、乙两个口袋中各随机 任取一个球交换放入另一个口袋中，重复进 13 中学生表理化架学多幸新的 行n(n∈N)次这样的操作。 (1)求2次换球后，甲口袋中恰有3个白 球的概率。 (2)求n次换球后，甲口袋中3个球的颜 色恰好相同的概率（结果用含n的式子表 示)。 (3)求n次换球后，甲口袋中3个球的编 号恰好为1,2,3的概率（结果用含n的式子 表示)。当n为多少时，概率取得最大值？最 大值是多少？ 解析：(1)经过一次交换后，甲口袋中有 2白1黑，乙口袋中有2黑1白。 记“2次换球后，甲口袋中恰有3个白 球“为事件A,则P(A)=日×号-日 11 (2)记“n次换球后，甲口袋中3个球的 颜色相同”的概率为p,,则p1=0。 当第n一1次换球后，只有两种可能：一 种是同颜色，另一种是有一个不同颜色。 而同颜色的交换后不可能再同颜色，有 一个不同颜色的通过交换可以变为同颜色， 此时发生的概率为了×号日 根据全概率公式可得pn=pm1×0十(1 -.)x日-日1-).所以p.品 1 号(01)，则力.品是以0为首 项，一。为公比的等比数列，所以。 1 ()一.=6(）- +8()” (3)记“n次换球后，甲口袋中3个球的 编号分别为1,2,3”的概率为9n,则91=3× 当第n一1次换球后，只有两种可能：一 种是有三个球的编号为1,2,3，另一种是没 有三个球的编号为1,2,3。 而三个编号为1,2,3的球交换后也有可 能编号仍为12,3，此时发生的概率为3×号 14 另一种可能是一个口袋中小球的编号是 AAB型，另外一个口袋中小球的编号一定是 BCC型，通过交换A和C就可以变换为有 三个球的编号为1,2,3，此时发生的概率为 号×号- 4 根据全概率公式可得g。=39-1十9(1 -0)=音-日91，所以0：-号 号(a一)，即{口.-号}是以-为首 项，一号为公比的等比数列，所以g,=号 ()=+(》 当n为奇数时g.=号-（日）广<号 当n为偶数时g,-号+（付》≤号十 111 135-27 所以当=2时，9.取到最大值号 点睛：本题主要考查等比数列，马尔可夫 链中的状态转移与数列递推，递推公式在概 率问题中的应用。第(1)问，独立事件同时发 生。第(2)问，找出第n一1次换球后与第n 次换球后的递推关系，结合全概率公式，先得 到数列递推式，再求出通项公式。第(3)问， 第n一1次换球后只有两种可能：①有三个编 号为1,2,3；②没有三个编号为1,2,3，然后 分别计算这两种情况的概率，结合全概率公 式得到数列递推式，再求出通项公式，最后运 用函数思想求出最大值。 概率与统计备考，贵在“辩模型、融知识、 应新境”。文中所述的三个考向是从基础辨 析到综合应用，再到跨板块交汇，层层递进勾 勒备考路径。把握规律、精准发力，方能将知 识转化为解题能力，从容应对各类考题，切实 提升备考效率。 (责任编辑王福华)