6.4.1 平面几何中的向量方法（题型专练）数学人教A版必修第二册

6.4.1 平面几何中的向量方法 （答案版） 题型一：用向量证明线段垂直、用向量解决线段的长度问题 1.A 2． 3．A 4.A 题型二：用向量解决线段的长度问题 1.C 2．D 3.D 4.C 题型三：向量在几何中的其他应用 1.B 2．B 3.D 4.C 题型一：用向量解决夹角问题 1.C 2． 3． 4.AC 题型二：解析法在向量中的应用 1.B 2．B 3．ACD 4.ABD 1.D 2．A 3．B 4.B 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.4.1平面几何中的向量方法 题型一：用向量证明线段垂 直、用向量解决线段的长度 问题 基础达标题 题型二： 用向量解决线段的 长度问题 题型三：向量在几何中的其 他应用 6.4.1平面几 何中的向量 题型一：用向量解决夹角问 题 方法 能力提升题 题型二：解析法在向量中的 应用 拓展培优题 基础达标题 题型一：用向量证明线段垂直、用向量解决线段的长度问题 1.(2025山东临沂·三模)在平行四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BAD=60°， P为边CD上一点，若AP⊥BD,则线段AP的长为() A.27 B.5 C.3 D.25 2 2.(24-25·天津南开.一模)在平面四边形ABCD中， B-BC-CD -DA.DC-1.BA.BC BD.CD= 3.(多选题)（24-25·湖北·模拟预测)下列关于平面向量的说法中正确的是（) A已知42引，84-，点在直线仙上，且严网， 则P的坐标为 B.若0是48c的外接圆圆心，则540-6 C.若c1a-b,且c≠0，则a=b 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.若点P是ABC所在平面内一点，且PAPB=PB.PC=PC.PA,则P是 ABC的垂心 4.(24-25高一下·全国·单元测试)在ABC中，O为外心，H为ABC所在平面 内一点，且OH=0A+OB+OC,则点H为ABC的」 心. 题型二：用向量解决线段的长度问题 1.(25-26高三上河北沧州期末)已知向量a,石，c满足d==a+=2, a+-=1,则G的最大值为(） A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25高一下·湖南期末)如图，在ABC中，AB=4,AC=3,LBAC=60°，D 是BC的中点，CE⊥AB,AD与CE交于点F.则cos∠CFD=() B D A. 2V57 B.57 C.Mii D.31i 19 19 74 74 3.(24-25高三下.浙江宁波·月考)在四边形ABCD中，已知 AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2,若AB=3,AD=4,AC=6,则BD的长度为() A.4 B.23 C.5 D.√14 4.（25-26高一上·海南·开学考试)如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，以AB长 为半径作弧，交AD于点F,交BG于点E,且EF⊥FG,若DF=2,DG=1,则AB 的长为( 4 F D G 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 A.10 B.25 5 2 D.4 题型三：向量在几何中的其他应用 1.(25-26高三上山东月考)在四边形4BCD中，B=DC,B-,-, AD=1,1,则四边形ABCD的面积为() A.22 B.4 C.42 D.6 2.(25-26高三上·重庆·月考)已知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三个点 不共线.若BABD=BC.BD,则直线BD一定经过三角形ABC的() A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心 3.(2025高三.全国·专题练习)已知在ABC中，BC=6,G,O分别为ABC的重心 和外心，且OG.BC=6,则ABC的形状是(). A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能 4.(2025高一全国.专题练习)设a,五，c为非零不共线向量，若 a-c+(1-t)≥a-d,teR,则(）. A.(a+)1(a-c B.(a+)1(6+c c.(a-c1(a+ D.(a-c1(6+c B 能力提升题 题型一：用向量解决夹角问题 1.(2024湖南娄底一模)己知圆内接四边形ABCD中，AD=2,∠ADB=元，BD是圆 的直径，AC.BD=2,则LADC=() A B.2 C.7 12 D.3 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25高一下·江苏连云港·月考)已知坐标平面内OA=(1,5),OB=(7,1), OM=(1,2),O为坐标原点，P是线段0M上的一个动点(P可以和O、M重合) 当PA.PB取最大值时，则cos∠APB的值为 3.(24-25高二上·河南开封·月考)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分 别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知 AB=2,AC=3,BD=4,CD=√7，则该二面角的大小为 4.(多选题)(24-25·全国·模拟预测)己知点A1,2,B(3,1),C(4,m+1)(m∈R), 则下列说法正确的是() A.AB=5 B.若AB⊥BC,则m=-2 C.若∥BC,则m=月 D.若BA,BC的夹角为锐角，则m<2且 题型二：解析法在向量中的应用 1.(24-25高三下-山西大同期未)已知a,五是单位向量，且a6=克，若平面向 量p满足pā=p.b=2,则的值为() A.22 B.4V5 C.5 D.√2 3 3 2.(24-25高一下·海南·月考)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC 内一点，则PA·PB+PC的最小值是() A.-8 3 B.2 c.9 D.-4 3.(多选题)(24-25高一下·湖北武汉·期中)如图，正方形ABCD的边长为2，E是 BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点；AP=入AE+μAD,则下列 结论正确的有() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D P B A.2最大值为1 B.μ最大值为1 C.AP.AD最大值是2 D.AP.AE最大值是V5+2 4.(多选题)(24-25高一下·江苏无锡·月考)已知平面向量0A,0B为非零向量， 且满足0A=2,0A-0B=1,则() A.01,05夹角的取值花围是0， B.OB的取值范围是[1,3] C.OA.OB的取值范围是[2,4] D.OA+0B的取值范围是3,5) 拓展培优题 1.(2026·云南·模拟预测)已知D为ABC的边AB的中点，CA=3,CB=1,则CD的 取值范围是() A.(引 B. 62 c. D.(1,2 2.(25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试)已知ABC是边长为2的等边三角形， P为平面ABC内一点，则PA(PB+PC)的最小值是() B. C.-1 D.3 3.(24-25高一下.甘肃兰州·月考)己知三角形ABC满足 BA BC AC=0,则 BA BC 三角形ABC的形状一定是() A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形 D.钝角三角形 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25高三下·河南·月考)在矩形ABCD中，AB=L,2),AC=(x,0),，则矩形 ABCD的面积为() A.5 B.10 C.20 D.25 6.4.1 平面几何中的向量方法 题型一：用向量证明线段垂直、用向量解决线段的长度问题 1.（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、用向量证明线段垂直、用向量解决线段的长度问题 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 2.（24-25·天津南开·一模）在平面四边形中，，则 ； . 【答案】 【知识点】用向量解决夹角问题、用向量证明线段垂直、数量积的运算律 【分析】根据求出B的大小，从而可判断△ABC的形状，从而求出；再求出，从而求出∠ACD的大小，再根据即可求出． 【详解】∵， 又，故， ∵，故， ∴为等边三角形，则； ∵，∴，又，∴， 得， ∴， 根据以上分析作图如下： 则∠BCD=150°， 则 ． 故答案为：1； 3.（多选题）（24-25·湖北·模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知，点在直线上，且，则的坐标为； B．若是的外接圆圆心，则 C．若，且，则 D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心. 【答案】BD 【知识点】用向量证明线段垂直、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、由向量线性运算结果求参数 【分析】对于A，设，由题意可得或，再根据平面向量的坐标表示计算即可；对于B，如图，设为的中点，根据数量积的定义即可得解；对于C，当时，再根据数量积的运算律即可判断；根据数量积的运算律即可判断D. 【详解】对于A，设，则， 因为点在直线上，且， 所以或， 则或， 所以或，解得或， 所以或，故A错误； 对于B，如图，设为的中点，则， 则，故B正确； 对于C，当时，， 满足，则与不一定相等，故C错误； 对于D，因为， 所以，所以， 同理可得， 所以是的垂心，故D正确. 故选：BD. 4.（24-25高一下·全国·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的 心． 【答案】垂 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】根据得到，然后得到，同理即可得到点H为的垂心． 【详解】因为， 所以，所以， 同理，，则点H为的垂心． 故答案为：垂. 题型二：用向量解决线段的长度问题 1.（25-26高三上·河北沧州·期末）已知向量 满足，，则的最大值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】用向量解决线段的长度问题、向量与几何最值 【分析】设且，根据题意，得到四边形是边长为2的菱形，再作，得到点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形和圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设向量，作向量， 因为，所以四边形是边长为2的菱形，且， 再作，则， 所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 结合图形，当三点共线时，即点在处时，取得最大值， 所以取得最大值. 故选：C. 2.（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用向量解决夹角问题、用向量解决线段的长度问题 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 3.（24-25高三下·浙江宁波·月考）在四边形中，已知，若，则的长度为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】用向量解决线段的长度问题、数量积的运算律 【分析】设分别为的中点，先证明两点重合，则四边形为平行四边形，再分别将用表示，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】如图，设分别为的中点， 则， 所以， 两式相加得，① 同理可得，② 由①②得，③ 因为为的中点， 所以， 则，④ 而，则，⑤ 由④⑤得，⑥ 由③⑥可得， 即， 又因为， 所以，所以两点重合， 所以互相平方，所以四边形为平行四边形， 则， 故，即， 所以， 因为， 所以， 所以，即. 故选：D. 4.（25-26高一上·海南·开学考试）如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】方法一，以点为坐标原点建系，设，根据，点在圆上，利用向量列出关于的方程求解即可；方法二，过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，，根据列出关于的方程求解即可. 【详解】方法一：以点为坐标原点，分别以、方向为轴正方向、轴正方向，建立平面直角坐标系， 设，则， 圆的方程，则，故， 设，则， 则， 因，则①， 因，则， 则，将其代入①式得， 即，得（舍，此时）或，则；    方法二： 因，则在中， 则， 因，，则， 则，有， 过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，    易证四边形是矩形，则有，则有， 设，于是有，， ，，， 在矩形中，有， 则，即，解得，即． 故选：C 题型三：向量在几何中的其他应用 1.．（25-26高三上·山东·月考）在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量在几何中的其他应用 【分析】根据向量关系确定四边形的形状为梯形，再结合向量的坐标运算得梯形相关长度即可求得梯形的面积. 【详解】因为在四边形中，， 所以且，则四边形为梯形， 又，，所以， 则，且，则， 所以四边形的面积为. 故选：B. 2.（25-26高三上·重庆·月考）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【详解】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 3.（2025高三·全国·专题练习）已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量在几何中的其他应用 【分析】作的边上的中线，过点作于点，过点作于点，根据数量积的几何意义可得，结合重心性质可得点重合，从而得解. 【详解】作的边上的中线， 因为为的外心，所以． 因为为的重心，所以． 过点作于点，过点作于点． 由及，由于为在方向上的投影向量， 由数量积的几何意义，得．    由及，得．而， 所以点重合，故． 故选：C． 4.（2025高一·全国·专题练习）设为非零不共线向量，若，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂直关系的向量表示、向量在几何中的其他应用 【分析】利用向量模的几何意义以及向量运算的几何意义，数形结形即可求解. 【详解】． 如图，设，，， 则点在直线上移动，且． 因为， 即， 所以是的最小值，故，即. 故选：D. 题型一：用向量解决夹角问题 1.（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、用向量解决夹角问题 【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求. 【详解】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：. 2.（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、用向量解决夹角问题、向量夹角的坐标表示 【分析】由点在线段上，设，再计算出的坐标，由数量积的坐标运算求出的最大值时的的值，即可求出的坐标，再根据向量的夹角公式可求出的值 【详解】点在线段上，设， 则， ， 当时，取得最大值为， 此时， . 故答案为： 3.（24-25高二上·河南开封·月考）二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 ，已知 ，则该二面角的大小为 . 【答案】 【知识点】求二面角、用向量解决夹角问题、数量积的运算律 【分析】将两边平方，利用数量积公式求解． 【详解】由条件，知， 则 ，得， 由，得， 所以二面角的大小为 故答案为： 4.（多选题）（24-25·全国·模拟预测）已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为锐角，则且 【答案】AC 【知识点】利用向量垂直求参数、用向量解决夹角问题、由向量共线（平行）求参数、向量的模 【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案. 【详解】因为，，， 所以，， 选项A：，所以A正确； 选项B：因为，所以，所以，所以，所以B错误； 选项C：因为，所以，所以，所以C正确； 选项D：因为，的夹角为锐角，且，所以，解得 ，所以D错误. 故选：AC 题型二：解析法在向量中的应用 1.（24-25高三下·山西大同·期末）已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、解析法在向量中的应用 【分析】构建合适的直角坐标系，根据已知得，，设并结合数量积的坐标表示列方程求向量坐标，进而求模长. 【详解】由题意，得，设向量、的夹角为θ， 因为，所以，故． 以O为原点，以方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， 使的起点与O重合，终点在第一象限，则，， 设，则，故， 所以，故． 故选：B 2.（24-25高一下·海南·月考）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、向量与几何最值、解析法在向量中的应用 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解. 【详解】以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则 故 ,当时取到等号， 故选：B 3.（多选题）（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【答案】ACD 【知识点】解析法在向量中的应用、向量在几何中的其他应用、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得，且，,，再逐一分析各选项即可． 【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，,， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 4.（多选题）（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知平面向量为非零向量，且满足，则（    ） A．夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【知识点】解析法在向量中的应用、平面向量数量积的几何意义、向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】根据已知，设，且在以为圆心，1为半径的圆上，数形结合并结合向量数量积、加减法、模长的几何意义判断各项的正误. 【详解】由， 若，且在以为圆心，1为半径的圆上，如下图示， 由图，当与圆相切时，即最大，最小显然为0， 所以，A对； 当为圆与轴的交点时取得最值，结合图易知，B对； 如图，若轴，由， 显然在圆与轴的两个交点之间运动（含交点），故，而， 所以的取值范围是，C错； 如图，若是中点，则，则， 显然中点轨迹是以为圆心，为半径的圆上运动，则， 所以，D对. 故选：ABD 1.（2026·云南·模拟预测）已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量与几何最值 【分析】先得到，两边平方，结合向量数量积公式和，得到，求出答案. 【详解】由已知得， 所以 ， 因为，则， 所以，即. 故选：D. 2.（25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、向量与几何最值 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：A 3.（24-25高一下·甘肃兰州·月考）已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【知识点】零向量与单位向量、向量加法法则的几何应用、垂直关系的向量表示、向量在几何中的其他应用 【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得. 【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上， 由，即的角平分线与边垂直， 所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形. 故选：B 4.（24-25高三下·河南·月考）在矩形中，，，则矩形的面积为（    ） A．5 B．10 C．20 D．25 【答案】B 【知识点】向量在几何中的其他应用、向量垂直的坐标表示、坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】求出，利用求出x的值，即可求得，结合，即可求得答案. 【详解】由四边形为矩形，得； 由，得，解得，从而， 所以，，所以矩形的面积为． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $