方城县第一高级中学2025-2026学年高二上学期模拟练习数学试题

方城县第一高级中学2026年高二上学期模拟练习数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．设为正数，为的等差中项，为的等比中项，则与的大小关为 A． B． C． D． 3．若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则m的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 4．双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α，β的法向量分别为，若，则（    ） A．2 B．-2 C． D．6 7．双曲线的焦点到其渐近线的距离为（   ） A． B．1 C．3 D．9 8．在平面直角坐标系中，过点与圆相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知椭圆，，是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（    ） A．椭圆离心率为 B． C． D．的最大值为3 10．设空间向量．若不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A． B． C． D． 11．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2，依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令.给出下列四个结论，正确的是（    ） A．第三次得到的数列共9项 B． C．数列是等比数列 D．对每个正整数，以为边长能构成一个三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知直线是圆的切线，点和点到的距离相等，则直线的方程可以是 .（写出一个满足条件的即可） 13．已知一个双曲线的方程为，则的取值范围是 . 14．已知，，是公差为的等差数列，，，，是公比为的等比数列，如果，且，那么的最小值是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知数列是等差数列，记其前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列．证明：． 16．△ABC的三个顶点是，，.求： (1)边BC上的中线所在直线的一般式方程； (2)边BC上的高线所在直线的斜截式方程. 17．已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． (1)求圆C的标准方程； (2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 18．已知椭圆 经过点 . (1)求椭圆 的方程及离心率； (2)设椭圆 的左顶点为 ，直线 与 相交于 两点，直线 与直线 相交于点 . 问: 直线 是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 19．在直三棱柱中，，点是的中点，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《方城县第一高级中学2026年高二上学期模拟练习数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D C A C D ACD AB 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 2．B 【解析】由等差中项及等比中项的运算可得，，再结合即可得解. 【详解】解：因为为正数，为的等差中项，为的等比中项， 则，， 又，当且仅当时取等号， 又， 所以， 故选：B. 【点睛】本题考查了等差中项及等比中项的运算，重点考查了重要不等式的应用，属基础题. 3．A 【分析】找到椭圆的右焦点，利用的准线过焦点，即可求解. 【详解】解：椭圆的右焦点，抛物线的准线经过椭圆的右焦点，可得，解得． 故选：A． 4．D 【分析】根据双曲线的几何性质，求得渐近线方程，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为，可得， 可得，所以双曲线的渐近线方程为，即， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆不相交，不符合题意； 当当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆相交，符合题意， 所以. 故选：D. 5．C 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【详解】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 6．A 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合面面垂直的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A 7．C 【分析】法一：求出渐近线方程，利用点到直线距离公式进行求解；法二：利用结论“双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长”直接得到答案. 【详解】法一：双曲线的渐近线方程为，焦点， 焦点到渐近线的距， 法二：利用结论“双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长”得，. 故选：C． 8．D 【分析】分为切线的斜率是否存在两种情况，结合直线与圆相切的条件列式即可得到答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆相切的直线方程是或. 故选：D. 9．ACD 【分析】根据椭圆的方程求得，结合椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于A，椭圆的离心率，故A正确； 对于B，由椭圆的定义，可得，故B错误； 对于C，当点为椭圆的左、右顶点时，最小，且最小值为， 当点为椭圆的上、下顶点时，最大，此时， 为等边三角形，则， 根据椭圆的几何性质，得，故C正确； 对于D，由椭圆的几何性质，当点为椭圆的右顶点时，可得，故D正确. 故选：ACD 10．AB 【分析】A选项可由判断；其余选项均可设，利用坐标运算得出方程组，根据其解的情况来判断. 【详解】当时，， 所以与共线，则共面， 所以不能构成空间向量的一组基底，故A符合题意； 假设， 则， 当时，方程组为，解得，故， 则共面，故B符合题意； 当时，方程组为，无解，故不共面， 可构成空间向量的一组基底，C不符合题意； 当时，方程组为，无解，故不共面， 可构成空间向量的一组基底，D不符合题意. 故选：AB． 11．AC 【分析】由数列的新定义可判断AB；根据递推关系构造数列，根据等比数列的定义判断C；根据等比数列的通项公式求出，再根据函数的单调性化简即可判断D. 【详解】第三次得到的数列，在第二次得到的数列的基础上增加4项，共9项，所以A正确； 由已知，，所以， 当时，设第次构造后得到的数列为，则， 则第次构造后得到的数列为， 则，所以B不正确； 因，则，所以， 因，则， 所以，数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以C正确； 因为数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以， 函数在定义域上单调递增，所以对每一个正整数有， 假设以为边长能构成一个三角形，所以， 从而，即， 即，显然不成立，所以D不正确. 故选：AC 12．（写出一个满足条件的即可） 【分析】当时设的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求出，若经过的中点，分斜率存在与斜率不存在两种情况讨论，分别求出切线方程，即可得解. 【详解】若，此时的斜率为. 设的方程为，则点到的距离，解得， 因此的方程为或. 若经过的中点， 当的斜率不存在时，此时的方程为，满足与圆相切； 当的斜率存在时，设其方程为， 则点到直线的距离，解得，此时直线的方程为. 故答案为：（写出一个满足条件的即可）. 13．或 【分析】利用双曲线的标准方程列式求解. 【详解】表示双曲线， ，或. 故答案为：或. 14． 【分析】根据给定条件，利用等差数列、等比数列的通项，结合不等式性质求出的最小值. 【详解】依题意，， 则，即，而，因此， 当时，取，不等式成立， 所以的最小值是. 故答案为： 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，得到，再由，得到，联立方程组，求得，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，得到，根据题意，得到，再结合，即可结算分析得证. 【详解】（1）因为数列是等差数列，前项和为，且， 所以，可得， 又因为，所以，所以， 联立方程组，解得， 所以数列的通项公式． （2）证明：由（1）知，数列的通项公式， 可得，所以， 因为， 所以对任意正整数有， 所以将数列与的所有项从小到大排列得到的数列的通项公式为， 则，所以当时，； 所以当时，， 所以， 综上可得． 16．(1) (2) 【分析】（1）先求出线段中点的坐标，然后求出中线的斜率，进而可求得中线的一般方程. （2）先求出边BC的斜率，然后根据垂直关系求出其上的高的斜率，从而可求出高线所在直线的斜截式方程. 【详解】（1）BC的中点坐标为，即； 所以中线的斜率为， 则边BC上的中线所在直线的方程为， 即一般式方程为. （2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为， 即斜截式方程为. 17．(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【详解】（1）首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 18．(1); (2)直线过定点 【分析】（1）根据椭圆经过点即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率； （2）写出直线的方程为，即可求得点，再利用点斜式表示得直线的方程为，即可求出与轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线NQ恒过的定点. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 所以，解得， 所以椭圆E的方程为， 因为所以， 所以离心率为. （2）直线过定点，理由如下： 由可得， 显然， 设则有 直线的方程为 令，解得，则， 所以直线的斜率为且， 所以直线的方程为 令，则 所以直线过定点. 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点，连结，证明四边形为平行四边形可得，再根据线面平行的判定定理证明即可； （2）解法一：在平面中，过作，根据线面垂直的判定定理和性质定理可知为点到平面的距离，利用勾股定理求即可；解法二：以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可； （3）求出平面与平面的法向量，利用夹角公式求解即可. 【详解】（1）如图所示，取中点，连结，    因为直三棱柱中点是的中点，点是的中点， 所以，且， 即且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）解法一：因三棱柱为直三棱柱，所以， 又，即， 因为，平面，所以平面， 在平面中，过作，因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 故为点到平面的距离，    在等腰三角形中，， 所以. 解法二：因为直三棱柱中，所以两两垂直， 以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以，，， 设平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. （3）易知是平面的法向量，设是平面的法向量， 因为，， 则，解得平面的一个法向量， 设角是平面与平面的夹角， 则， 由题知二面角的平面角是钝角， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 答案第12页，共13页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $