探索图形讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年人教版数学五年级下册

探索图形 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、核心概念 1 二、探索过程（以具体实例分析） 1 三、易错点分析 2 考点讲练 3 考点一：表面涂色的正方体 3 综合训练 4 知识梳理 一、核心概念 1.正方体基本特征 正方体有8个顶点、12条棱（每条棱长度相等）、6个面（每个面都是正方形且面积相等）。 若大正方体由n×n×n个相同小正方体组成（n为正整数，n≥2），则大正方体的棱长为n（每条棱上有n个小正方体）。 2.表面涂色问题定义 将由n×n×n个小正方体组成的大正方体表面全部涂上颜色，研究不同位置的小正方体（顶点处、棱上、面上、内部）涂色面数的规律。 二、探索过程（以具体实例分析） 1. 2×2×2大正方体（n=2） 总小正方体数量：2×2×2=8（个）。 涂色情况： 三面涂色：位于大正方体顶点处，共8个（正方体8个顶点），每个小正方体3个面涂色。 两面涂色/一面涂色/没有涂色：因每条棱上只有2个小正方体，棱中间、面中间及内部均无小正方体，故数量均为0。 2. 3×3×3大正方体（n=3） 总小正方体数量：3×3×3=27（个）。 涂色情况： 三面涂色：顶点处，共8个（8个顶点）。 两面涂色：位于棱上（不含顶点），每条棱上有3-2=1个，12条棱共12×1=12（个），每个小正方体2个面涂色。 一面涂色：位于每个面的中间（不含棱），每个面有(3-2)×(3-2)=1个，6个面共6×1=6（个），每个小正方体1个面涂色。 没有涂色：位于大正方体内部，数量为总数量减去上述三类，即27-8-12-6=1（个）；或直接计算内部棱长为3-2=1，数量为1×1×1=1（个）。 3. 4×4×4大正方体（n=4） 总小正方体数量：4×4×4=64（个）。 涂色情况： 三面涂色：8个（顶点处）。 两面涂色：每条棱上有4-2=2个，12条棱共12×2=24（个）。 一面涂色：每个面有(4-2)×(4-2)=4个，6个面共6×4=24（个）。 没有涂色：内部棱长为4-2=2，数量为2×2×2=8（个）。 三、规律总结（通用公式） 设大正方体棱长为n（每条棱上小正方体个数，n≥2，n为整数），则： 三面涂色小正方体：固定为8个（正方体8个顶点）。 两面涂色小正方体：12×(n-2)个（12条棱，每条棱上除去2个顶点后有n-2个）。 一面涂色小正方体：6×(n-2)²个（6个面，每个面除去边缘后是边长为n-2的正方形，面积为(n-2)²）。 没有涂色小正方体：(n-2)³个（内部形成棱长为n-2的小正方体，体积为(n-2)³）。 三、易错点分析 1.混淆“棱长”与“小正方体个数”：公式中n指“每条棱上小正方体的个数”，非大正方体实际棱长（如n=3表示每条棱上有3个小正方体，而非棱长3厘米）。 2.漏乘“12”或“6”：两面涂色需乘12（棱的数量），一面涂色需乘6（面的数量），易忘记乘数导致结果错误。 3.内部未涂色计算错误：直接用总数量减去涂色数量时，易漏算某类涂色小正方体，建议优先用(n-2)³公式计算。 考点讲练 考点一：表面涂色的正方体 【典例精讲】有一张长1.3米，宽1.2米的长方形纸板，要剪成面积为0.36平方米的正方形纸板，能剪出几块？ 【变式训练】将边长为10的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为1的小正方形木块1000块.问：这一千块小正方体木块中，没有涂红色的共有多少块？只有一个面是红色的共有多少块？恰有两个面为红色的共有多少块？恰有三个面为红色的共有多少块？ 【变式训练】一个长方体木块（如图），长是，宽是，高是，先在它的六个面上都涂上色，然后把它锯成棱长都是的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中，三面涂色的有多少块？两面、一面涂色的各有多少块？六个面都没有涂色的有多少块？ 【变式训练】如图，是一个长为5厘米，宽为4厘米、高为3厘米的长方体，在它的表面涂上颜色后再截成棱长为1厘米的小正方体，其中三面、两面和一面被涂色的小正方体有多少个？ 综合训练 1．如图，把一个棱长为4厘米的正方体表面涂上颜色，再将它切成棱长为1厘米的小正方体，观察发现，只有1个面涂色的小正方体有（    ）个。 A．48 B．24 C．16 D．8 2．四个小正方体重叠起来，拼成为下面的几何体，表面涂上红色。5个面涂红色的有（    ）个小正方体。 A．2 B．3 C．4 3．如图是由27个相同的小正方体拼成的大正方体，在它的6个面上都涂上红色，其中只有2个面涂上红色的小正方体有（    ）。 A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 4．如下图，把一个棱长的正方体木块六个面都涂上红色，然后锯成棱长都是的小正方体木块，可以得到涂色面数不同的小正方体木块，那么得到的小正方体块数最多的一类是（    ）。 A．0面涂色 B．一面涂色 C．两面涂色 D．三面涂色 5．用棱长1cm的小正方体拼成如上的大正方体后，把它们的表面积涂上颜色。三面、两面、一面涂色的分别为（    ）个。 A．6、8、12 B．8、12、6 C．12、6、8 D．8、6、12 6．一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色？（    ）。 A．296 B．324 C．328 D．384 7．下面的物体是用1立方分米的正方体摆成的，它的体积是( )立方分米，如果给它的表面涂色，其中三面涂色的正方体有( )个。 8．一个棱长为4厘米的大正方体被平均分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，如果在大正方体表面涂上红色，小正方体中三面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。 9．把棱长为10厘米的正方体木块表面涂上红色后，切成8个完全一样的小正方体木块。这些小正方体中，三面涂色的小正方体有( )个，两面涂色的小正方体有( )个。这些小正方体中，没有被涂上红色的所有面的面积和是( )平方厘米。 10．把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成27个大小相等的小正方体。切成的小正方体中，3个面涂红色的小正方体有( )个。 11．如图是由125个大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色，一面涂色的小正方体有( )个。 12．把一个棱长4厘米的正方体表面涂上红色，然后将其锯成棱长为1厘米的小正方体，在这些小正方体中，三面涂色的有( )块，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块，没有涂色的有( )块。 13．如图的领奖台是由4个棱长为5分米的正方体搭成的。如果把领奖台的表面涂漆（底面不涂），需要涂漆的面积是多少平方分米？ 14．一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？ 15．一个正方体容器从里面量棱长为6分米，容器中水深3分米，把一块石头放入水中（全部浸没），这时水面高度是8.5分米，这块石头的体积是多少？ 16．把一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体表面涂上绿色，然后分成若干个棱长为1厘米的小正方体。这些小正方体中，一面涂色的有多少个？两面涂色的有多少个？三面涂色的有多少个？没有涂色的有多少个？ 17．如图，一个4×4×4的正方体，将其平均分成64块，如果将其表面涂成红色，那么其中只有两个面被涂成红色的小正方体有多少块？ 18．如图，由30个棱长为1米的正方体在地面上摆成一个塔形（注意：每层之间的竖棱不一定对齐，即层与层之间摆的不正），然后喷红色油漆。（当然地面和被盖住的地方喷不上）之后把它们拆散，这样有的小正方体只有一部分不规则的红色，有的一个面是红色，有的完全没有喷上红色，试求这些红色面积的总和。 19．琪琪用一些棱长1cm的小正方体搭成了下面的几何体． （1）琪琪一共用了多少块小正方体？ （2）如果琪琪将露出的表面部分涂成红色（底面不涂），那么涂色部分的面积是多少平方厘米？ 20．现有一个长6cm、宽5cm、高3cm的长方体木块，先在它的六个面上都涂上红色，然后把它锯成棱长1cm的小正方体木块．在锯成的小正方体木块中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？一面呢？没有涂色的呢？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 探索图形 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、核心概念 1 二、探索过程（以具体实例分析） 1 三、易错点分析 2 考点讲练 3 考点一：表面涂色的正方体 3 综合训练 6 知识梳理 一、核心概念 1.正方体基本特征 正方体有8个顶点、12条棱（每条棱长度相等）、6个面（每个面都是正方形且面积相等）。 若大正方体由n×n×n个相同小正方体组成（n为正整数，n≥2），则大正方体的棱长为n（每条棱上有n个小正方体）。 2.表面涂色问题定义 将由n×n×n个小正方体组成的大正方体表面全部涂上颜色，研究不同位置的小正方体（顶点处、棱上、面上、内部）涂色面数的规律。 二、探索过程（以具体实例分析） 1. 2×2×2大正方体（n=2） 总小正方体数量：2×2×2=8（个）。 涂色情况： 三面涂色：位于大正方体顶点处，共8个（正方体8个顶点），每个小正方体3个面涂色。 两面涂色/一面涂色/没有涂色：因每条棱上只有2个小正方体，棱中间、面中间及内部均无小正方体，故数量均为0。 2. 3×3×3大正方体（n=3） 总小正方体数量：3×3×3=27（个）。 涂色情况： 三面涂色：顶点处，共8个（8个顶点）。 两面涂色：位于棱上（不含顶点），每条棱上有3-2=1个，12条棱共12×1=12（个），每个小正方体2个面涂色。 一面涂色：位于每个面的中间（不含棱），每个面有(3-2)×(3-2)=1个，6个面共6×1=6（个），每个小正方体1个面涂色。 没有涂色：位于大正方体内部，数量为总数量减去上述三类，即27-8-12-6=1（个）；或直接计算内部棱长为3-2=1，数量为1×1×1=1（个）。 3. 4×4×4大正方体（n=4） 总小正方体数量：4×4×4=64（个）。 涂色情况： 三面涂色：8个（顶点处）。 两面涂色：每条棱上有4-2=2个，12条棱共12×2=24（个）。 一面涂色：每个面有(4-2)×(4-2)=4个，6个面共6×4=24（个）。 没有涂色：内部棱长为4-2=2，数量为2×2×2=8（个）。 三、规律总结（通用公式） 设大正方体棱长为n（每条棱上小正方体个数，n≥2，n为整数），则： 三面涂色小正方体：固定为8个（正方体8个顶点）。 两面涂色小正方体：12×(n-2)个（12条棱，每条棱上除去2个顶点后有n-2个）。 一面涂色小正方体：6×(n-2)²个（6个面，每个面除去边缘后是边长为n-2的正方形，面积为(n-2)²）。 没有涂色小正方体：(n-2)³个（内部形成棱长为n-2的小正方体，体积为(n-2)³）。 三、易错点分析 1.混淆“棱长”与“小正方体个数”：公式中n指“每条棱上小正方体的个数”，非大正方体实际棱长（如n=3表示每条棱上有3个小正方体，而非棱长3厘米）。 2.漏乘“12”或“6”：两面涂色需乘12（棱的数量），一面涂色需乘6（面的数量），易忘记乘数导致结果错误。 3.内部未涂色计算错误：直接用总数量减去涂色数量时，易漏算某类涂色小正方体，建议优先用(n-2)³公式计算。 考点讲练 考点一：表面涂色的正方体 【典例精讲】有一张长1.3米，宽1.2米的长方形纸板，要剪成面积为0.36平方米的正方形纸板，能剪出几块？ 【答案】4块 【详解】0.36＝0.6×0.6，正方形的边长为0.6米。 1.3÷0.6≈2（块） 1.2÷0.6＝2（块） 2×2＝4（块） 答：能剪出4块。 【变式训练】将边长为10的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为1的小正方形木块1000块.问：这一千块小正方体木块中，没有涂红色的共有多少块？只有一个面是红色的共有多少块？恰有两个面为红色的共有多少块？恰有三个面为红色的共有多少块？ 【答案】没涂色的小正方块共有8×8×8=512块，只有一面涂色的共有8×8×6＝384块，恰有两个面为红色的共有8×12=96块，恰有三个面为红色的，共有8块. 【详解】略 【变式训练】一个长方体木块（如图），长是，宽是，高是，先在它的六个面上都涂上色，然后把它锯成棱长都是的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中，三面涂色的有多少块？两面、一面涂色的各有多少块？六个面都没有涂色的有多少块？ 【答案】在锯成的小正方体木块中，三面涂色的有8块，两面涂色的有24块，一面涂色的有22块，六个面都没有涂色的有6块。 【分析】三面涂色的小正方体位于长方体的顶点位置，因此有8块； 两面涂色的小正方体位于长方体各条棱的中间，所以有（块）；一面涂色的小正方体位于各面的中央，所以有（块）； 六个面都没有涂色的小正方体位于长方体的内部，共有（块）。 【详解】由分析得： 三面涂色的有：1×8＝8（块） 两面涂色的有： （块） 一面涂色的有： （块） （块） 【点睛】表面涂色的长方体，其涂色的规律与正方体相似，只是计算时要注意，长方体的棱长不是处处相等，可看作是3组，每组有同样的4条长、4条宽、4条高。则列式时要学会分类讨论。 【变式训练】如图，是一个长为5厘米，宽为4厘米、高为3厘米的长方体，在它的表面涂上颜色后再截成棱长为1厘米的小正方体，其中三面、两面和一面被涂色的小正方体有多少个？ 【答案】8个；24个；22个 【分析】三面被涂色的小正方体，就是顶点处的小正方体；两面被涂色的小正方体，就是棱上的小正方体；一面被涂色的小正方体就是面上中间部分的小正方体。 【详解】长方体有8个顶点，所以三面被涂色的小正方体有8个。 长方体有12条棱，其中每条长上有3个小正方体，宽上有2个小正方体，高上有1个小正方体，所以两面被涂色的小正方体有：（3＋2＋1）×4＝24（个）。 长方体有6个面，前面和后面，每个面上中间部分的小正方体有3个；左面和右面，每个面上中间部分的小正方体有2个；上面和下面，每个面上中间部分的小正方体有6个，所以一面被涂色的小正方体有：（3＋2＋6）×2＝22（个）。 答：三面被涂色的小正方体有8个，两面被涂色的小正方体有24个，一面被涂色的小正方体有22个。 【点睛】本题考查涂色的正方体个数，弄清三面、两面和一面被涂色的小正方体分别在长方体的什么位置是解答此题的关键。 综合训练 1．如图，把一个棱长为4厘米的正方体表面涂上颜色，再将它切成棱长为1厘米的小正方体，观察发现，只有1个面涂色的小正方体有（    ）个。 A．48 B．24 C．16 D．8 【答案】B 【分析】把一块棱长4厘米的正方体的外表涂上红色，然后切成棱长1厘米的小正方体，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；根据立体图形的知识可知：一个面涂红色的小正方体在大正方体的六个面上，除去靠棱边的，每个面只有中间的4个，如图：有6个面，根据上面的结论，即可求得答案。 【详解】根据分析得，4×6＝24（个） 即只有1个面涂色的小正方体有24个。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查了学生观察图形和利用图形解决问题的能力，这里主要抓住一面涂色的在正方体的面中间。 2．四个小正方体重叠起来，拼成为下面的几何体，表面涂上红色。5个面涂红色的有（    ）个小正方体。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】由图可知，最上层的小正方体有5个面涂红色，下层左边和右边的小正方体有5个面涂红色，下层中间的小正方体有3个面涂红色，据此解答。 【详解】分析可知，这4个小正方体中5个面涂红色的有3个小正方体。 故答案为：B 【点睛】分析图形找出每个小正方体涂红色面的数量是解答题目的关键。 3．如图是由27个相同的小正方体拼成的大正方体，在它的6个面上都涂上红色，其中只有2个面涂上红色的小正方体有（    ）。 A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】D 【分析】只有2个面涂上红色的小正方体位于大正方体的棱上，大正方体每条棱上有（3－2）个小正方体2个面涂上红色，正方体一共有12条棱，据此用乘法求出只有2个面涂上红色的小正方体的数量。 【详解】分析可知，12×（3－2） ＝12×1 ＝12（个） 故答案为：D 【点睛】只有两个面涂色的小正方体的数量＝（大正方体每条棱上小正方体的数量－2）×12。 4．如下图，把一个棱长的正方体木块六个面都涂上红色，然后锯成棱长都是的小正方体木块，可以得到涂色面数不同的小正方体木块，那么得到的小正方体块数最多的一类是（    ）。 A．0面涂色 B．一面涂色 C．两面涂色 D．三面涂色 【答案】C 【分析】根据正方体特征，0面涂色的在中间；一面涂色的在面上；两面涂色的在棱上；三面涂色的在顶点上，据此分析。 【详解】根据分析，中间只有1个小正方体，正方体有6个面，一面涂色的有6个；有12条棱，两面涂色的有12个；有8个顶点，三面涂色的有8个。 故答案为：C 【点睛】关键是熟悉正方体特征，根据正方体特征进行分析。 5．用棱长1cm的小正方体拼成如上的大正方体后，把它们的表面积涂上颜色。三面、两面、一面涂色的分别为（    ）个。 A．6、8、12 B．8、12、6 C．12、6、8 D．8、6、12 【答案】B 【分析】一面涂色：（棱长－2）×（棱长－2）×6；两面涂色：（棱长－2）×12；三面涂色：8个，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 一面涂色：（3－2）×（3－2）×6 ＝1×1×6 ＝6（个） 两面涂色：（3－2）×12 ＝1×12 ＝12（个） 三面涂色：8个 故答案为：B。 【点睛】本题考查正方体表面涂色问题，解答本题的关键是掌握正方体表面涂色的公式。 6．一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色？（    ）。 A．296 B．324 C．328 D．384 【答案】A 【解析】正立方体总共由8×8×8＝512个小立方体组成，最外层的小立方体全部被涂上了颜色，没有被涂上颜色的小立方体有6×6×6＝216个，两者的差即为被涂上颜色的小正方体个数。 【详解】8×8×8－6×6×6 ＝512－216 ＝296（个） 故答案为：A。 【点睛】明确最外层的小立方体全部被涂上了颜色，里面没有被涂上颜色是解答本题的关键。 7．下面的物体是用1立方分米的正方体摆成的，它的体积是( )立方分米，如果给它的表面涂色，其中三面涂色的正方体有( )个。 【答案】 9 2 【分析】已知每个正方体的体积是1立方分米，从图中数出正方体的个数，再乘每个正方体的体积即是这个物体的体积。三面涂色的正方体需处于物体的“顶点”位置（即同时暴露在三个不同方向的正方体），据此解答。 【详解】共摆了2层，下层有6个正方体，上层有3个正方体； 6＋3＝9（个） 1×9＝9（立方分米） 所以它的体积是9立方分米。 上层左上角顶点位置的正方体，暴露上、左、后三个面，属于三面涂色； 下层左上角顶点位置的正方体，暴露下、左、后三个面，属于三面涂色； 所以三面涂色的正方体有2个。 8．一个棱长为4厘米的大正方体被平均分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，如果在大正方体表面涂上红色，小正方体中三面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。 【答案】 8 24 【分析】三面涂色的小正方体位于大正方体的8个顶点处，因为每个顶点是三个面的交点，所以无论大正方体如何分割，三面涂色的小正方体数量始终是8个。一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中间区域，不与棱、顶点重合。大正方体棱长是由4个小正方体组成，每个面中，减去每条边的2个棱上的小正方体，所以一面涂色的小正方体数量为（4－2）×（4－2）＝4（个）。大正方体有6个面，因此一面涂色的小正方体总数为4×6＝24个。 【详解】三面涂色的小正方体位于大正方体的8个顶点处。 大正方体棱长是由4个小正方体组成 （4－2）×（4－2） ＝2×2 ＝4（个） 4×6＝24（个） 三面涂色的有8个，一面涂色的有24个。 9．把棱长为10厘米的正方体木块表面涂上红色后，切成8个完全一样的小正方体木块。这些小正方体中，三面涂色的小正方体有( )个，两面涂色的小正方体有( )个。这些小正方体中，没有被涂上红色的所有面的面积和是( )平方厘米。 【答案】 8 0 600 【分析】三面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，共8个；因为总共就切成8个完全一样的小正方体木块，全部都在原大正方体的顶点处，也就是8个全部都是三面涂色的，故两面涂色的小正方体有0个；切成8个完全一样的小正方体木块时，需要切3次，每切1次增加2个大正方体的面，共增加（2×3）个面，也就是增加6个面，且切面没有被涂色。根据“正方形的面积＝边长×边长”先算出一个切面的面积，再乘6即可算出没有被涂色的所有面的面积。 【详解】三面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，共8个； 8个全都是三面涂色的小正方体，没有两面涂色的小正方体，故两面涂色的小正方体有0个； 2×3＝6（个） （平方厘米） 把棱长为10厘米的正方体木块表面涂上红色后，切成8个完全一样的小正方体木块。这些小正方体中，三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有0个。这些小正方体中，没有被涂上红色的所有面的面积和是600平方厘米。 10．把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成27个大小相等的小正方体。切成的小正方体中，3个面涂红色的小正方体有( )个。 【答案】8 【分析】根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）没有涂色的都在内部；（2）一面涂色的在每个面上（除去棱上的小正方体）；（3）两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）；（4）三面涂色的在每个顶点处；据此解答即可。 【详解】每个顶点处的小正方体会露出三个面，共有8个顶点，即8个。 所以3个面涂红色的小正方体有8个。 11．如图是由125个大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色，一面涂色的小正方体有( )个。 【答案】54 【分析】如图所示，一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中心，大正方体每个面中一面涂色的小正方体有9个，再乘大正方体的面数求出一面涂色的小正方体的总个数，据此解答。 【详解】 分析可知，大正方体的每个面上有9个小正方体一面涂色，大正方体一共有6个面。 9×6＝54（个） 所以，一面涂色的小正方体有54个。 12．把一个棱长4厘米的正方体表面涂上红色，然后将其锯成棱长为1厘米的小正方体，在这些小正方体中，三面涂色的有( )块，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块，没有涂色的有( )块。 【答案】 8 24 24 8 【分析】三面涂色的在顶点上找，正方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个；两面涂色的在棱上找，类似于求棱长总和，每条棱上有4－2＝2（个），12条棱上有2×12＝24（个）；一面涂色的在面上找，类似于求表面积，每个面上有（4－2）×（4－2）＝4（个），6个面上有4×6＝24（个）；没有涂色的在正中间找，类似于求体积，共有（4－2）×（4－2）×（4－2）＝8（个）。 【详解】两面涂色：（4－2）×12 ＝2×12 ＝24（个） 一面涂色：（4－2）×（4－2）×6 ＝2×2×6 ＝4×6 ＝24（个） 没有涂色：（4－2）×（4－2）×（4－2） ＝2×2×2 ＝4×2 ＝8（个） 三面涂色的有8个，两面涂色的有24个，一面涂色的有24个，没有涂色的有8个。 13．如图的领奖台是由4个棱长为5分米的正方体搭成的。如果把领奖台的表面涂漆（底面不涂），需要涂漆的面积是多少平方分米？ 【答案】375平方分米 【分析】计算有多少个小正方体的面是露在外面的，面的个数×每个面的面积＝涂漆面积，据此解答。 【详解】通过观察可知，一共有15个小正方体的面露在外面， 5×5×15 ＝25×15 ＝375（平方分米） 答：需要涂漆的面积是375平方分米。 14．一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】125立方厘米 【分析】根据正方体表面涂色的特点可知，两面涂色的小正方体在大正方体的12条棱上（8个顶点除外）；已知两面涂色的小正方体有36个，那么大正方体每条棱上有小正方体（36÷12＋2）个，再乘每个小正方体的棱长，即可求出大正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出原来大正方体的体积。 【详解】大正方体每条棱上有小正方体： 36÷12＋2 ＝3＋2 ＝5（个） 大正方体的棱长： 1×5＝5（厘米） 大正方体的体积： 5×5×5＝125（立方厘米） 答：原来大正方体的体积是125立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的体积公式的运用，结合正方体表面涂色的特点，求出大正方体的棱长是解题的关键。 15．一个正方体容器从里面量棱长为6分米，容器中水深3分米，把一块石头放入水中（全部浸没），这时水面高度是8.5分米，这块石头的体积是多少？ 【答案】198立方分米 【分析】水面上升的体积就是石头的体积，用正方体容器棱长×棱长×水面上升的高度＝石头体积，据此列式解答。 【详解】6×6×（8.5－3） ＝36×5.5 ＝198（立方分米） 答：这块石头的体积是198立方分米。 【点睛】关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为规则的长方体进行计算。 16．把一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体表面涂上绿色，然后分成若干个棱长为1厘米的小正方体。这些小正方体中，一面涂色的有多少个？两面涂色的有多少个？三面涂色的有多少个？没有涂色的有多少个？ 【答案】一面涂色的有22个；两面涂色的有24个；三面涂色的有8个；没有涂色的有6个 【分析】根据分析可知，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用（5×4×3）÷（1×1×1）即可求出被切成的小正方体的块数；三个面均为油漆的是各顶点处的小正方体，长方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个； 在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面油漆，长被切成5个小正方体，所以一条长有（5－2）个两面油漆的小正方体，宽被切成4个小正方体，所以一条宽有（4－2）个两面油漆的小正方体，高被切成3个小正方体，所以一条高有（3－2）个两面油漆的小正方体，所以用（5－2）×4＋（4－2）×4＋（3－2）×4即可求出有几个两面涂色的小正方体； 在每个面上，除去棱上的正方体都是一面油漆，用[（5－2）×（4－2）＋（5－2）×（3－2）＋（4－2）×（3－2）]×2即可求出几个一面涂色的小正方体； 最后用所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体。根据上面的结论，即可求得答案。 【详解】小正方体的总个数：（5×4×3）÷（1×1×1） ＝60÷1 ＝60（个） 有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个， 两面涂色的有：（5－2）×4＋（4－2）×4＋（3－2）×4 ＝3×4＋2×4＋1×4 ＝12＋8＋4 ＝24（个） 一面涂色的有：[（5－2）×（4－2）＋（5－2）×（3－2）＋（4－2）×（3－2）]×2 ＝[3×2＋3×1＋2×1]×2 ＝[6＋3＋2]×2 ＝11×2 ＝22（个） 没有涂色的有：60－8－24－22＝6（个） 答：一面涂色的有22个；两面涂色的有24个；三面涂色的有8个；没有涂色的有6个。 【点睛】此题主要考查了染色问题，解题的关键是抓住三面涂色的在顶点处，两面涂色的在棱长上，一面涂色的在正方体的面中间上。 17．如图，一个4×4×4的正方体，将其平均分成64块，如果将其表面涂成红色，那么其中只有两个面被涂成红色的小正方体有多少块？ 【答案】24块 【分析】两面涂红色的在棱长的中间处，每条棱中间有2个小正方体两个面涂成红色，正方体有12条棱，用每条棱两面涂成红色的正方体数量×12即可。 【详解】2×12＝24（块） 答：只有两个面被涂成红色的小正方体有24块。 【点睛】关键是熟悉正方体特征，根据正方体棱长数量进行作答。 18．如图，由30个棱长为1米的正方体在地面上摆成一个塔形（注意：每层之间的竖棱不一定对齐，即层与层之间摆的不正），然后喷红色油漆。（当然地面和被盖住的地方喷不上）之后把它们拆散，这样有的小正方体只有一部分不规则的红色，有的一个面是红色，有的完全没有喷上红色，试求这些红色面积的总和。 【答案】56平方米 【分析】求这些红色面积的总和，就是求这个立体图形露在外面的面积之和；从上面看，红色部分是（4×4）的正方形的面积；从侧面看，每个面是（1×4）的长方形、（1×3）的长方形、（1×2）的长方形、（1×1）的长方形，求出它们的和再乘4个面，就是侧面涂红色的面积，再与上面涂红色的面积相加，就是立体图形涂红色面积的总和。 【详解】上面红色部分的面积：4×4＝16（平方米） 四周的面积： （1×4＋1×3＋1×2＋1×1）×4 ＝（4＋3＋2＋1）×4 ＝10×4 ＝40（平方米） 一共：16＋40＝56（平方米） 答：这些红色面积的总和是56平方米。 【点睛】结合立体图形的结构特点，分别从上面、侧面看求出其表面积。 19．琪琪用一些棱长1cm的小正方体搭成了下面的几何体． （1）琪琪一共用了多少块小正方体？ （2）如果琪琪将露出的表面部分涂成红色（底面不涂），那么涂色部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）14块    （2）33平方厘米 【详解】（1）1＋4＋9＝14（块） （2）3×4＋2×4＋4＋9＝33（个）   1×1×33＝33（cm²） 20．现有一个长6cm、宽5cm、高3cm的长方体木块，先在它的六个面上都涂上红色，然后把它锯成棱长1cm的小正方体木块．在锯成的小正方体木块中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？一面呢？没有涂色的呢？ 【答案】8块，32块，38块，12块 【分析】每份长度为1cm，长、宽、高分别可以切成6份、5份、3份， 6×5×3就得总共可以切成的立方体的块数，其中三面涂红色在每个角上，两面涂红色的在每条边的中间，一面涂红色的在每个面的中间，没有涂色的在长方体的内部。 【详解】一共切成：6×5×3＝90（块） 涂不到色的有：（6-2）×（5-2）×（3-2）＝12块（在长方体的内部） 一面涂色的有：（4×3+4×1+3×1）×2＝38块（在长方体六个面的中间） 二面涂色的有：（4+3+1）×4＝32块（在长方体的十二条棱上） 三面涂色的有：8块（长方体的八个角） 【点睛】本题考查学生的空间想象能力，以及对立方体的认识。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $