自行车里的数学讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年人教版数学六年级下册

自行车里的数学 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、基本概念 1 二、核心原理 1 三、实际应用 2 四、解题方法 2 五、易错点与注意事项 3 考点讲练 3 考点一：自行车里的数学 3 综合训练 5 知识梳理 一、基本概念 1.自行车主要部件及作用 前齿轮：安装在脚踏板轴上，随脚踏板转动，是动力输入部件，齿数通常较多（如48齿、52齿等）。 后齿轮：安装在自行车后轮轴上，通过链条与前齿轮连接，齿数通常较少（如16齿、20齿等）。 链条：连接前齿轮和后齿轮，传递动力，保证前齿轮转动时带动后齿轮同步转动。 车轮：后齿轮转动时带动车轮转动，车轮周长决定自行车行驶距离，车轮直径通常用厘米作单位（如60cm、70cm等）。 二、核心原理 1.齿轮传动关系 前齿轮转动1圈，链条移动的长度 = 前齿轮齿数（每个齿对应链条上的一个链节，前齿轮转1圈，链条移动的链节数等于前齿轮齿数）。 链条移动的长度等于后齿轮转动的链节数，因此后齿轮转动圈数 = 前齿轮齿数 ÷ 后齿轮齿数（即传动比 = 前齿轮齿数 : 后齿轮齿数）。 结论：后齿轮转动圈数 = 前齿轮齿数 / 后齿轮齿数，且后齿轮与车轮同轴，故车轮转动圈数 = 后齿轮转动圈数。 2.蹬一圈自行车行驶距离公式 车轮周长 = π × 车轮直径（π通常取3.14，直径单位需统一为厘米）。 蹬一圈自行车行驶距离 = 车轮周长 × 后齿轮转动圈数 = 车轮周长 ×（前齿轮齿数 ÷ 后齿轮齿数）。 公式：行驶距离 = πd ×（前齿轮齿数 / 后齿轮齿数）（d为车轮直径，单位：厘米；结果单位：厘米，可换算为米）。 三、实际应用 1.单速自行车行驶距离计算 例：一辆单速自行车，前齿轮齿数48，后齿轮齿数16，车轮直径70cm，求蹬一圈行驶距离。 步骤：① 车轮周长 = 3.14×70 = 219.8cm；② 后齿轮转动圈数 = 48÷16 = 3圈；③ 行驶距离 = 219.8×3 = 659.4cm = 6.594m。 2.变速自行车的齿轮组合与应用 变速自行车通过改变前、后齿轮的齿数组合，实现“变速”或“省力”： 高速组合：前齿轮齿数多（如52齿）、后齿轮齿数少（如14齿），此时传动比大（52:14≈3.71），车轮转动圈数多，行驶速度快，但蹬车费力（适合平路、下坡）。 省力组合：前齿轮齿数少（如32齿）、后齿轮齿数多（如28齿），此时传动比小（32:28≈1.14），车轮转动圈数少，行驶速度慢，但蹬车省力（适合上坡、逆风）。 变速自行车可组合的传动比数量 = 前齿轮个数 × 后齿轮个数（如前3个齿轮、后6个齿轮，共3×6=18种组合）。 四、解题方法 1.已知齿轮齿数和车轮直径，求行驶距离 步骤：① 计算车轮周长（πd）；② 计算传动比（前齿轮齿数 ÷ 后齿轮齿数）；③ 行驶距离 = 车轮周长 × 传动比。 2.比较不同齿轮组合的行驶距离 方法：在车轮直径相同的情况下，比较传动比大小，传动比越大，蹬一圈行驶距离越远。 例：前齿轮40齿/后齿轮20齿（传动比2）与前齿轮36齿/后齿轮18齿（传动比2），行驶距离相同；前齿轮48齿/后齿轮12齿（传动比4）比前齿轮36齿/后齿轮18齿（传动比2）行驶距离更远。 3.已知行驶距离反推齿轮参数 公式变形：前齿轮齿数 =（行驶距离 × 后齿轮齿数）÷（πd）；后齿轮齿数 =（前齿轮齿数 × πd）÷ 行驶距离。 五、易错点与注意事项 1.单位统一：计算时需确保车轮直径单位为厘米（或米），避免因单位混乱导致结果错误（如直径70cm=0.7m，周长计算需对应单位）。 2.传动比理解：前齿轮齿数越多、后齿轮齿数越少，传动比越大，车轮转得越快，而非“前齿轮转得快”。 3.实际误差：公式计算为理论值，实际行驶中因链条打滑、路面阻力等因素，实际距离可能略小于理论值。 4.变速组合重复：部分变速自行车的不同齿轮组合可能传动比相同（如前40/后20与前30/后15，传动比均为2），需注意区分有效组合。 考点讲练 考点一：自行车里的数学 【典例精讲】小明新买了一辆自行车，车轮外直径约60cm，前齿轮有24个齿，后齿轮有15个齿，如果小明蹬一圈，他的自行车大约能前进　 　m． 【答案】3米 【详解】试题分析：先求出车轮的周长，然后再根据前后齿轮的齿数比，确定蹬一圈前齿轮要带动后轮走圈，于是可以求出前齿轮转动一圈，车轮所走的距离，再除以100化成米数即可． 解：自行车车轮的周长：3.14×60=188.4（厘米）， 蹬一圈自行车走的距离：188.4×， =301.44（厘米）， =3.0144米， ≈3米； 答：如果小明蹬一圈，他的自行车大约能前进3米． 点评：解答此题的关键是明白：蹬一圈前齿轮要带动后轮走圈，进而逐步求解． 【变式训练】一种变速自行车，有2个前齿轮，6个后齿轮，能变出 种速度． 【答案】12 【详解】试题分析：由题意知每个前齿轮和6种后齿轮有6种搭配方法，根据乘法原理即可计算出2个前齿轮和6个后齿轮能搭配多少种不同速度． 解：2×6=12（种）； 答：能变出12种速度． 故答案为12． 【点评】本题分步选择：先确定前齿轮有几种方法，再确定后齿轮有几种方法，所以根据乘法原理计算． 【变式训练】一个自行车前轮齿数是36个，后轮齿数是18个，前后轮齿数的比是( )∶( )，也就是说脚蹬蹬一圈，车轮会转( )圈。 【答案】 2 1 2 【分析】根据题意，直接写出前后轮齿数的比即可；前后轮齿数的比值即为车轮转动的圈数。 【详解】前后轮齿数的比是36∶18＝2∶1； 2∶1＝2 【点睛】明确前后轮齿数的比值就是车轮转动的圈数是解答本题的关键。 【变式训练】一辆普通自行车的前齿轮数是26，后齿轮数是16，后齿轮转数是13转时，前齿轮转数是( )转。车轮半径是33厘米，后车轮滚动一圈，自行车大约前进了( )米。 【答案】 8 2.0724 【分析】根据题意可知，33厘米＝0.33米，前齿轮齿数×前齿轮转动圈数＝后齿轮齿数×后齿轮转动圈数，据此用16×13÷26即可求出当后齿轮转数是13时，前齿轮转数是多少；后齿轮转动圈数就是车轮转动的圈数，根据圆周长公式用3.14×0.33×2即可求出骑行车前进的米数。 【详解】16×13÷26 ＝208÷26 ＝8（转） 33厘米＝0.33米 3.14×0.33×2＝2.0724（米） 一辆普通自行车的前齿轮数是26，后齿轮数是16，后齿轮转数是13转时，前齿轮转数是8转。车轮半径是33厘米，后车轮滚动一圈，自行车大约前进了2.0724米。 【点睛】此题首先判定前、后齿轮转数和齿数的关系，再结合自行车前、后齿轮和车轮的关系解决问题。 综合训练 1．一辆自行车，前齿轮齿数为32，后齿轮齿数为12。当前齿轮转数是3转时，后齿轮转数是（    ）转。 A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】在同一时间内，自行车的两个齿轮转动的总齿数是相同的，即每个齿轮的齿数×转数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，则每个齿轮的齿数与转数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设当前齿轮转数是3转时，后齿轮转数是转。 12＝32×3 12＝96 12÷12＝96÷12 ＝8 当前齿轮转数是3转时，后齿轮转数是8转。 故答案为：A 2．一辆变速自行车前齿轮的齿数有48个和40个两种，后齿轮有28、24、20、18、16个五种，自行车车轮的周长大约为2米，至少要蹬（    ）圈才能通过一条240米长的桥。 A．18 B．20 C．40 D．30 【答案】C 【分析】根据“前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值越大，自行车走得越远”可知，前齿轮齿数为48个，后齿轮为16个时，自行车走得最远，蹬一圈自行车前进的距离为×2，求出蹬一圈的距离，再用桥的长度÷蹬一圈自行车前进的距离，即可解答。 【详解】×2＝6（米） 240÷6＝40（圈） 一辆变速自行车前齿轮的齿数有48个和40个两种，后齿轮有28、24、20、18、16个五种，自行车车轮的周长大约为2米，至少要40圈才能通过一条240米长的桥。 故答案为：C 3．一辆自行车，行驶中后齿轮转24圈，前齿轮转14圈，则前齿轮和后齿轮的齿数最简比（    ）。 A．12∶7 B．14∶24 C．7∶12 D．24∶14 【答案】A 【分析】前后齿轮行驶的路程相等，齿轮齿数×转的圈数＝行驶的路程，等量关系式：后轮齿数×后轮转的圈数＝前轮齿数×前轮转的圈数，据此解答。 【详解】解：设前轮齿数有x个，后轮齿数有y个。 14x=24y 前齿轮和后齿轮的齿数最简比12∶7。 故答案为：A 4．小强的自行车前齿轮是39个齿，后齿轮是13个齿，车轮直径是57cm；小明的自行车前齿轮是46个齿，后齿轮是23个齿，车轮直径是70cm，（    ）的自行车蹬一圈走得更远。 A．小强 B．小明 C．一样远 D．不能确定 【答案】A 【分析】先求出车轮的周长，然后再根据前后齿轮的齿数比，即求出前齿轮除以后齿轮的数值，数值是多少，就能确定蹬一圈前齿轮要带动后轮走几圈，于是可以求出前齿轮转动一圈车轮所走的距离。据此分别计算小强的自行车和小明的自行车蹬一圈所走的距离，比较两者大小即可。 【详解】3.14×57×（39÷13） ＝178.98×3 ＝536.94（cm） 3.14×70×（46÷23） ＝219.8×2 ＝439.6（cm） 536.94＞439.6 所以小强的自行车蹬一圈走得更远。 故答案为：A 【点睛】此题的解题关键是明确车轮的周长与蹬的圈数之间的关系。 5．一款捷豹牌变速自行车，前齿轮分别为36齿、24齿；后齿轮为28齿、26齿、24齿、18齿，其中最快速度的组合是（    ）。 A．48∶32 B．48∶18 C．36∶32 D．36∶18 【答案】D 【分析】根据变速自行车原理，前后齿轮数的比值越大，前齿轮转一圈，后齿轮所转的圈数就越多，所以得出前齿轮齿数最多，后齿轮齿数最少时自行车跑得最远。 【详解】前齿轮齿数最多是36齿，后齿轮齿数最少18齿，这时自行车跑得最远，最快速度的组合是36∶18。 故选：D。 【点睛】主要依据变速自行车原理来组合，即前后齿轮数的比值越大，前齿轮转一圈，后齿轮所转的圈数就越多。 6．一款自行车，有2个不同的前齿轮，7个不同的后齿轮，这款自行车能变化出（    ）种速度。 A．9 B．14 C．24 D．36 【答案】B 【分析】根据题意可知，每个前齿轮和7个不同的后齿轮有7中搭配方法，根据乘法原理即可求出2个不同的前齿轮和7个不同的后齿轮有多少搭配方法。 【详解】2×7＝14（种）； 故答案为：B。 【点睛】解答本题时分步选择，先确定前齿轮有几种方法，再确定后齿轮有几种方法，再根据乘法原理解答。 7．小明有一辆自行车，车轮的直径是0.8米，前齿轮有40个齿，后齿轮有16个齿，小明蹬一圈能走( )米。 【答案】6.28 【分析】自行车行驶时，前齿轮转动1圈的齿数＝后齿轮转动n圈的齿数。设后齿轮转动n圈，可得：前齿轮齿数×1＝后齿轮齿数×n即n＝前齿轮齿数÷后齿轮齿数。前齿轮有40个齿，后齿轮有16个齿，代入公式得：40÷16＝2.5（圈），这意味着小明蹬1圈，车轮会随之转动2.5圈。车轮是圆形，直径为0.8米，根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14，d为直径），车轮周长为3.14×0.8＝2.512（米），即车轮转1圈，自行车前进2.512米。车轮转2.5圈的总距离＝车轮周长×转动圈数，即2.512×2.5＝6.28（米）。 【详解】设后齿轮转动n圈。 前齿轮齿数×1＝后齿轮齿数×n n＝前齿轮齿数÷后齿轮齿数 40÷16＝2.5（圈） 3.14×0.8＝2.512（米） 2.512×2.5＝6.28（米） 答：小明蹬一圈能走6.28米。 8．一辆自行车的前后齿轮的齿数比是5∶3，如果后轮转20圈，前轮要转( )圈。 【答案】12 【分析】前齿轮齿数×前齿轮转数＝后齿轮齿数×后齿轮转数，转的总齿数一定，齿轮的齿数与转动的圈数成反比例，把前齿轮的齿数看作5，后齿轮的齿数看作3，设前轮要转x圈，列比例为5x＝3×20，解比例即可得出。 【详解】解：设前轮要转x圈。 5x＝3×20 5x＝60 x＝60÷5 x＝12 所以前轮要转12圈。 9．有一种变速自行车有2个前齿轮，齿数分别是48个和36个，5个后齿轮，齿数分别是：28、24、22、20、16个齿。这辆自行车能变化出( )种速度，蹬同样的圈数，( )组合自行车走得最远。 【答案】 10 前齿轮48齿和后齿轮16齿 【分析】变速自行车的不同速度由前齿轮和后齿轮的齿数比决定。前齿轮有2种（48齿、36齿），后齿轮有5种（28齿、24齿、22齿、20齿、16齿），总共有2×5＝10种组合。当齿数比值（前齿轮齿数÷后齿轮齿数）最大时，自行车走得最远。 前齿轮48齿对应的齿数比值：48÷28≈1.714，48÷24＝2，48÷22≈2.182，48÷20＝2.4，48÷16＝3。前齿轮36齿对应的齿数比：36÷28≈1.286，36÷24＝1.5，36÷22≈1.636，36÷20＝1.8，36÷16＝2.25。然后比较大小即可。 【详解】前齿轮有2种，后齿轮有5种。 2×5＝10（种） 前齿轮48齿对应的齿数比值： 48÷28≈1.714，48÷24＝2，48÷22≈2.182，48÷20＝2.4，48÷16＝3 前齿轮36齿对应的齿数比值： 36÷28≈1.286，36÷24＝1.5，36÷22≈1.636，36÷20＝1.8，36÷16＝2.25 综上，最大齿数比值为3，对应前齿轮48齿和后齿轮16齿的组合。 这辆自行车能变化出10种速度，蹬同样的圈数，前齿轮48齿和后齿轮16齿组合自行车走得最远。 10．一辆自行车，前齿轮有54个齿，后齿轮有27个齿，车轮直径是5dm，如果每秒蹬2圈（即前齿轮转2圈），则这辆自行车通过一座1507.2m的大桥，需要( )分钟。（自行车车身长忽略不计） 【答案】4 【分析】已知自行车车轮直径是5dm，先根据进率“1m＝10dm”换算单位；然后根据圆的周长公式C＝πd，求出车轮转一圈行驶的距离。 已知前齿轮有54个齿，后齿轮有27个齿，在相同时间内，前齿轮齿数×前齿轮转的圈数＝后齿轮齿数×后齿轮转的圈数，所以前、后齿轮的齿数与它们的转数成反比例关系。所以前齿轮转1圈，后齿轮转54÷27＝2圈；前齿轮转2圈，则后齿轮转4圈，也就是车轮每秒转4圈。 用车轮转一圈行驶的距离乘4圈，求出自行车车轮每秒行驶的距离，即自行车的车速；根据“时间＝路程÷速度”，用要通过的一座大桥的长度除以自行车的车速，求出通过这座大桥需要的时间，并根据进率“1分＝60秒”换算单位。 【详解】5dm＝0.5m 3.14×0.5＝1.57（m） 2×（54÷27） ＝2×2 ＝4（圈） 1.57×4＝6.28（m） 1507.2÷6.28＝240（秒） 240秒＝4分钟 则这辆自行车通过一座1507.2m的大桥，需要4分钟。 11．一辆自行车的前齿轮有40个齿，后齿轮有20个齿，当前齿轮转动5圈时，后齿轮会转动( )圈。 【答案】10 【分析】在齿轮传动中，链条带动两个齿轮转动时，前齿轮转动的总齿数等于后齿轮转动的总齿数。因此，前齿轮齿数×转动圈数＝后齿轮齿数×转动圈数；可设后齿轮转动x圈，据此此列出方程求解即可。 【详解】解：设后齿轮转动x圈。 20x＝40×5 20x＝200 20x÷20＝200÷20 x＝10 所以，当前齿轮转动5圈时，后齿轮会转动10圈。 12．张丽买了一辆儿童自行车，前齿轮齿数是32，后齿轮齿数是16，后齿轮转数是8转时，前齿轮转数是( )转。车轮半径是20cm，蹬一圈，自行车前进了( )cm。 【答案】 4 125.6 【分析】根据题意可知，前齿轮、后齿轮转过的总齿数相等，即齿轮的齿数×转的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，则齿轮的齿数和转的圈数成反比例，据此列出反比例方程，并求解。 已知车轮半径是20cm，求蹬一圈，自行车前进了的距离，就是求半径为20cm的圆的周长，根据圆的周长公式C＝2πr求解。 【详解】解：设前齿轮转数是x转。 32x＝16×8 32x＝128 x＝128÷32 x＝4 2×3.14×20＝125.6（cm） 前齿轮转数是4转。蹬一圈，自行车前进了125.6cm。 13．很多城市的出租车按里程收费，在一定的里程内按起步价收费，超出规定里程部分的费用与超出的里程成正比例关系。某出租车公司规定起步价里程为3km，小明乘坐6km，付费17.5元；小东乘坐14km，付费37.5元。该出租车公司的起步价是多少元？ 【答案】 10元 【分析】先用37.5元减去17.5元，求出小东比小明多付的费用，再用14km减去6km，求出小东比小明多乘坐的里程数；用多付的费用除以多乘坐的里程数即可求出超出3千米的里程的单价，用超出里程的单价乘小明超出的里程，求出小明超出里程应付的车费。最后，用小明付的总车费17.5元减去他超出里程付的车费，求出该出租车公司的起步价。据此解答。 【详解】 （元） （元） 答：该出租车公司的起步价是10元。 14．在一节综合实践活动课中，胡老师骑山地自行车行驶了100米，求车轮的直径？（结果保留两位小数） 【答案】0.80米 【分析】由题意可知，自行车前轮齿数是后轮齿数的倍，即车轮转的圈数是胡老师蹬的圈数的2倍，用自行车行驶的距离除以20×2的积，得到车轮每圈的长度，即车轮的周长，再根据的逆运算，用除法求出直径，结果采用“四舍五入法”保留两位小数即可。 【详解】 （米） （米） 答：车轮的直径是0.80米。 15．自行车的两个齿轮，通过链条转动，一辆自行车的大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分钟转12圈，那么小齿轮每分钟转多少圈？（用比例来解） 【答案】30圈 【分析】在同一时间内，自行车的两个齿轮转动的总齿数是相同的，即每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，则每个齿轮的齿数与转过的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设小齿轮每分钟转圈。 20＝50×12 20＝600 ＝600÷20 ＝30 答：小齿轮每分钟转30圈。 16．一辆自行车前齿轮有36个齿，后齿轮有18个齿。蹬一圈，自行车前进5米。自行车的车轮直径大约是多少米？（得数保留两位小数） 【答案】米 【分析】蹬一圈，是前齿轮转一圈，后齿轮不止转一圈，又因为前齿轮齿数×转数＝后齿轮齿数×转数，则后齿轮转的圈数＝前齿轮齿数×转数÷后齿轮齿数，即蹬一圈，后齿轮转动2圈。2圈是5米，平均一圈是2.5米，即车轮的周长是2.5米，根据圆的直径＝圆的周长÷π得出直径的大小。得数保留两位小数就是除到小数点第三位，再根据“四舍五入”得出小数。 【详解】1×36÷18＝2（圈） 5÷2＝2.5（米） 2.5÷3.14≈0.80（米） 答：自行车的车轮直径大约是0.8米。 17．一辆自行车前齿轮齿数是26，后齿轮齿数为16，车轮直径为66厘米。 （1）蹬一圈能走多远？（得数保留一位小数） （2）园园家离学校680米，她骑这辆自行车上学大约要蹬（    ）圈。 【答案】（1）3.4米 （2）200 【分析】（1）已知车轮直径是66厘米，先根据圆的周长公式C＝πd，求出车轮的周长； 因为前轮和后轮走过的路程是一定的，则齿轮齿数与转数成反比例，即前齿轮齿数×前齿轮转数＝后齿轮齿数×后齿轮转数，蹬一圈，前齿轮转一圈，则后齿轮转数＝，由此可得：自行车走的距离＝车轮周长×，据此求出蹬一圈自行车能走的距离。 （2）用园园家离学校的距离除以蹬一圈自行车走的距离，即是大约要蹬的圈数。 【详解】（1）66厘米＝0.66米 3.14×0.66＝2.0724米 2.0724× ＝2.0724×1.625 ≈3.4（米） 答：蹬一圈能走3.4米。 （2）680÷3.4＝200（圈） 她骑这辆自行车上学大约要蹬200圈。 18．一辆自行车的前齿轮齿数是34个，后齿轮齿数是24个，车轮半径是33厘米，这辆自行车蹬一圈大约能走多少厘米？ 【答案】293.59厘米 【分析】自行车蹬一圈走的距离＝后轮外直径×π×（前齿轮数÷后齿轮数），据此公式来解答。 【详解】2×3.14×33×（34÷24）≈293.59（厘米） 答：蹬一圈大约能走293.59米。 【点睛】理解并熟练运用公式：自行车瞪一圈走的距离＝后轮外直径×π×（前齿轮数÷后齿轮数）是解决此题的关键。 19．杂技人员骑独轮车走一段钢丝需蹬28圈，车轮直径为。如果骑双轮自行车走过这段钢丝（从前轮上钢丝到后轮下钢丝），大约需蹬多少圈？（得数保留整数） ：双轮自行车的前、后齿轮的齿数比为，前、后车轮的圆心的距离是，前、后车轮直径均为。 【答案】15圈 【分析】双轮自行车通过钢丝要比独轮车多走一个双轮自行车前、后车轮的圆心的距离，先根据需蹬独轮车的圈数和独轮车车轮直径求出钢丝的长度：，再根据“自行车前进距离＝蹬的圈数×前齿轮齿数钢丝长度＋双轮自行车前、后车轮的圆心的距离”，列出方程，由此解答即可。 【详解】 ＝125.6×28 ＝3516.8（厘米） 解：设大约需蹬x圈。 235.5x＝3636.8 x≈15 答：大约需蹬15圈。 【点睛】本题较难，明确双轮自行车比独轮车多走一个双轮自行车前、后车轮的圆心的距离是关键，进而明确关系式：“蹬的圈数×前齿轮齿数钢丝长度＋双轮自行车前、后车轮的圆心的距离”。 20．小智观察到他的自行车，前齿轮齿数是48，后齿轮齿数是16，又测量出车轮的半径是30cm。请帮他算算，蹬一圈，这辆自行车前进了多少厘米？ 【答案】565.2厘米 【分析】①在自行车前进的过程中，前后齿轮的齿数与转动转数间的关系：（因为链条的孔和每一个齿是一一对应的，所以前齿轮和后齿轮走过的总齿数是相同的）因为总齿数（一定）＝齿轮的齿数×转数，所以有：前齿轮齿数×前齿轮转的圈数＝后齿轮齿数×后齿轮转的圈数；②因为前齿轮带动后齿轮转动，蹬一圈，前齿轮转一圈，后齿轮不止转一圈，后轮也就不止转一圈。所以先求蹬一圈，后齿轮转几圈。即前齿轮1圈×前齿轮齿数＝后齿轮圈数×后齿轮齿数，故：后轮圈数＝前齿轮齿数÷后齿轮齿数，所以瞪一圈所走的路程＝车轮周长×。 【详解】 答：蹬一圈，这辆自行车前进了565.2厘米。 【点睛】这属于反比例问题，因为前齿轮起主导作用，故把前齿轮转一圈时后齿轮的转数表示为：后轮圈数＝前齿轮齿数÷后齿轮齿数，蹬一圈后齿轮的转数有了，再乘车轮周长，就是蹬一圈自行车行进的路程了。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自行车里的数学 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、基本概念 1 二、核心原理 1 三、实际应用 2 四、解题方法 2 五、易错点与注意事项 3 考点讲练 3 考点一：自行车里的数学 3 综合训练 3 知识梳理 一、基本概念 1.自行车主要部件及作用 前齿轮：安装在脚踏板轴上，随脚踏板转动，是动力输入部件，齿数通常较多（如48齿、52齿等）。 后齿轮：安装在自行车后轮轴上，通过链条与前齿轮连接，齿数通常较少（如16齿、20齿等）。 链条：连接前齿轮和后齿轮，传递动力，保证前齿轮转动时带动后齿轮同步转动。 车轮：后齿轮转动时带动车轮转动，车轮周长决定自行车行驶距离，车轮直径通常用厘米作单位（如60cm、70cm等）。 二、核心原理 1.齿轮传动关系 前齿轮转动1圈，链条移动的长度 = 前齿轮齿数（每个齿对应链条上的一个链节，前齿轮转1圈，链条移动的链节数等于前齿轮齿数）。 链条移动的长度等于后齿轮转动的链节数，因此后齿轮转动圈数 = 前齿轮齿数 ÷ 后齿轮齿数（即传动比 = 前齿轮齿数 : 后齿轮齿数）。 结论：后齿轮转动圈数 = 前齿轮齿数 / 后齿轮齿数，且后齿轮与车轮同轴，故车轮转动圈数 = 后齿轮转动圈数。 2.蹬一圈自行车行驶距离公式 车轮周长 = π × 车轮直径（π通常取3.14，直径单位需统一为厘米）。 蹬一圈自行车行驶距离 = 车轮周长 × 后齿轮转动圈数 = 车轮周长 ×（前齿轮齿数 ÷ 后齿轮齿数）。 公式：行驶距离 = πd ×（前齿轮齿数 / 后齿轮齿数）（d为车轮直径，单位：厘米；结果单位：厘米，可换算为米）。 三、实际应用 1.单速自行车行驶距离计算 例：一辆单速自行车，前齿轮齿数48，后齿轮齿数16，车轮直径70cm，求蹬一圈行驶距离。 步骤：① 车轮周长 = 3.14×70 = 219.8cm；② 后齿轮转动圈数 = 48÷16 = 3圈；③ 行驶距离 = 219.8×3 = 659.4cm = 6.594m。 2.变速自行车的齿轮组合与应用 变速自行车通过改变前、后齿轮的齿数组合，实现“变速”或“省力”： 高速组合：前齿轮齿数多（如52齿）、后齿轮齿数少（如14齿），此时传动比大（52:14≈3.71），车轮转动圈数多，行驶速度快，但蹬车费力（适合平路、下坡）。 省力组合：前齿轮齿数少（如32齿）、后齿轮齿数多（如28齿），此时传动比小（32:28≈1.14），车轮转动圈数少，行驶速度慢，但蹬车省力（适合上坡、逆风）。 变速自行车可组合的传动比数量 = 前齿轮个数 × 后齿轮个数（如前3个齿轮、后6个齿轮，共3×6=18种组合）。 四、解题方法 1.已知齿轮齿数和车轮直径，求行驶距离 步骤：① 计算车轮周长（πd）；② 计算传动比（前齿轮齿数 ÷ 后齿轮齿数）；③ 行驶距离 = 车轮周长 × 传动比。 2.比较不同齿轮组合的行驶距离 方法：在车轮直径相同的情况下，比较传动比大小，传动比越大，蹬一圈行驶距离越远。 例：前齿轮40齿/后齿轮20齿（传动比2）与前齿轮36齿/后齿轮18齿（传动比2），行驶距离相同；前齿轮48齿/后齿轮12齿（传动比4）比前齿轮36齿/后齿轮18齿（传动比2）行驶距离更远。 3.已知行驶距离反推齿轮参数 公式变形：前齿轮齿数 =（行驶距离 × 后齿轮齿数）÷（πd）；后齿轮齿数 =（前齿轮齿数 × πd）÷ 行驶距离。 五、易错点与注意事项 1.单位统一：计算时需确保车轮直径单位为厘米（或米），避免因单位混乱导致结果错误（如直径70cm=0.7m，周长计算需对应单位）。 2.传动比理解：前齿轮齿数越多、后齿轮齿数越少，传动比越大，车轮转得越快，而非“前齿轮转得快”。 3.实际误差：公式计算为理论值，实际行驶中因链条打滑、路面阻力等因素，实际距离可能略小于理论值。 4.变速组合重复：部分变速自行车的不同齿轮组合可能传动比相同（如前40/后20与前30/后15，传动比均为2），需注意区分有效组合。 考点讲练 考点一：自行车里的数学 【典例精讲】小明新买了一辆自行车，车轮外直径约60cm，前齿轮有24个齿，后齿轮有15个齿，如果小明蹬一圈，他的自行车大约能前进　 　m． 【变式训练】一种变速自行车，有2个前齿轮，6个后齿轮，能变出 种速度． 【变式训练】一个自行车前轮齿数是36个，后轮齿数是18个，前后轮齿数的比是( )∶( )，也就是说脚蹬蹬一圈，车轮会转( )圈。 【变式训练】一辆普通自行车的前齿轮数是26，后齿轮数是16，后齿轮转数是13转时，前齿轮转数是( )转。车轮半径是33厘米，后车轮滚动一圈，自行车大约前进了( )米。 综合训练 1．一辆自行车，前齿轮齿数为32，后齿轮齿数为12。当前齿轮转数是3转时，后齿轮转数是（    ）转。 A．8 B．9 C．10 D．12 2．一辆变速自行车前齿轮的齿数有48个和40个两种，后齿轮有28、24、20、18、16个五种，自行车车轮的周长大约为2米，至少要蹬（    ）圈才能通过一条240米长的桥。 A．18 B．20 C．40 D．30 3．一辆自行车，行驶中后齿轮转24圈，前齿轮转14圈，则前齿轮和后齿轮的齿数最简比（    ）。 A．12∶7 B．14∶24 C．7∶12 D．24∶14 4．小强的自行车前齿轮是39个齿，后齿轮是13个齿，车轮直径是57cm；小明的自行车前齿轮是46个齿，后齿轮是23个齿，车轮直径是70cm，（    ）的自行车蹬一圈走得更远。 A．小强 B．小明 C．一样远 D．不能确定 5．一款捷豹牌变速自行车，前齿轮分别为36齿、24齿；后齿轮为28齿、26齿、24齿、18齿，其中最快速度的组合是（    ）。 A．48∶32 B．48∶18 C．36∶32 D．36∶18 6．一款自行车，有2个不同的前齿轮，7个不同的后齿轮，这款自行车能变化出（    ）种速度。 A．9 B．14 C．24 D．36 7．小明有一辆自行车，车轮的直径是0.8米，前齿轮有40个齿，后齿轮有16个齿，小明蹬一圈能走( )米。 8．一辆自行车的前后齿轮的齿数比是5∶3，如果后轮转20圈，前轮要转( )圈。 9．有一种变速自行车有2个前齿轮，齿数分别是48个和36个，5个后齿轮，齿数分别是：28、24、22、20、16个齿。这辆自行车能变化出( )种速度，蹬同样的圈数，( )组合自行车走得最远。 10．一辆自行车，前齿轮有54个齿，后齿轮有27个齿，车轮直径是5dm，如果每秒蹬2圈（即前齿轮转2圈），则这辆自行车通过一座1507.2m的大桥，需要( )分钟。（自行车车身长忽略不计） 11．一辆自行车的前齿轮有40个齿，后齿轮有20个齿，当前齿轮转动5圈时，后齿轮会转动( )圈。 12．张丽买了一辆儿童自行车，前齿轮齿数是32，后齿轮齿数是16，后齿轮转数是8转时，前齿轮转数是( )转。车轮半径是20cm，蹬一圈，自行车前进了( )cm。 13．很多城市的出租车按里程收费，在一定的里程内按起步价收费，超出规定里程部分的费用与超出的里程成正比例关系。某出租车公司规定起步价里程为3km，小明乘坐6km，付费17.5元；小东乘坐14km，付费37.5元。该出租车公司的起步价是多少元？ 14．在一节综合实践活动课中，胡老师骑山地自行车行驶了100米，求车轮的直径？（结果保留两位小数） 15．自行车的两个齿轮，通过链条转动，一辆自行车的大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分钟转12圈，那么小齿轮每分钟转多少圈？（用比例来解） 16．一辆自行车前齿轮有36个齿，后齿轮有18个齿。蹬一圈，自行车前进5米。自行车的车轮直径大约是多少米？（得数保留两位小数） 17．一辆自行车前齿轮齿数是26，后齿轮齿数为16，车轮直径为66厘米。 （1）蹬一圈能走多远？（得数保留一位小数） （2）园园家离学校680米，她骑这辆自行车上学大约要蹬（    ）圈。 18．一辆自行车的前齿轮齿数是34个，后齿轮齿数是24个，车轮半径是33厘米，这辆自行车蹬一圈大约能走多少厘米？ 19．杂技人员骑独轮车走一段钢丝需蹬28圈，车轮直径为。如果骑双轮自行车走过这段钢丝（从前轮上钢丝到后轮下钢丝），大约需蹬多少圈？（得数保留整数） ：双轮自行车的前、后齿轮的齿数比为，前、后车轮的圆心的距离是，前、后车轮直径均为。 20．小智观察到他的自行车，前齿轮齿数是48，后齿轮齿数是16，又测量出车轮的半径是30cm。请帮他算算，蹬一圈，这辆自行车前进了多少厘米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $