6.4.2 向量在物理中的应用举例 （题型专练）数学人教A版必修第二册

6.4.2 向量在物理中的应用举例 （答案版） 题型一：力的合成 1.A 2．A 3．D 4.A 题型二：速度、位移的合成 1.C 2．B 3.B 4.BD 题型三：数量积的坐标表示、功、动量的计算 1.D 2．B 3.199.6焦耳 4.21 题型一：功、动量的计算 1.C 2．6 3．13 4.33 题型二：力的合成、已知数量积求模 1.BC 2．. 3．AC 4.70 1.AC 2．D 3． 4.AD 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.2 向量在物理中的应用举例 题型一：力的合成 1.（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【知识点】力的合成 【分析】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： 2.（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知数量积求模、力的合成 【分析】先计算，再利用公式计算即可. 【详解】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A 3.（24-25高一下·陕西咸阳·期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（   ） （重力加速度取）    A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N 【答案】D 【知识点】力的合成 【分析】设每根绳子上的拉力大小为，根据平衡条件列式求解即可． 【详解】设每根绳子上的拉力大小为， 则根据平衡条件可得，, 解得． 所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N． 故选：D. 4.（2024高二上·黑龙江·学业考试）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】力的合成、向量夹角的计算 【分析】根据给定条件，求出即可得解. 【详解】由，，得，而，解得， 所以. 故选：A 题型二：速度、位移的合成 1.（25-26高三上·广东·月考）某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度的大小为km/h，水流速度的大小为km/h．设和的夹角，当船的航行距离最短时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】速度、位移的合成 【分析】要使船的航行距离最短，只需，合速度垂直于两岸即可，分析这种情况下速度的夹角即得到答案． 【详解】要使船的航行距离最短，只需，合速度垂直于两岸，如图所示， 所以，其中，所以． 故选：C． 2.（2025·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】速度、位移的合成 【分析】先计算出船的实际速度，用向量表示水流速度，实际船速与船的静水速度的关系，利用向量的数量积的有关运算法则可求水流速度. 【详解】如图： 船的实际过河速度为：.即. 又，即. 所以， 所以， 所以. 即水流速度为：. 故选：B 3.（25-26高三上·山东泰安·开学考试）如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA为偏流角. 已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地面速度对应的向量为，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示、速度、位移的合成 【分析】根据题意设出，，得到，代入向量坐标，求得，利用向量的模的公式计算估计值即可. 【详解】设飞机的地面速度向量为，实际运动速度向量和风速向量分别为， 由已知可得，且，， 所以， 故. 故选：B. 4.(多选题）（23-24高一下·江苏泰州·期中）长江某处的南北两岸平行，江面宽度为，一艘船从江南岸边的处出发到江北岸.已知如图，船在静水中的速度的大小为，水流方向自西向东，且速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则（    ） A．当船的航行距离最短时， B．当船的航行时间最短时， C．当时，船航行到达北岸的位置在的左侧 D．当时，船的航行距离为. 【答案】BD 【知识点】速度、位移的合成、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】对A，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可验算；对B，，只要最大即可判断；对C，当时，游船水平方向的速度大小为然后确定方向即可；对D，由题意，根据向量模的运算公式以及数量积的运算律即可验算. 【详解】对于A，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，从而，故A错误； 对于B，船的航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大， 也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故B正确； 对于C，当时，游船水平方向的速度大小为，方向水平向右， 故最终到达北岸时游船在点的右侧，故C错误； 对于D，由题意设位移分量为，位移为， 则，其中， 所以（km/h），故D正确. 故选：BD. 题型三：数量积的坐标表示、功、动量的计算 1.（2025·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、功、动量的计算 【分析】由力对物体所做的功即为两个向量的数量积求解即可. 【详解】因为，所以力对该物体做的功为. 故选：D. 2.（24-25高二下·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、功、动量的计算 【分析】求出合力的坐标，结合平面向量数量积可得到共点力对物体做的功. 【详解】由题意得，共点力的合力为， 对物体做的功为. 故选：B. 3.（2024高三·全国·专题练习）一个物体在平面内受到三个力，，的作用，它们的大小依次为10N、8N和6N，方向依次为北偏东、北偏东、北偏西，物体在合力方向移动了10米，求合力做的功（保留四位有效数字）． 【答案】199.6焦耳 【知识点】功、动量的计算、平面向量数量积的几何意义 【分析】以物体初始位置为原点，以正东方向所在直线为x轴建立平面直角坐标系.通过计算可得三个力向量的坐标,从而可得合力的坐标,根据合力与位移向量的夹角为,利用向量的物理意义可得. 【详解】以物体初始位置为原点，以正东方向所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示． 计算可得， ， ， 所以合力， 因为合力与位移的夹角为， 所以合力做的功 ， 保留四位有效数字可得199.6焦耳．所以合力做的功约为199.6焦耳． 4.（24-25高一下·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳． 【答案】21 【知识点】数量积的坐标表示、功、动量的计算 【分析】利用定义根据向量数量积的坐标运算公式计算即得. 【详解】因为力，位移， 所以力对物体所做的功为焦耳． 故答案为：21． 题型一：功、动量的计算 1.（2025高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【知识点】功、动量的计算 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 2.（24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为 ． 【答案】6 【知识点】数量积的坐标表示、力的合成、功、动量的计算 【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积的坐标公式进行计算. 【详解】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：6. 3.（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 . 【答案】13 【知识点】数量积的坐标表示、力的合成、功、动量的计算 【分析】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可. 【详解】已知共点力， 则合力为， 又已知位移为， 所以合力对物体所做的功. 故答案为：13 4.（24-25高二下·贵州黔南·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为 ． 【答案】 【知识点】功、动量的计算 【分析】利用向量的数量积的意义计算可求解. 【详解】由题意可得，，可得， 力对物体做的功． 故答案为：. 题型二：力的合成、已知数量积求模 1.（多选题）（2025高一下·河南·期中）三名学生拉同一个可移动物体，当处于平衡状态时，所用的力分别用表示.若， 的夹角是，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．夹角的余弦值为 D．夹角的余弦值为得 【答案】BC 【知识点】力的合成、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据，然后利用数量积的运算律及模的运算公式求解，再由及数量积的运算公式求解即可. 【详解】由已知可知：， 所以． 设的夹角为，由，得， 所以，得解. 故选：BC 2.（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 ．（牛顿是物理的力学单位） 【答案】 【知识点】力的合成、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案. 【详解】由题意知三力平衡得，化简得， 两边同平方得，即， 即，解得. 故答案为：. 3.（多选题）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 【答案】AC 【知识点】力的合成 【分析】设水的阻力为，绳的拉力为，绳与水平方向的夹角为，则，根据变化即可判断. 【详解】设水的阻力为，绳的拉力为， 绳与水平方向的夹角为， 则， . 增大，减小， 增大， 增大， 船的浮力减小. 故选：AC. 4.（23-24高一下·上海·期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是 ． 【答案】70 【知识点】力的合成、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】根据题意得到，然后两边平方求解. 【详解】解：由题意得， 所以， 两边同时平方得， 所以， 故答案为：70 1.（多选题）（24-25高一下·广东东莞·期中）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 【答案】AC 【知识点】力的合成 【分析】根据向量的平行四边形法则，由可知平行四边形法则为菱形，再逐一可验证求解. 【详解】 因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确； 根据向量加法的平行四边形法则越小越省力，越大越费力，故B错误； 当时，，又，所以为等边三角形，即，故C正确； 若，则，与矛盾，所以，故D错误； 故选：AC. 2.（25-26高三上·湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】速度、位移的合成 【分析】由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解. 【详解】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直， 由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以（），故. 故选：D. 3.（25-26高一·全国·假期作业）船在静水中的速度为，水流速度为，当船以最短时间到达对岸时，船的实际速度的大小为 ，船的实际速度方向与水流速度方向的夹角的正弦值为 ． 【答案】 【知识点】速度、位移的合成 【分析】当船以最短时间到达对岸时，船的静水速度方向应垂直于河岸，①可根据勾股定理直接求得，②根据正弦函数的定义求得即可. 【详解】当船以最短时间到达对岸时，船的静水速度方向应垂直于河岸. 因为垂直河岸方向的分速度越大，过河时间越短，而垂直河岸的分速度由船的静水速度提供. 所以船的实际速度是静水速度与水流速度的合速度， 所以根据勾股定理得km/h. 设实际速度方向与水流速度方向的夹角为， 则. 故答案为：①km/h②. 4.（多选题）（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【知识点】数量积的运算律、力的合成 【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.4.2向量在物理中的应用举例 基础达标题 题型一：力的合成 1.(25-26高一上·全国·期末)在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或 者共提一个行李包这样的情景.假设行李包或者水桶所受重力为‘，作用在行 李包或者水桶上的两个拉力分别为，万，且同-同，F与的夹角为“，下 列结论中正确的是() 2π A.当=3时，同=G C.当a=受时，同有最小值 D.a越小越费力，a越大越省力 2.(24-25高一下-广东惠州：期中)已知物体受平面内的三个力，5，F作用于同 一点，且该物体处于平衡状态，若同=1，万=(2,0，且万，瓦的夹角为3，则 同=() A.分 B.5 C.2 D.3 3.(24-25高一下·陕西咸阳·期中)如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8 根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为30.己知礼物的质量为 1kg,每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的 大小最接近() (重力加速度8取9.8m/s,v5≈1.732) 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1.8N B.1.6N C.1.5N D.1.4N 4.(2024高二上·黑龙江·学业考试)在日常生活中，我们有这样的经验：两个 人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力假设作用在旅 行包上的两个拉力分别为，，且H,设，万的夹角为9，旅行包所受的 重力为G, 由相关知识可以知道1G2R1ca?,当Hd时，0等于() F π A.3 π B.4 π C.6 D.元 题型二：速度、位移的合成 1.(25-26高三上广东·月考)某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出 发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度“的大小为=20， km/h,水流速度 的大小为9=5kmh.设”和的夹角0°<6<180) 当船的航行距离最短时， 则() A.cos0=1 1 B.Cos= 5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.cos0=-1 4 D.cos0=- 5 2.(2025·福建泉州·模拟预测)一条河两岸平行，河的宽度为1.2km,一艘船从 河岸边的某地出发，向河对岸航行.已知船在静水的速度大小为13水m/h,且船 在航行过程中受水流的影响.当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间 为6分钟，则水流速度的大小为() A.1.3km/h B.5km/h C.10km/h D.12km/h 3.(25-26高三上山东泰安开学考试)如图，飞机飞行中的地面速度(GS)是 指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度(TAS) 向量加减风速(WS)向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA为偏流角. 已知某飞机遒逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为205,105 ，地面速度对 应的向量为10W5,905),则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：km1h)为 () (参考数据： 5=2.241而=3.16.305=17.46) WS TAS DAY GS A.252.8 B.349.2 C.425.6 D.492.8 4.(多选题)(23-24高一下·江苏泰州·期中)长江某处的南北两岸平行，江面宽 度为2km,一艘船从江南岸边的A处出发到江北岸.己知如图，船在静水中的速 度的大小为网=10kmh,水流方向自西向东，且速度的大小为同=6kmh设 和”的夹角为0<0<网，北岸的点在A的正北方向，则（） 丽学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A.当船的航行距离最短时，cos0=- B.当船的航行时间最短时，0= 2 C.当9=时，船航行到达北岸的位置在4的左侧 2π 45 D.当日=3时，船的航行距离为 _km 题型三：数量积的坐标表示、功、动量的计算 1.(2025广东模拟预测)已知力F=(2,3)作用于某一物体，使该物体从4-1,0 移动到B(1,2,则力下对该物体做的功为() A.2 B.4 C.6 D.10 2.(24-25高二下甘肃定西期末)共点力万=(g5,1,E=(g4,0作用在物体M上， 产生位移5=1，g5),则这两个共点力对物体M做的功为() A.1 B.2 21g5 D 51g2 C. 3.(2024高三全国专题练习)一个物体在平面内受到三个力，瓦，的作 用，它们的大小依次为10N、8N和6N,方向依次为北偏东30°、北偏东60°、 北偏西30°，物体在合力方向移动了10米，求合力做的功（保留四位有效数 字) 4.(24-25高一下宁夏银川·期中)利用向量的数量积可以定义物理中的功： 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 而=户5，F是物体所受的作用力，S是物体的位移.已知力F=5,2)作用于 物体，使物体从点川-3引处移动到点26处，则力F对物体所做的功为_焦 耳 B 能力提升题 题型一：功、动量的计算 1.(2025高一下·甘肃天水·期中)冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进 行的一种相互对抗的集体性竞技运动同学小张在冰球训练的过程中，以力 F=4,3)作用于冰球，使冰球从点4-2移动到点8，D,则力F对冰球所做的 功为() A.-17 B.-10 C.17 D.10 2.(24-25高一下福建福州期中)）一质点在力F=1,-2E=(8,4)的共同作用下， 由点44移动到点82.0，则瓦.E的合力F对该质点所做的功为一 3.(2425高一下广东佛山期末)若物体在共点力=(2，-1，万=4,2，的作用 下产生位移5=(2,1，则合力对物体所做的功为一 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 4.(24-25高二下贵州黔南期中)一物体在力F的作用下，由点4(-，2移动到 点2-5)，已知F=(4-3引，则F对该物体所做的功为一 题型二：力的合成、已知数量积求模 1.(多选题)(2025高一下·河南·期中)三名学生拉同一个可移动物体，当处 于平衡状态时，所用的力分别用，，表示若同=30N,同-10N3N，,的 夹角是后，则下列说法正确的是() A.同=52iN B.-10VIN 3W21 C.F,E夹角的余弦值为14 3v7 D.万，夹角的余弦值为得7 2.(2024全国模拟预测)如图，某物体作用于同一点0的三个力F,5使物 体处于平衡状态，已知-1N,5=2N,F与5的夹角为20，则严的大小为 ·(牛顿N是物理的力学单位) F 3.(多选题)(24-25高一下·全国课后作业)如图所示，小船被绳索拉向岸边， 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选 项中，其中正确的是() A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 4.(23-24高一下上海期中)作用于同一点的三个力，万，5平衡，已知 万-3ON同-50N,且万与万之间的夹角是号，则万的大小是一N: 拓展培优题 1.(多选题) (24-25高一下·广东东莞·期中)在日常生活中，我们会看到这样 的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上 的两个拉力分别为，，且同-，云与的夹角为，则下列结论中正确的是 () A. 0 2c0s- 20 B.越小越费力，？越大越省力 C.当9=25时，国- D.g的范围为[0，π 200m 2.(25-26高三上·湖北武汉·月考)如图，一条河两岸平行，河的宽度为 一艘船从河岸边的“地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为=10kmh,水流速度“的大小为=8kmh 设这艘船行驶方向与水流方 向的夹角为°，行驶完全程需要的时间为mim ,若船的航程最短，则() A.<0径1=15 B.5<01=15 C.0 41=2 π<0<5π，1=2 D.4 6 3.(25-26高一·全国·假期作业)船在静水中的速度为6km/h,水流速度为 3km/h,当船以最短时间到达对岸时，船的实际速度的大小为一，船的实际速 度方向与水流速度方向的夹角的正弦值为一· 4.(多选题)(24-25高一下·广西河池·期末)在日常生活中，向量无处不在， 如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G,作用在行 李包上的两个拉力分别为F,万，且同-同，万与万的夹角为0(0，四.给出以 下结论，其中正确的是() A.9越大越费力，9越小越省力B.当9=3时，=后 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 C.当8=2时，同-2d D.当9=号时，-可