重难点10-1 几何辅助线构造核心方法（三角形与平行线4大类型15种高频题型配套）（复习讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦几何辅助线构造核心方法，覆盖平行线、角平分线、中点、垂线四大模型15种高频题型，通过“模型梳理-方法归纳-真题演练”三层架构，帮助学生建立知识联系，突破中考几何难点。 亮点在于情境化真题融入与分层训练设计，如结合滑雪、路灯等现实情境抽象几何模型培养数学眼光，通过角平分线“三线合一”等辅助线策略训练数学思维，配套基础、提升、挑战三级练习，助力学生高效掌握解题技巧，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

重难点 10-01 几何辅助线构造核心方法 （三角形与平行线・4大类型15种高频题型配套） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 76 固·重难考点 拓·创新能力 平行线模型 核心条件：题目中出现平行线或线段平行关系 辅助线思路：作平行线或延长线段 结论：构造出同位角、内错角、同旁内角，或平行四边形，利用平行性质转移角度或线段 角平分线模型（高频考点） 1. 类型一：角平分线 + 向两边作垂线 · 思路：过角平分线上一点，向角的两边作垂线 · 结论：两条垂线段长度相等 2. 类型二：角平分线 + 垂线（三线合一） · 思路：在角平分线上取一点，作角平分线的垂线，与角的两边相交 · 结论：构造出等腰三角形，垂线为底边中线和高 3. 类型三：角平分线 + 平行线 · 思路：过角平分线上一点，作角一边的平行线 · 结论：构造出等腰三角形 4. 类型四：角平分线 + 截长补短 / 对称 · 思路：在角的一边截取与另一边相等的线段，或作对称点 · 结论：构造出全等三角形 三角形遇中点模型（高频考点） 1. 类型一：等腰三角形底边中点 · 思路：连接顶点与底边中点 · 结论：“三线合一”（中线、高、角平分线重合） 2. 类型二：直角三角形斜边中点 · 思路：连接直角顶点与斜边中点 · 结论：中线长度等于斜边的一半 3. 类型三：一边中点 + 作平行线 · 思路：过中点作另一边的平行线 · 结论：构造出三角形中位线，中位线平行于第三边且长度为第三边的一半 4. 类型四：两边中点 + 连接 · 思路：连接两边中点 · 结论：构造出三角形中位线 5. 类型五：中点 + 面积问题 · 思路：连接顶点与中点 · 结论：中线将三角形分成面积相等的两部分 6. 类型六：多个中点 + 连接 · 思路：连接各边中点 · 结论：构造出中点三角形或重心，重心将中线分成 2:1 的比例 三角形遇垂线模型（高频考点） 类型一：一边的高 + 作另一边的高 思路：作另一边的高 结论：利用等面积法，两高与对应边成比例 类型二：过一边中点的垂线 思路：连接交点与顶点 结论：构造出等腰三角形 类型三：一边的高 + 作高的平行线 思路：作高的平行线 结论：构造出直角三角形 类型四：直角三角形 + 作斜边上的高 思路：作斜边上的高 结论：构造出两个小直角三角形，与原三角形相似 题型01 遇到平行线→作平行线或延长 1．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 3．（2025·云南·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，若点F为球的中心，入射波与法线的夹角，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，过点作，可得，根据题意得，再由平行线的性质得到，从而得出答案． 【详解】解：过点作，为法线，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（2025·陕西·模拟预测）如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，平行于同一直线的两直线平行，掌握相关知识是解决问题的关键．作，则可证，则，，则题目可解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ， ， ∴． 故选：A． 5．（2025·湖北武汉·三模）已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了利用平行线的性质和角平分线的定义判断角度的关系，三角形内角和和外角的性质，熟练利用分类讨论思想是解题的关键． （1）过点作的平行线，利用平行线的判定和性质即可解答； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义可得，根据三角形内角和求得，即可解答； （3）分类讨论：分点在点左边或右边，画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的平行线， ，， ，， ， ； （2）解：， ， 是的平分线， ， ，， ， ； （3）解：当点在点左边时，如图， ，，平分， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ，即； 当点在点右边时，如图， ，， 平分， ， ， ，即， 综上，或． 6．（2025·江西·模拟预测）如图1是某剧院的旋转舞台，其侧面结构示意图如图2所示，为水平地面，舞台长为的中点，均为支撑杆，可通过改变的大小实现舞台的升降，通过将绕点C旋转实现舞台的旋转． (1)当，且舞台与平行时，求舞台与支撑杆的夹角的度数； (2)在（1）的条件下，舞台与地面的距离为，为了演出的需要，要将平行于地面的舞台绕点C逆时针旋转得到，如图3，求舞台最高点到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）分别过点作，推出，利用平行线的性质即可解答； （2）过点作于点K，由题意得：，解直角三角形求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，分别过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点K， 由题意得：， ∴， ∵与地面的距离为， ∴舞台最高点到水平地面的距离为． 题型02 三角形遇角平分线 类型一 见角平分线，用性质定理 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，平分，求得，，解直角三角形即可求解． 【详解】解：作于点，则点D到的距离为的长， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2025·湖南·模拟预测）如图，在上分别截取线段，使得；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线．连接， 若，，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，由作图得是的平分线，根据角平分线的性质作高后证得平分，从而发现是内外角平分线的夹角．体现了对几何综合的运算能力，推理能力的核心素养要求． 【详解】解：如图，过点 D 作交的延长线于点M，作交的延长线于点 N，作交于G． 由作图得是的平分线， ∴． ∵，， ∴，， ∴，即平分． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴平分． ∴； 故答案为：． 3．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 类型二 角平分线+垂直→三线合一 1．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 2．（2025·浙江杭州·二模）是的边的中点，平分于点，且，则的周长等于 ． 【答案】35 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题． 延长线段交于，易证，可得为的中点；由已知是的中点，可得是的中位线，由中位线定理可得的长，根据可得的长，进而得出的周长． 【详解】解：延长线段交于， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的边的中点， ∴， ∴的周长是． 故答案为：35． 3．阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．    该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，   平分， ． ， ． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，． …… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．    【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12 【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案； 任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案； 应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论． 【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等； 任务二：…… ， ， ； 应用：延长、交于点，   平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2025·安徽宿州·一模）如图1，在中，， ，平分，交于点，平分，交于点． (1)求证：． (2)求的值． (3)如图2，在边上截取，作，，连接，交于点．求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点，作出相应辅助线是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，再由角平分线确定，．利用三角形外角的定义得出，再由等角对等边即可证明； （2）过点作，交的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质得出，再由相似三角形的判定和性质得出，，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．根据全等三角形的判定得出，，结合图形及其性质得出，最后利用相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵，， ∴， ∴． （2）如图1，过点作，交的延长线于点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：如图2，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． ∵，， ∴，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． ∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型三 平行线+平行→等腰△ 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 2．（24-25九年级下·辽宁大连·月考）已知，如图，平分的内角，平分的外角，若，且测得，，则 ． 【答案】 【分析】设，由平分的内角，平分的外角，证明，如图，在上截取，连接，证明，证明，，可得，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：设，平分的内角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵平分的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 3．（2025·福建福州·模拟预测）尺规作图问题：如图1，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，． (1)连接，根据作图痕迹，请说明平分． (2)如图2，用尺规作图法在上确定点（画出作图痕迹），使得，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）证明，可得结论； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）证明：由作图可知， ， ， ， ， ， 平分； （2）图形如图2所示： ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 18．（2025·江西九江·三模）追本溯源 题（1）来源于课本中的习题，请你完成解答、提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，且．求证：的周长等于． (2)如图2，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，可得，，再进一步求解即可； （2）先证明，，可得，，结合，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为 ． （2）解：在中，，，， ∴，， ∵的平分线交于点，的平分线交于点． ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的判定等腰三角形是解本题的关键． 类型四 角平分线上点+边上一点→作对称 1．如图，在中，过点，分别作直线，，且，过点作直线交直线于点，交直线于点． (1)如图①，若，分别平分，，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，，求的长； (3)如图②，若，且，点是上一点，，连接，若，，则的长为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由分别平分和,求出 进而得出由,得出，代入计算即可得到结果； （2）在上取一点, 使, 连接, 证明再证明≌，代入计算即可求得结果； （3）在上截取连接，先证明均为等边三角形，再证明即可得到． 【详解】（1）∵平分 同理， ∵ ∴ ∴ ∴ ； （2）如图, 在上取一点, 使, 连接, 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图, ∵,, ∴为等边三角形， ∴, ∵, ∴为等边三角形， ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∴, ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题. 2．综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【答案】(1)；；等角对等边 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，理解题意，熟练掌握“截长补短法”是解题关键． （1）首先根据角平分线的定义可得，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，结合易得，结合三角形外角的性质即可证明为等腰三角形，然后证明结论； （2）在上截取，连接，利用“”，由全等三角形的性质可得，进而可得，易得，再利用“”证明，易得，即有，然后结合题意求解即可． 【详解】（1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， （等角对等边）， ， ． 故答案为：；；等角对等边； （2）在上截取，连接， 由题意可得，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 3．【问题呈现】折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法，例如： 如图1，在中，，求证：． 【思路点拨】在上截取，作平分，连接，则： （1）请将以上思维导图补充完整； 【方法感悟】请运用折纸为我们提供的轴对称构图方法，解决以下问题： （2）如图2，在四边形中，，，平分．请利用上述方法证明：； 【灵活运用】（3）如图3，在中，平分交于点，且，，求证：；       【深入探究】（4）如图4，在中，，，，、分别平分和，交于，交于，则的周长为 ． 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4） 【分析】（1）解：根据全等三角形的性质，等量代换，进行作答即可； （2）如图2，在上截取使，连接，证明，则，，根据，等量代换求解即可； （3）证明：如图3，在上截取使，连接，同理（2）可得，，，，，，如图3，过作于，过作于，，，设，，则，，由勾股定理得，，，由可得，解得，，则，然后根据，，证明作答即可； （4）如图4，记与的交点为，延长交于，由勾股定理得，，证明，均为等腰三角形，且，，证明，则，根据，，可得，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图2，在上截取使，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）证明：如图3，在上截取使，连接， 同理（2）可得，， ∴，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 如图3，过作于，过作于， ∴，， ∴，， 设，，则，， 由勾股定理得，，， ∵， ∴，解得，， ∴， ∵，， ∴； （4）解：如图4，记与的交点为，延长交于， 由勾股定理得，， ∵、分别平分和，，， ∴，均为等腰三角形，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，与角平分线有关的三角形内角和问题，勾股定理，含的直角三角形，三角形外角的性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型03 三角形遇中点 类型一 看到等腰三角形底边中点，连顶点与中点 1．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得；当与相交时，圆心距需满足条件，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵，D为中点， ∴，； ∵锐角三角形中，， ∴外接圆心O在上， 连接，由勾股定理得：；      设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：， 即，解得：； 在此范围的半径只有选项B； 故选：B． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图 为等腰三角形，是底边的中点 ，平分 与半圆相切于点 由 是半圆的切线 （2）解：由（1）可知， ， ， 又 ， 在中，， ， 解得： 4．（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：与相切； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，可得，，再进一步解答即可； （2）如图，连接，证明，可得过圆心，结合，证明，从而可得结论； （3）如图，过作于，连接，设，则，可得，求解，可得，求解，设半径为，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图，连接， ∵，为中点， ∴， ∴过圆心， ∵， ∴， 而为半径， ∴为的切线； （3）解：如图，过作于，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设半径为， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 类型二 看到直角三角形斜边中点，连顶点与中点 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵ ， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵ ， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边的中点，过点E作于点于点G，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，连接，由菱形对角线互相垂直平分可得，则可由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后证明四边形是矩形，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵E是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 3．（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线定理及勾股定理的应用，得到是解题的关键． 由勾股定理先计算，易得，继而得到，再根据和得到，接着解直角三角形，最后利用勾股定理求即可． 【详解】连接，过作交的延长线于， 根据题意，， ， ， ，即，解得， 和，M，N分别是的中点， ， , ， ， , ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 【答案】(1)①2；②4 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确理解题目中给的条件，作出辅助线求解是解题的关键． （1）①根据题意可得此时为等腰直角三角形，作图求解即可； ②连结，根据直角三角行斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而证明，即可得解． （2）分两种情况讨论，第一种情况，，设．则，求出的长，过点作于交于点，分别证明和即可得解；第二种情况，，连接，分别证明和即可得解． 【详解】（1）①如图所示， 为等腰直角三角形， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ，， 为中点， 、为、的中点， ， ； 故答案为：2． ②连结， ，， ， 又点为的中点， ，，， ， 又， ， ， ． （2）第一种情况如图所示，，设．则， ， ， ， 过点作于交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又 ， ； 第二种情况：如右图所示，，连接， 易知，当时，点、分别与、重合，与题意不符，不成立； 由（1）可知：， ， ， 又， ．， 可得，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 类型三 看到一边中点，作平行线，构造中位线 1．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，交于，过作于，求解，证明是的中位线，可得，，，证明四边形是平行四边形，可得，而，，求解，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接，交于，过作于， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，而，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 2．（2025·辽宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点H，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点H，连接， 点为的中点，点H为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 类型四 已知两边中点，连中点，构造第三边 1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解， 【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴是中位线， ∴， 故选：A． 2．（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接，先由勾股定理求得，则，再由三角形中位线定理得到，即可求解的最大值． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵点G为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点重合时，取得最大值为5， 故答案为：5． 3．（2025·广东广州·中考真题）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 类型五 看到中点及面积，连顶点与中点，构造中线 1．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是 ．    【答案】 【分析】本题考查中线求三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将各三角形的面积用含S的代数式表示出来，从而求出和四边形的面积比即可． 【详解】解：如图，连接．    设， ，点D是边的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为（　　） A．1.4 B．2 C．0.6 D．1 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，延长交于点，证明，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出，再根据三角形的中线平分面积，求出的面积即可． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 3．（2025·四川广元·三模）如图，在中，在边，，上分别取点，，，使得，点是边上任意一点，连接三点得到．重复上面过程，在的边上分别取点，使得，点是边上任意一点，连接三点得到，按此方式继续重复操作，直到得到．设的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的性质，三角形中线的性质，根据题意求得前几个三角形的面积，找到规律的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ 同理可得 以此类推，的面积为 的面积为 故答案为：． 类型六 看到多个中点，连各中点，构造重心或中点三角形 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 由题意可得为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，则，四边形是平行四边形，即可判断A、B、D；再由，是边的中点，即可判断C． 【详解】解：点、、分别是边、、的中点 ∴为的中位线， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 故A、B、D正确，不符合题意； ∵，是边的中点， ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点分别是边的中点，则有，，所以，，从而可得，然后根据性质即可求证； （）连接，，证明四边形为平行四边形，所以，，又，为中点，故有，所以，，然后通过“”证明即可． 【详解】（1）证明：∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵ 3．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）勾股定理求出的长，中点求出的长，的长，根据，求出的值即可； （2）设，得到，，进而得到，分和两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可； （3）作于点，连接，易得为等腰直角三角形，得到，，进而得到四边形为平行四边形，得到，将绕点旋转90度得到，连接，证明，得到，进而得到，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，， ∴， ∵点D和点N分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则：，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， 此方程无解，不符合题意； ②当时，则：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； ∴； 综上：； （3）∵，， ∴， 作于点，连接， 则：， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， 将绕点旋转90度得到，连接，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求线段和的最小值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． ∴， ∴． 题型04 三角形遇垂线 类型一 看到一边的高及边长，作另一边的高，构造等面积 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为，先解求出，再得到为等腰直角三角形，最后再运用勾股定理求解； （2）过点作于点，对运用等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）解：过点作的垂线，垂足为，则， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到线段的距离为． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 3．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 【答案】(1)，， (2)点到线段的距离为 【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式； （2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离． 【详解】（1）点、在反比例函数图象上 ， 又一次函数过点， 解得： 一次函数表达式为：； （2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ， 轴， 点，， 点，， 在中， 又 即 ∴，即点C到线段的距离为． 【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 类型二 看到过一边中点的垂线，连交点与顶点，构造等腰三角形 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是关键．连接，证明是等边三角形，，得到，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接， 由作图可知， 垂直平分， ∴， ∵点N恰为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理解三角形、垂直平分线的判定与性质和线段中点的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据为线段的垂直平分线，得到，在通过等量代换可得，然后根据勾股定理和中点的知识即可求解； 【详解】解：∵于点E，E为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， ∴， ∵E为的中点， ∴； 故选：C 3．（2025·福建龙岩·二模）如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，且E为的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数等；连接，由线段垂直平分线的性质得，结合菱形的性质及等边三角形的判定方法得是等边三角形，由特殊角的三角形函数即可求解；掌握菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数是解题的关键． 【详解】解：连接， 于点E，E为的中点， ， 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：D． 4．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形斜中线定理，中垂线定理，连接，先证明，得出，再根据，求得与的关系式，运用这些性质和定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 类型三 看到一边的高，作高的平行线，构造直角三角形 1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 3．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，和分别为的高和角平分线，和相交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键．设，，由勾股定理得出，判定，推出，由和分别为的高和角平分线推出，判定，推出，进而即可得解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和分别为的高和角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·上海杨浦·一模）如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线及三角形中位线定义，熟知等腰三角形的性质及三角形中位线定理是解题的关键．先根据等腰三角形的性质及为的中线，得出为的中位线，进而可求出的长，进一步可求出的长，再过点作的垂线，构造出直角三角形，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，且为高线，， ． 又是的中线， 是的中位线． ， ． 在中， ． 过点作的垂线，垂足为， ， ， ． 又为中点， ． 在中， ． 故答案为：． 类型四 看到直角三角形，作斜边上的高，构造直角三角形 1．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为 ． 【答案】/0.375 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则， 则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 令， 则：， ∴点在直线上运动， 当点与重合时，，此时， 当点与重合时，，此时， ∴点E所经过的路径长为； 故答案为：． 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    【答案】 【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设，，    ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴ ∴，则， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 4．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，反比例函数 的图像与交于点 B、点 C． (1)求k的值； (2)求点 C 的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形角所对直角边等于斜边一半，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像和性质，能够根据题意作辅助线并求出点的坐标是解决问题的关键． （1）借助直角三角形角所对直角边等于斜边一半这一性质求出的长，同理可求出点B的横纵坐标，用待定系数法求解析式即可． （2）过点C向x轴作垂线，设点C横坐标为t，利用角的特性即可求出C的纵坐标表达式，列方程即可． 【详解】（1）解：如图，过点 B 作于点 D， ， ， ， ， ， ∴点 B 的坐标为 ， ． （2）如图，过点 C 作于点 E， 设点C的横坐标为t，则， ， ， 点 C 的纵坐标为， ， 整理得， 解得或 （舍去）， 点 C 的纵坐标为， 点 C 的坐标为． 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键． 作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 2．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形的性质，得到当点P运动到点C时，的面积最大是解题的关键； 根据运动轨迹可得的面积先增大再减小，可得当点P运动到点C时，的面积最大为4，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大再减小，当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为4，如图， ∵等腰直角三角形，，点D为边的中点， ∴， ∴， 当点P运动到的中点时， ∵点D为边的中点， ∴； 故选：A. 3．（2025·江西吉安·二模）如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】该题考查了勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的定义等知识点，先根据题意求出可以取的整数值．分为①当时，②当时，③当时，分别讨论即可． 【详解】解：根据题意求出可以取的整数值． 在 中，， ， ， 点为边上一个动点， ∴当时，最大，当时，最小． 过点作于点， 则， 解得：， ， 的长为整数， ∴或 6 或 7 ． ①当时，为等腰三角形． ②当时， 设点为中点，连接，如图（1）， 则，此时点与点重合， ∴与均为等腰三角形． ③当时，如图（2），过点作于点， 则． 设，则，， ， ， 解得：（负值已舍）， ∴，此时与均不是等腰三角形． 综上，符合条件的点的个数为2． 故选：C． 4．（2025杭州市模拟预测）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法是解题关键． （1）过点作直线，根据平行线的性质得、，利用即可求解； （2）过点作直线，利用平行线的性质可得，通过角平分线的定义得、，结合（1）的即可求解； （3）过点作直线，根据题意可得，结合（1）（2）可得，利用平行线的性质得即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）得，， ∴． （3）解：如图，过点作直线， ∵，， ∴， ， ∵由（1）得：， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】(1)；全等三角形的对应角相等 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【详解】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 6．（2021·山东济南·一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是AB上的一点，连接DE． （1）如图1，若∠BAC＝90°，∠DEA＝60°，DE＝4，求AE的长度； （2）如图2，过点E作EF平行于AC交BC于点F，且∠C＝∠BDE＋∠AED，求证：FD＝CD； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥BC于点D且交AB于点G，在BD上取点H使得AH＝EG，连接AH分别交GD、ED于点M、N．若∠HAD＝∠B，∠HMD＝2∠BDE，设tan∠AHC＝，请直接写出sin∠BGD的值（用关于a、b的代数式（最简形式）表示）． 【答案】（1）2+2；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，先证∠EDH=30°，则EH=DE=2，DH=EH=2，再证△DHA是等腰直角三角形，得∠HDA=45°，DH=AH=2，即可求解； （2）延长ED交AC的延长线于K，先证△AED≌△AKD（AAS），得DE=DK，∠ADE=∠ADK=90°，再证△DEF≌△DKC（ASA），即可得出结论； （3）先证BE=DE，再证DE=EG，tan∠AHC=tan∠BAD=，设DE=bk，则AD=ak，得EG=DE=bk，AH=EG=bk，过点A作AJ⊥BC于J，则tan∠AHC=，求出AJ=AH=，然后证∠ADJ=∠EDG=∠EGD，即可解决问题． 【详解】（1）解：过点D作DH⊥AB于H，如图1所示： ∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°， ∴∠BAD=∠BAC=45°， 在Rt△DEH中，∠DEH=60°， ∴∠EDH=30°， ∴EH=DE=2， ∴DH=EH=2， 在Rt△DHA中，∠DAH=45°， ∴△DHA是等腰直角三角形， ∴∠HDA=45°，DH=AH=2， ∴AE=EH+AH=2+2； （2）证明：延长ED交AC的延长线于K，如图2所示： ∵∠BDE=∠CDK， ∴∠ACB=∠BDE+∠AED=∠CDK+∠AED， ∵∠ACB=∠CDK+∠AKD， ∴∠AED=∠AKD， 在△AED和△AKD中， ， ∴△AED≌△AKD（AAS）， ∴DE=DK，∠ADE=∠ADK=90°， ∵EF∥AC， ∴∠DEF=∠DKC， 在△DEF和△DKC中， ， ∴△DEF≌△DKC（ASA）， ∴FD=CD； （3）解：∵DG⊥BC， ∴∠BDG=90°， ∵∠ADE=90°， ∴∠BDG=∠ADE， ∴∠BDG-∠EDG=∠ADE-∠EDG， ∴∠BDE=∠ADG， ∵∠HMD=∠ADG+∠HAD=2∠BDE=2∠ADG， ∴∠ADG=∠HAD， ∵∠HAD=∠B， ∴∠B=∠HAD=∠ADG=∠BDE， ∴BE=DE， ∵∠B+∠EGD=90°，∠BDE+∠EDG=90°， ∴∠EGD=∠EDG， ∴DE=EG， ∵∠AHC=∠B+∠BAH=∠HAD+∠BAH=∠BAD， ∴tan∠AHC=tan∠BAD=， 设DE=bk，则AD=ak， ∴EG=DE=bk， ∴AH=EG=bk， 过点A作AJ⊥BC于J，如图3所示： 则， ∴， ∴， ∵∠ADJ+∠ADG=90°，∠EDG+∠BDE=90°，∠ADG+∠EDG=90°， ∴∠ADJ=∠EDG=∠EGD， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的性质、含30°角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解直角三角形等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握全等三角形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键，属于中考常考题型． 1．（2025·福建·模拟预测）综合与实践： 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动已知直线，在直角三角板中，，，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点当时，求证：． 【深入探究】 （2）如图所示，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，若，求的度数． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，点在上，连接并延长至点，连接，，平分，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由题意，得到，证得，结合已知条件，得到结论； （2）结合图形，利用平行线的性质，得到，从而得到； （3）根据题意，结合图形，得，，结合角平分线得到，从而得到结果． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ； 解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：过点作， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设， ， 平分， ， 过点作， ，， ， ， ， ， ． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 【答案】（1）①②③；（2），见解析；（3） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足分别为，利用全等三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质等知识即可证明结论都成立； （2）过点作，垂足分别为，构造全等三角形结合解直角三角形即可证明结论； （3）过点作，垂足分别为，构造全等三角形结合解直角三角形即可得到答案； 【详解】解：（1）过点作，垂足分别为， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故②正确； 若， 则， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴ 故③正确． 故答案为：①②③． （2）．理由如下： ∵平分， ． 过点D作于点E，于点F． ． ， ． ． ∵平分，， ． ． ． 在中，， ． 同理可得， ． ． ． （3）过点D作于点E，于点F． ， ． ． ，平分， ． ． 在中，，， ，． ． 3．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）4；（2）；（3）的最小值为，此时的长为 【分析】（1）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半解答即可； （2）根据矩形的判定和性质，结合垂线段最短解答即可； （3）根据矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形三边关系定理应用，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，，为边上的中线， ∴, 故答案为：4； （2）如解图①， 四边形为矩形， 连接，则， 过点作于点， ． 在中，， 故， 根据三角形面积性质，得， 的最小值为； （3）如解图②，连接，则， ，当三点共线时最小， 在上顺次截取， 作，则四边形为矩形， 则， ， 解得，． 如解图③，作点关于的对称点，作， 连接， 与的交点即为所确定的位置． 作交于点，得矩形． 在中， ， ， ， 由， ， ，， 当最小时，的最小值为，此时的长为． 4．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)图见解析；不成立，，证明见解析 (3) 或． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：不成立，，证明如下： 如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3）解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 10-01 几何辅助线构造核心方法 （三角形与平行线・4大类型15种高频题型配套） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 22 固·重难考点 拓·创新能力 平行线模型 核心条件：题目中出现平行线或线段平行关系 辅助线思路：作平行线或延长线段 结论：构造出同位角、内错角、同旁内角，或平行四边形，利用平行性质转移角度或线段 角平分线模型（高频考点） 1. 类型一：角平分线 + 向两边作垂线 · 思路：过角平分线上一点，向角的两边作垂线 · 结论：两条垂线段长度相等 2. 类型二：角平分线 + 垂线（三线合一） · 思路：在角平分线上取一点，作角平分线的垂线，与角的两边相交 · 结论：构造出等腰三角形，垂线为底边中线和高 3. 类型三：角平分线 + 平行线 · 思路：过角平分线上一点，作角一边的平行线 · 结论：构造出等腰三角形 4. 类型四：角平分线 + 截长补短 / 对称 · 思路：在角的一边截取与另一边相等的线段，或作对称点 · 结论：构造出全等三角形 三角形遇中点模型（高频考点） 1. 类型一：等腰三角形底边中点 · 思路：连接顶点与底边中点 · 结论：“三线合一”（中线、高、角平分线重合） 2. 类型二：直角三角形斜边中点 · 思路：连接直角顶点与斜边中点 · 结论：中线长度等于斜边的一半 3. 类型三：一边中点 + 作平行线 · 思路：过中点作另一边的平行线 · 结论：构造出三角形中位线，中位线平行于第三边且长度为第三边的一半 4. 类型四：两边中点 + 连接 · 思路：连接两边中点 · 结论：构造出三角形中位线 5. 类型五：中点 + 面积问题 · 思路：连接顶点与中点 · 结论：中线将三角形分成面积相等的两部分 6. 类型六：多个中点 + 连接 · 思路：连接各边中点 · 结论：构造出中点三角形或重心，重心将中线分成 2:1 的比例 三角形遇垂线模型（高频考点） 类型一：一边的高 + 作另一边的高 思路：作另一边的高 结论：利用等面积法，两高与对应边成比例 类型二：过一边中点的垂线 思路：连接交点与顶点 结论：构造出等腰三角形 类型三：一边的高 + 作高的平行线 思路：作高的平行线 结论：构造出直角三角形 类型四：直角三角形 + 作斜边上的高 思路：作斜边上的高 结论：构造出两个小直角三角形，与原三角形相似 题型01 遇到平行线→作平行线或延长 1．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，若点F为球的中心，入射波与法线的夹角，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·陕西·模拟预测）如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北武汉·三模）已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 6．（2025·江西·模拟预测）如图1是某剧院的旋转舞台，其侧面结构示意图如图2所示，为水平地面，舞台长为的中点，均为支撑杆，可通过改变的大小实现舞台的升降，通过将绕点C旋转实现舞台的旋转． (1)当，且舞台与平行时，求舞台与支撑杆的夹角的度数； (2)在（1）的条件下，舞台与地面的距离为，为了演出的需要，要将平行于地面的舞台绕点C逆时针旋转得到，如图3，求舞台最高点到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：） 题型02 三角形遇角平分线 类型一 见角平分线，用性质定理 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ． 2．（2025·湖南·模拟预测）如图，在上分别截取线段，使得；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线．连接， 若，，则的度数为 ． 3．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 类型二 角平分线+垂直→三线合一 1．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江杭州·二模）是的边的中点，平分于点，且，则的周长等于 ． 3．阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．    该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，   平分， ． ， ． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，． …… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．    4．（2025·安徽宿州·一模）如图1，在中，， ，平分，交于点，平分，交于点． (1)求证：． (2)求的值． (3)如图2，在边上截取，作，，连接，交于点．求证：． 类型三 平行线+平行→等腰△ 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·辽宁大连·月考）已知，如图，平分的内角，平分的外角，若，且测得，，则 ． 3．（2025·福建福州·模拟预测）尺规作图问题：如图1，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，． (1)连接，根据作图痕迹，请说明平分． (2)如图2，用尺规作图法在上确定点（画出作图痕迹），使得，连接．求证：四边形是菱形． 18．（2025·江西九江·三模）追本溯源 题（1）来源于课本中的习题，请你完成解答、提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，且．求证：的周长等于． (2)如图2，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，求的周长． 类型四 角平分线上点+边上一点→作对称 1．如图，在中，过点，分别作直线，，且，过点作直线交直线于点，交直线于点． (1)如图①，若，分别平分，，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，，求的长； (3)如图②，若，且，点是上一点，，连接，若，，则的长为______．（用含，的式子表示） 2．综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 3．【问题呈现】折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法，例如： 如图1，在中，，求证：． 【思路点拨】在上截取，作平分，连接，则： （1）请将以上思维导图补充完整； 【方法感悟】请运用折纸为我们提供的轴对称构图方法，解决以下问题： （2）如图2，在四边形中，，，平分．请利用上述方法证明：； 【灵活运用】（3）如图3，在中，平分交于点，且，，求证：；       【深入探究】（4）如图4，在中，，，，、分别平分和，交于，交于，则的周长为 ． 题型03 三角形遇中点 类型一 看到等腰三角形底边中点，连顶点与中点 1．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9     2．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 4．（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：与相切； (3)若，，求的半径． 类型二 看到直角三角形斜边中点，连顶点与中点 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边的中点，过点E作于点于点G，若，则的长为 ． 3．（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为 ． 4．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 类型三 看到一边中点，作平行线，构造中位线 1．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ． 2．（2025·辽宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为 ． 类型四 已知两边中点，连中点，构造第三边 1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 2．（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是 ． 3．（2025·广东广州·中考真题）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 类型五 看到中点及面积，连顶点与中点，构造中线 1．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是 ．    2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为（　　） A．1.4 B．2 C．0.6 D．1 3．（2025·四川广元·三模）如图，在中，在边，，上分别取点，，，使得，点是边上任意一点，连接三点得到．重复上面过程，在的边上分别取点，使得，点是边上任意一点，连接三点得到，按此方式继续重复操作，直到得到．设的面积为1，则的面积为 ． 类型六 看到多个中点，连各中点，构造重心或中点三角形 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 3．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 题型04 三角形遇垂线 类型一 看到一边的高及边长，作另一边的高，构造等面积 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 类型二 看到过一边中点的垂线，连交点与顶点，构造等腰三角形 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为 ． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 3．（2025·福建龙岩·二模）如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，且E为的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则（　　） A． B． C． D． 类型三 看到一边的高，作高的平行线，构造直角三角形 1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 2．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A．B．C．D． 3．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，和分别为的高和角平分线，和相交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海杨浦·一模）如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么 ． 类型四 看到直角三角形，作斜边上的高，构造直角三角形 1．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为 ． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    4．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，反比例函数 的图像与交于点 B、点 C． (1)求k的值； (2)求点 C 的坐标． 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 3．（2025·江西吉安·二模）如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2025杭州市模拟预测）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 5．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 6．（2021·山东济南·一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是AB上的一点，连接DE． （1）如图1，若∠BAC＝90°，∠DEA＝60°，DE＝4，求AE的长度； （2）如图2，过点E作EF平行于AC交BC于点F，且∠C＝∠BDE＋∠AED，求证：FD＝CD； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥BC于点D且交AB于点G，在BD上取点H使得AH＝EG，连接AH分别交GD、ED于点M、N．若∠HAD＝∠B，∠HMD＝2∠BDE，设tan∠AHC＝，请直接写出sin∠BGD的值（用关于a、b的代数式（最简形式）表示）． 1．（2025·福建·模拟预测）综合与实践： 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动已知直线，在直角三角板中，，，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点当时，求证：． 【深入探究】（2）如图所示，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，若，求的度数． 【拓展运用】（3）同学们继续探究以下问题，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，点在上，连接并延长至点，连接，，平分，若，求的度数． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 3．（2025·陕西·中考真题）问题探究（1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决（3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 4．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $