专题3.1随机事件+等可能情形下的概率计算（高效培优讲义，6知识&7题型精讲+强化训练）数学沪科版九年级下册

本讲义聚焦随机事件与等可能情形下的概率计算核心知识点，从事件类型（必然、不可能、随机事件）的认识出发，逐步过渡到概率的意义、计算公式，再到列表法、树状图法等列举工具的应用，构建从概念理解到方法运用的完整学习支架。 该资料以生活实例（如转盘游戏、抽奖问题）为载体，通过“即学即练”和分层题型设计，培养学生用数学眼光观察随机现象，用数学思维推理事件概率，用数学语言表达实际问题。课中助力教师高效授课，课后通过综合练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

专题3.1随机事件+等可能情形下的概率计算 教学目标 1.熟练掌握什么是随机事件，并能举例说明. 2.给出一些事件，能准确判断它们是必然事件、不可能事件还是随机事件. 3.理解概率的意义，了解概率与现实生活的联系，并会用符号表示概率. 4.掌握等可能情形下的概率的计算公式，并会用这个公式求简单随机事件的概率. 5.能够应用画树状图法或列表法求等可能情形下的事件的概率. 6.通过利用概率解决实际生活中的问题，体会数学来源于生活又应用于生活. 教学重难点 教学重点：熟练运用列举法求概率，明确不同方法的适用场景：两步试验用列表法，三步及以上试验用树状图法，避免结果重复或遗漏。能结合实际情境，准确识别等可能试验，套用公式解决简单概率问题。 教学难点：面对复杂试验，能有条理、不重不漏地列举所有等可能结果，掌握列表法与树状图法的规范绘制与结果统计技巧。 知识点01 事件的认识 1. 事件的类型 事件的类型 定义 举例 确定性事件 必然事件 在每次试验中，可以事先知道其一定会发生的事件 在一个只装有红球的袋中摸球，摸出红球 不可能事件 在每次试验中，一定不会发生的事件 在一个只装有红球的袋中摸球，摸出白球 随机事件 无法事先确定在一次试验中会不会发生的事件 在一个装有红球和白球的袋中摸球，摸出红球 2. 确定性事件：必然事件和不可能事件统称为确定性事件. 3. 事件：确定性事件和随机事件统称为事件. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）“翻开数学书（大于28页），恰好翻到第28页”，这个事件是（  ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 知识点02 事件发生的可能性 1. 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 2. 事件发生的可能性 (1)必然事件：试验中必然发生的事件，其发生的可能性为100%，即1； (2)不可能事件：试验中不可能发生的事件，其发生的可能性为0； (3)随机事件：试验中可能发生也可能不发生的事件，其发生的可能性介于0 和1 之间. 3. 描述随机事件发生的可能性大小的常用语 “可能性极小”“不大可能”“可能”“很可能”“可能性极大”等. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，现有甲、乙、丙、丁四个转盘，若转动一次，最终指针指向红色区域的可能性最大的是________，试说明理由． 知识点03 概率 1. 概率：一般地，表示一个随机事件A 发生的可能性大小的数，叫做这个事件发生的概率，记作P(A). 2. 事件发生的可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0(如图). 【即学即练】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”是《岳阳楼记》中的名句．在这句话中，“乐”字出现的概率是（   ） A． B． C． D． 知识点04 概率公式 1. 概率公式：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且这些结果发生的可能性相等，其中使 事件A 发生的结果有m(m ≤ n) 种， 那么事件A 发生的概率为P(A)=. 2. 概率的取值范围：在概率公式中，当A 是必然事件时，m=n，P(A)=1；当A 是不可能事件时，m=0，P(A)=0. 所以有0 ≤ P(A)≤ 1. 一般地， 对任何随机事件A， 它的概率P(A) 满 足0<P(A)<1. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 3. 枚举法：枚举法是将事件发生的各种结果一一列举出来，再根据概率公式计算概率的方法. 4. 用枚举法求概率的两个前提 (1)所有可能出现的结果是有限个； (2)每个结果出现的可能性相等. 【即学即练】（2025·安徽合肥·三模）在古代，我们常用抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“☰”表示刚毅，符号“☱”表示愉快．若符号中的“⚋”代表“阴”，“⚊”代表“阳”，且每行出现阴、阳的可能性相同，则随机画一个三行符号，出现一阴两阳的概率是 ． 知识点05 画树状图法求概率 1. 画树状图法:画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法. 2. 画树状图法的应用:当一次试验涉及两个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法来求事件发生的概率. 用树状图列举出的结果看起来很清楚，当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，用画树状图法求事件的概率更有效. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）某学校为了解八年级学生体育课的实效性，开学初对八年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了_______名学生的成绩，频数分布直方图中_______所抽取学生成绩的中位数落在_______组（填字母）； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名八年级学生，估计该校成绩优秀的八年级学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名八年级学生（两名男生、两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 知识点06 列表法求概率 1. 列表法:列表法是用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法. 2. 列表法的适用条件:当一次试验涉及两个因素(同时进行两种相同的操作或先后进行两次相同的操作，即两步试验)，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法. 3. 列表法的具体步骤 (1)选其中的一次操作(或一个条件)为横行，另一次操作(或另一个条件)为纵列，列出表格； (2)运用概率公式P(A)= 计算概率. 注意：在运用列表法分析随机事件发生的概率时，顺序不能混淆，如(1，2)与(2，1)不是相同的事件. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）为弘扬我国传统文化、增强文化自信，我校举办“传统文化月”系列活动，活动之一是组织全校学生进行经典名篇知识竞赛．为了解学生答题情况，老师从中随机抽取了名学生的比赛成绩（满分100分），制作出如下不完整的统计表和统计图： 组别 分组 人数 组 5 组 12 组 18 组 m (1)m的值是_____，扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数为_____； (2)抽取的名学生比赛成绩的中位数落在_____（填组别）． (3)“传统文化月”系列活动之二是经典朗诵比赛，每班需派两名选手参加初赛，七（1）班共有4名同学报名参赛，分别是李红、丁洋、孙飞、陈月，请求出李红和陈月同时被选上的概率． 题型01 事件的的分类 【例1】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）下列事件是必然事件的是（   ） A．把五个人分成四组，每组至少一人，这四组中有一组有两人 B．在学校读书演讲比赛中，七年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．打开手机有未接电话 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）下列诗句所描述的事件是不可能事件的是（    ） A．黄河入海流 B．锄禾日当午 C．手可摘星辰 D．床前明月光 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）下列成语描述的事件中，是必然事件的是（   ） A．瓮中捉鳖 B．水中捞月 C．守株待兔 D．百步穿杨 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）事件A是确定事件，那么事件A的概率是 ． 题型02 根据概率公式计算概率 【例2-1】（2024·安徽·模拟预测）在动物行为学中有小鼠Y字迷宫实验，锻炼小鼠短期记忆．如图，小鼠从入口进入，每遇到一个Y字路口会随机选择其中一条路走，只可以前进不许后退，则小鼠在第一次走迷宫就能获得食物的概率是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024·安徽·模拟预测）一个不透明的袋子里装有8个球，其中有2个红球，6个白球，这些球除颜色外其它均相同．现从中随机摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为 ． 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）从“数学”的英文单词“”中随机抽取一个字母，抽中字母a的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）一个箱子里有4个除标号外其余均相同的球，分别以1、2、3、4进行标号，若每次取一个，有放回地取三次，则至少有2个不同标号的球被取出的概率为 ． 【变式2-3】孙明和王军两人去桃园游玩，返回时打算顺便买些新鲜油桃．此时桃园仅三箱油桃，价钱相同，但质量略有区别，分为级、级、级，其中级最好，级最差．挑选时，三箱油桃不同时拿出，只能一箱一箱的看，也不告知该箱的质量等级． 两人采取了不同的选择方案： 孙明无论如何总是买第一次拿出来的那箱． 王军是先观察再确定，他不买第一箱油桃，而是仔细观察第一箱油桃的状况；如果第二箱油桃的质量比第一箱好，他就买第二箱油桃，如果第二箱的油桃不比第一箱好，他就买第三箱． （1）三箱油桃出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ （2）孙明与王军，谁买到级的可能性大？为什么？ 题型03 已知概率求数量 【例3-1】（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）在一个不透明的袋子中有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有20个红球，且摸出红球的概率是，估计袋子中大概有球（    ）个 A．25 B．50 C．80 D．100 【例3-2】（22-23九年级上·河北保定·期末）不透明布袋中有个白球，若干个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，如果取到白球的概率最大，那么布袋中的黄球可能有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个以上 【例3-3】（2024·安徽合肥·一模）在一个不透明的盒子中，装有个除颜色外其他均相同的小球．已知从袋中任意摸出一球是白球的概率为 ，若将这一事件的概率提升至 ，则需要增加白球的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）在一只不透明的口袋中放入除颜色外规格完全相同的白球个，黑球8个，黄球4个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-2】（2023·安徽宿州·一模）在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和张梅花．若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为，则的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-3】（2023·安徽安庆·一模）为弘扬中华文化，鼓励学生多读书，读好书，九年级(4)班班主任精选了《朝花夕拾》《平凡的世界》《长征》《红岩》《文化苦旅》5种书，准备送给学生. (1)若由上述5种书各3本，小明同学从中任选一本，选中《红岩》的概率是多少? (2)若小明同学从上述5种书中任选一本，选中《长征》的概率是，则在(1)的基础上， 班主任老师只需要增加几本《长征》书？ 题型04 几何概率 【例4-1】（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，正方形的边长为，阴影部分是正方形的内切圆．若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 【例4-3】（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）“赵爽弦图”巧妙地利用图形的面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，小轩用纸板制作了一个如图所示的“赵爽弦图”的靶盘，他向该靶盘随意投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），已知直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则飞镖落在阴影小正方形内的概率是 ． 【变式4-1】（2025·安徽亳州·三模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，点O是▱ABCD的对称中心，l是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成甲、乙两部分，在这个图形上做扎针试验，则针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是（    ） A．甲大 B．乙大 C．一样大 D．无法确定 【变式4-3】（2025·安徽合肥·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是 ． 题型05 列举法求概率 【例5-1】（2025·安徽合肥·三模）我们把十位上数字比百位和个位上数字都大的三位数称为“”型数，如586，352等．那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，该数是“A”型数的概率为（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）从长度分别为1，3，4，6，7的五条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【例5-3】（2025·安徽马鞍山·三模）某科技节新增了机器人编程、无人机操控、打印、虚拟现实设计四个竞赛项目．学校为普及相关知识，在四个实验室分别开展对应项目的体验活动，要求每名学生选择其中一项参与．九（1）班准备了四枚外观相同的电子芯片，分别编号为1，2，3，4（对应上述四个项目），放在不透明的芯片盒中．若一次性从芯片盒中随机抽取两枚芯片，则两枚芯片编号的差值超过2的概率是 ． 【变式5-1】（2025·安徽亳州·模拟预测）如图所示的纸片是由2个灰色和4个白色小正方形组成，剪去两个白色小正方形，剩下的纸片是轴对称图形的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级下·安徽合肥·月考）如果一个两位数中两个数字之差的绝对值不超过3，则称该两位数为“幸运数”．用3，6，9这三个数字随机组成一个无重复数字的两位数，恰好是“幸运数”的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·安徽·模拟预测）为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成A，B，C，D四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、毛豆四种蔬菜（如图所示），每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 题型06 列表法或树状图法求概率 【例6】随着人工智能技术的兴起，越来越多的人开始尝试用它进行创作．小华计划课余时间利用人工智能辅助自己进行小说创作，于是他对人工智能软件进行了一定的了解． (1)小华先寻找了一些能够帮助他梳理小说脉络结构的人工智能软件：、通义千问、智谱清言、文心一言，他计划从这四款软件中随机选择一款软件进行学习并应用，选到“”的概率为___________； (2)小华还想在小说中加入一些插图，因此他又找到四款具备辅助绘图功能的人工智能软件：悠船、可灵、即梦，他准备从这四款软件中随机选择两款软件进行学习并应用，请用列表或画树状图的方法求他恰好选中“可灵”与“即梦”这两款软件的概率． （四款软件：悠船、可灵、即梦，依次记为） 【变式6-1】（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽六安·期末）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，求天平恢复平衡的概率． 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 【变式6-3】滨兰实验秋季研学时，安排九年级乘坐，，三辆车，其中小明与小刚都可以从这三辆车中任选一辆搭乘． (1)求小明乘车的概率； (2)请用列表法或画树状图的方法求出小明与小刚同车的概率有多大． 【变式6-4】（2025·安徽·模拟预测）为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）： 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次共调查了 名学生，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是 名； (2)补全条形统计图；扇形统计图中阅读类所占圆心角的度数为 ； (3)若该校有1600名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“劳技类”社团活动？ (4)某班有3名男生和2名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 题型07 游戏的公平性 【例7-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 【例7-2】（24-25九年级上·安徽六安·期末）小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜． 问上述游戏规则公平吗？请说明理由． 【例7-3】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动，在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． 【变式7-1】（2025·安徽合肥·二模）五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 【变式7-2】（25-26九年级上·安徽宿州·月考）学校组织综合实践活动，有10名同学参加，其中男生6人，女生4人． (1)若从这10人中随机选取一人作为领队，求选到男生的概率． (2)若某项实践活动只在甲、乙两人中选一人，准备以游戏的方式决定由谁参加，规则如下：将四张牌面数字分别为1，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请说明理由． 【变式7-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． (1)请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． (2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 一、单选题 1．（23-24九年级下·安徽淮南·期末）下列事件中属于随机事件的是（　　） A．正数大于负数 B．三角形的内角和是 C．乘坐公共汽车恰好有座位 D．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）下列事件是必然事件的是（   ） A．打开手机就有未接电话 B．学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人 3．（2023·安徽宣城·二模）在实验室中有四瓶试剂，分别是稀盐酸、溶液、溶液以及水，现小马准备从四瓶试剂中任选两瓶做实验，则选出的两瓶试剂可以发生化学反应的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽蚌埠·三模）在数学活动课上，老师将6种生活现象制成下图所示看上去无差别的卡片，并分成两组，从每组中分别随机抽取一张，抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）有一个正五边形（如图所示的正五边形）的小花园，每个顶点处各有一个花坛，已知花坛中已经种植了凌霄，花坛中已经种植了三角梅，在剩余三个花坛中随机种上凤仙花、木槿、月季（每个花坛中只能种植一种花卉），则凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（2023·安徽宣城·一模）中国传统节日，是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，形式多样、内容丰富．传统节日的形成，是一个民族或国家的历史文化长期积淀凝聚的过程，被人民誉为“民俗荟萃”．小文购买了“传统节日”主题邮票，他要将“清明”、“端午”、“中秋”、“春节”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“春节”和“端午”的概率是（   ） A． B． C． D． 7．（21-22九年级下·安徽芜湖·自主招生）两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上的面的数字之积能被整除的概率为（ ） A． B． C． D． 8．（22-23九年级下·安徽淮南·自主招生）小明将1枚质地均匀的硬币朝水平地面抛3次，记三次中恰有1次正面朝上的概率为，小华将3枚质地均匀的硬币朝水平地面同时抛出，记三枚硬币中恰有1枚正面朝上的概率为，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·安徽·模拟预测）学校从甲、乙、丙、丁四人中抽选两人作为代表参加省数学竞赛，则甲、乙中至少有一人被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽·模拟预测）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·安徽·二模）一只不透明的袋子中装有3个白球，1个红球，这些球除颜色外都相同．若从袋子里任意摸出一个球，则摸出红球的概率为 12．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图是小明自制的正方形飞镖盘，如果他每次投掷飞镖都击中飞镖盘，那么他随机投掷一枚飞镖，恰好击中阴影区域的概率是 ． 13．（2025·安徽·模拟预测）有三支外表完全相同的笔，其中一支墨水为红色，另外两支墨水为黑色．小明从这三支笔中任取一支，然后放回；小红又从这三支笔中任取一支，然后放回．则小明和小红取出的笔，墨水颜色相同的概率为 14．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）第届华中图书交易会于年月日至日在武汉国际会展中心举办．若小张随机从三个人口中选择一个进入，再随机从两个出口中选择一个离开，则小张从口进入，口离开的概率是 ． 15．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）某一物理实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，、为能正常发光的灯泡．任意闭合开关，，中的两个，那么能让灯泡发光的概率为 ． 16．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）六个面上分别标有1，1，2，3，3，5六个数字的均匀立方体表面如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标，按照这样的规定，每掷一次该立方体，就能得到平面内一个点的坐标．已知小明前两次得到的两个点能确定一条直线，且这条直线经过点，那么他第三次掷得的点也在这条直线上的概率是 ． 三、解答题 17．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如果k是随机投掷一个骰子朝上一面出现的数字（骰子六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），求关于x的一元二次方程有两个不等实数根的概率． 18．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯．已知他们分别在1至4层的任意一层出电梯． 4 3 2 1 车库 (1)如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是______； (2)请你用列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率． 19．（22-23九年级下·安徽·自主招生）随着选修课的全面开展，我校决定围绕“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题： (1)求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整； (2)在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率． 20．（2025·安徽·模拟预测）2025年1月20日，发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：A：决策类人工智能；B：人工智能机器人；C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． (1)①此次共调查了_____人，扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为____； ②请将条形统计图（图1）补充完整； (2)将表示四个类型的字母A，B，C，D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 21．（2024·安徽·模拟预测）某中学随机抽取九年级部分学生参加冬季山林防火知识测试，将成绩分成A，B， C，D四个等级，并绘制成如下不完整的统计图表： 成绩n/分 等级 频数 A 2 B C 15 D 6 (1)抽取的学生人数为_______，扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为_______°． (2)九（1）班有8位同学参加测试，成绩(单位：分)分别为：80，80，70，70，70，70，100，100，则这8位同学成绩的中位数为_______分，众数为_______分； (3)若从成绩为A，B两个等级的学生中任选两位参加市级测试，求其中至少有一位是A等级的概率． 22．（2024·安徽·二模）某校为了解学生每天课外阅读的时间（单位：小时），随机调查了该校的部分学生，并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图 请根据以上信息，完成下列问题： (1)将条形统计图补充完整； (2)求扇形统计图中每天阅读2小时对应的圆心角的度数； (3)现从每天阅读时长为2小时的学生中选出4名学生，其中恰有1名男生和3名女生，再从这4名学生中任意抽取2名学生分享阅读心得，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到2名女生的概率． 23．（2021·安徽安庆·三模）小昕的口袋中有5把相似的钥匙，其中2把钥匙（记为）能打开教室前门锁，而剩余的3把钥匙（记为）不能打开教室前门锁． (1)小昕从口袋中随便摸出一把钥匙有_______种等可能情况； (2)小昕从口袋中随便摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是_______； (3)请用树状图或列表等方法，求出小昕从口袋中第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的概率． 24．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）中秋期间，为了解同学们对市场上不同种月饼的喜爱情况，学校的实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： 关于学校学生对不同品种月饼喜爱情况的调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 学校九年级部分学生 数据的整理与描述 品种 ：莲蓉月饼 ：五仁月饼 ：豆沙月饼 ：水果月饼 ：冰皮月饼 数据分析及应用 （1）扇形统计图中， ，请补全条形统计图； （2）该学校总人数为人，请你估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数； （3）甲、乙两位同学根据调查的数据，发现，，三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用画树状图法求出他们恰好选择同一种月饼的概率． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1随机事件+等可能情形下的概率计算 教学目标 1.熟练掌握什么是随机事件，并能举例说明. 2.给出一些事件，能准确判断它们是必然事件、不可能事件还是随机事件. 3.理解概率的意义，了解概率与现实生活的联系，并会用符号表示概率. 4.掌握等可能情形下的概率的计算公式，并会用这个公式求简单随机事件的概率. 5.能够应用画树状图法或列表法求等可能情形下的事件的概率. 6.通过利用概率解决实际生活中的问题，体会数学来源于生活又应用于生活. 教学重难点 教学重点：熟练运用列举法求概率，明确不同方法的适用场景：两步试验用列表法，三步及以上试验用树状图法，避免结果重复或遗漏。能结合实际情境，准确识别等可能试验，套用公式解决简单概率问题。 教学难点：面对复杂试验，能有条理、不重不漏地列举所有等可能结果，掌握列表法与树状图法的规范绘制与结果统计技巧。 知识点01 事件的认识 1. 事件的类型 事件的类型 定义 举例 确定性事件 必然事件 在每次试验中，可以事先知道其一定会发生的事件 在一个只装有红球的袋中摸球，摸出红球 不可能事件 在每次试验中，一定不会发生的事件 在一个只装有红球的袋中摸球，摸出白球 随机事件 无法事先确定在一次试验中会不会发生的事件 在一个装有红球和白球的袋中摸球，摸出红球 2. 确定性事件：必然事件和不可能事件统称为确定性事件. 3. 事件：确定性事件和随机事件统称为事件. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）“翻开数学书（大于28页），恰好翻到第28页”，这个事件是（  ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 【答案】A 【详解】解：∵数学书有多个页码，翻到第28页可能发生，也可能不发生， ∴该事件是随机事件． 故选A． 知识点02 事件发生的可能性 1. 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 2. 事件发生的可能性 (1)必然事件：试验中必然发生的事件，其发生的可能性为100%，即1； (2)不可能事件：试验中不可能发生的事件，其发生的可能性为0； (3)随机事件：试验中可能发生也可能不发生的事件，其发生的可能性介于0 和1 之间. 3. 描述随机事件发生的可能性大小的常用语 “可能性极小”“不大可能”“可能”“很可能”“可能性极大”等. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，现有甲、乙、丙、丁四个转盘，若转动一次，最终指针指向红色区域的可能性最大的是________，试说明理由． 【答案】丁，见解析 【详解】解：根据题意，，，，， ， 转动一次，最终指针指向红色区域的可能性最大的是丁． 故答案为: 丁． 知识点03 概率 1. 概率：一般地，表示一个随机事件A 发生的可能性大小的数，叫做这个事件发生的概率，记作P(A). 2. 事件发生的可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0(如图). 【即学即练】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”是《岳阳楼记》中的名句．在这句话中，“乐”字出现的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据概率计算方法可得：“乐”字出现的概率是：， 故选：C． 知识点04 概率公式 1. 概率公式：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且这些结果发生的可能性相等，其中使 事件A 发生的结果有m(m ≤ n) 种， 那么事件A 发生的概率为P(A)=. 2. 概率的取值范围：在概率公式中，当A 是必然事件时，m=n，P(A)=1；当A 是不可能事件时，m=0，P(A)=0. 所以有0 ≤ P(A)≤ 1. 一般地， 对任何随机事件A， 它的概率P(A) 满 足0<P(A)<1. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 3. 枚举法：枚举法是将事件发生的各种结果一一列举出来，再根据概率公式计算概率的方法. 4. 用枚举法求概率的两个前提 (1)所有可能出现的结果是有限个； (2)每个结果出现的可能性相等. 【即学即练】（2025·安徽合肥·三模）在古代，我们常用抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“☰”表示刚毅，符号“☱”表示愉快．若符号中的“⚋”代表“阴”，“⚊”代表“阳”，且每行出现阴、阳的可能性相同，则随机画一个三行符号，出现一阴两阳的概率是 ． 【答案】 【详解】解：因为每行出现阴、阳的可能性相同，且每行有2种情况，所以三行符号的所有可能结果有： （阴，阴，阴）、（阴，阴，阳）、（阴，阳，阴）、（阴，阳，阳）、 （阳，阴，阴）、（阳，阴，阳）、（阳，阳，阴）、（阳，阳，阳）， 共8种． 其中出现一阴两阳的结果有：（阴，阳，阳）、（阳，阴，阳）、（阳，阳，阴），共3种． 根据概率公式，出现一阴两阳的概率是． 故答案为：． 知识点05 画树状图法求概率 1. 画树状图法:画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法. 2. 画树状图法的应用:当一次试验涉及两个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法来求事件发生的概率. 用树状图列举出的结果看起来很清楚，当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，用画树状图法求事件的概率更有效. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）某学校为了解八年级学生体育课的实效性，开学初对八年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了_______名学生的成绩，频数分布直方图中_______所抽取学生成绩的中位数落在_______组（填字母）； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名八年级学生，估计该校成绩优秀的八年级学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名八年级学生（两名男生、两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【详解】（1）解：根据统计图可得， 总人数为（名）， B组人数为（名）， 所抽取学生成绩的中位数是第和的平均数，A，B，C组共有名，D组有名， 所抽取学生成绩的中位数落在D组， 故答案为：，，D； （2）成绩在8分及以上为优秀， 成绩优秀所占百分比为， （人）， 则该校成绩优秀的八年级学生估计有人； （3）树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生共有8种等可能的结果， ， 则抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为． 知识点06 列表法求概率 1. 列表法:列表法是用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法. 2. 列表法的适用条件:当一次试验涉及两个因素(同时进行两种相同的操作或先后进行两次相同的操作，即两步试验)，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法. 3. 列表法的具体步骤 (1)选其中的一次操作(或一个条件)为横行，另一次操作(或另一个条件)为纵列，列出表格； (2)运用概率公式P(A)= 计算概率. 注意：在运用列表法分析随机事件发生的概率时，顺序不能混淆，如(1，2)与(2，1)不是相同的事件. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）为弘扬我国传统文化、增强文化自信，我校举办“传统文化月”系列活动，活动之一是组织全校学生进行经典名篇知识竞赛．为了解学生答题情况，老师从中随机抽取了名学生的比赛成绩（满分100分），制作出如下不完整的统计表和统计图： 组别 分组 人数 组 5 组 12 组 18 组 m (1)m的值是_____，扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数为_____； (2)抽取的名学生比赛成绩的中位数落在_____（填组别）． (3)“传统文化月”系列活动之二是经典朗诵比赛，每班需派两名选手参加初赛，七（1）班共有4名同学报名参赛，分别是李红、丁洋、孙飞、陈月，请求出李红和陈月同时被选上的概率． 【详解】（1）解：（人）， ， ， 故答案为：，． （2）解：总共有人， 抽取的名学生比赛成绩的中位数落在第名， ， 抽取的名学生比赛成绩的中位数落在组； 故答案为：组． （3）解：根据题意列表如下： 李红 丁洋 孙飞 陈月 李红 李红、丁洋 李红、孙飞 李红、陈月 丁洋 丁洋、李红 丁洋、孙飞 丁洋、陈月 孙飞 孙飞、李红 孙飞、丁洋 孙飞、陈月 陈月 陈月、李红 陈月、丁洋 陈月、孙飞 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中李红和陈月同时被选上的结果共有2种， 李红和陈月同时被选上的概率为． 题型01 事件的的分类 【例1】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）下列事件是必然事件的是（   ） A．把五个人分成四组，每组至少一人，这四组中有一组有两人 B．在学校读书演讲比赛中，七年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．打开手机有未接电话 【答案】A 【详解】解：A、五个人分成四组，每组至少一人，但组数为四，人数为五，必有一组有两人，是必然事件； B、在学校读书演讲比赛中，七年级3班获得一等奖是随机事件； C、卡片无数字6，是不可能事件； D、打开手机有未接电话是随机事件； 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）下列诗句所描述的事件是不可能事件的是（    ） A．黄河入海流 B．锄禾日当午 C．手可摘星辰 D．床前明月光 【答案】C 【详解】解：A. 黄河入海流为自然现象，是必然事件； B. 锄禾日当午为农业活动，是随机事件； C. 手可摘星辰，星辰遥远无法触及，不可能发生； D. 床前明月光为自然现象，是随机事件． ∴ 不可能事件是C． 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）下列成语描述的事件中，是必然事件的是（   ） A．瓮中捉鳖 B．水中捞月 C．守株待兔 D．百步穿杨 【答案】A 【详解】解：必然事件是概率为1的事件． A．瓮中捉鳖：鳖在瓮中，捉取必然成功，是必然事件； B．水中捞月：月亮不在水中，捞取不可能成功，是不可能事件； C．守株待兔：是随机事件； D．百步穿杨：是随机事件； 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）事件A是确定事件，那么事件A的概率是 ． 【答案】0或1 【详解】解：事件A是确定事件，则事件A要么是必然事件，要么是不可能事件． 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0， 因此事件A的概率是0或1． 故答案为：0或1． 题型02 根据概率公式计算概率 【例2-1】（2024·安徽·模拟预测）在动物行为学中有小鼠Y字迷宫实验，锻炼小鼠短期记忆．如图，小鼠从入口进入，每遇到一个Y字路口会随机选择其中一条路走，只可以前进不许后退，则小鼠在第一次走迷宫就能获得食物的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：小鼠一共有八条路径可以选择，只有两条路能获得食物， ∴P（小鼠在第一次走迷宫就能获得食物）． 故选：C． 【例2-2】（2024·安徽·模拟预测）一个不透明的袋子里装有8个球，其中有2个红球，6个白球，这些球除颜色外其它均相同．现从中随机摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为 ． 【答案】 【详解】解：∵球的总数为个，红球有个， ∴摸出红球的概率为． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）从“数学”的英文单词“”中随机抽取一个字母，抽中字母a的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵单词“”，共11个字母，字母a有2个， ∴抽中字母a的概率为． 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）一个箱子里有4个除标号外其余均相同的球，分别以1、2、3、4进行标号，若每次取一个，有放回地取三次，则至少有2个不同标号的球被取出的概率为 ． 【答案】 【详解】解：∵一个箱子里有4个除标号外其余均相同的球，分别以1、2、3、4进行标号，若每次取一个，有放回地取三次， ∴总可能结果数为：（种）， ∵至少有2个不同标号的球被取出的对立事件为：3次都取同一个球， 又∵3次都取同一个球有4种可能， ∴至少有2个不同标号的球被取出的可能结果数为：（种）， ∴至少有2个不同标号的球被取出的概率为：． 故答案为：． 【变式2-3】孙明和王军两人去桃园游玩，返回时打算顺便买些新鲜油桃．此时桃园仅三箱油桃，价钱相同，但质量略有区别，分为级、级、级，其中级最好，级最差．挑选时，三箱油桃不同时拿出，只能一箱一箱的看，也不告知该箱的质量等级． 两人采取了不同的选择方案： 孙明无论如何总是买第一次拿出来的那箱． 王军是先观察再确定，他不买第一箱油桃，而是仔细观察第一箱油桃的状况；如果第二箱油桃的质量比第一箱好，他就买第二箱油桃，如果第二箱的油桃不比第一箱好，他就买第三箱． （1）三箱油桃出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ （2）孙明与王军，谁买到级的可能性大？为什么？ 【详解】解：（1）共有六种情况： ； ． （2）孙明买到的情况有两种：，因此孙明买到概率为， 王军买到的情况有三种：， 因此王军买到概率为． ，因此，王军买到的可能性大． 题型03 已知概率求数量 【例3-1】（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）在一个不透明的袋子中有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有20个红球，且摸出红球的概率是，估计袋子中大概有球（    ）个 A．25 B．50 C．80 D．100 【答案】D 【详解】解：由题意可得， 袋子中大概有球的个数是：， 故选：D． 【例3-2】（22-23九年级上·河北保定·期末）不透明布袋中有个白球，若干个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，如果取到白球的概率最大，那么布袋中的黄球可能有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个以上 【答案】A 【详解】解：∵不透明布袋中由个球，若干个黄球 ∴若要从袋子中随机取出个球，如果取到的白球的概率最大，那么白球的数量应比黄球的数量多 ∴黄球的数量应少于个 ∴布袋中的黄球可能有个或个，那么只有选项符合题意 故答案为： 【例3-3】（2024·安徽合肥·一模）在一个不透明的盒子中，装有个除颜色外其他均相同的小球．已知从袋中任意摸出一球是白球的概率为 ，若将这一事件的概率提升至 ，则需要增加白球的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设需要增加白球个， 由题意可得，， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴需要增加白球个， 故选：． 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）在一只不透明的口袋中放入除颜色外规格完全相同的白球个，黑球8个，黄球4个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：由题意知：， 化为整式方程，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故的值为6， 故选C． 【变式3-2】（2023·安徽宿州·一模）在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和张梅花．若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为，则的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 故选：B． 【变式3-3】（2023·安徽安庆·一模）为弘扬中华文化，鼓励学生多读书，读好书，九年级(4)班班主任精选了《朝花夕拾》《平凡的世界》《长征》《红岩》《文化苦旅》5种书，准备送给学生. (1)若由上述5种书各3本，小明同学从中任选一本，选中《红岩》的概率是多少? (2)若小明同学从上述5种书中任选一本，选中《长征》的概率是，则在(1)的基础上， 班主任老师只需要增加几本《长征》书？ 【详解】（1）解：总共有15本书，其中《红岩》有3本，所以从这15本书中任选一本，选中《红岩》的概率为= （2）设要增加x本《长征》，由题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意. ∴要增加1本《长征》. 题型04 几何概率 【例4-1】（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，正方形的边长为，阴影部分是正方形的内切圆．若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴内切圆的半径为， ∴若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为：． 故选：A． 【例4-2】（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：图中以点O为端点的射线共有4条，分别是和， 可以构成6个不同的角：，其中定点P在角内部的有4个：， 则从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是． 故选：D． 【例4-3】（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）“赵爽弦图”巧妙地利用图形的面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，小轩用纸板制作了一个如图所示的“赵爽弦图”的靶盘，他向该靶盘随意投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），已知直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则飞镖落在阴影小正方形内的概率是 ． 【答案】 【详解】解：∵，大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为：， ∴飞镖落在阴影小正方形内的概率是； 故答案为： 【变式4-1】（2025·安徽亳州·三模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴它落在阴影部分的概率是， 故选：． 【变式4-2】如图，点O是▱ABCD的对称中心，l是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成甲、乙两部分，在这个图形上做扎针试验，则针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是（    ） A．甲大 B．乙大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：如图，连接 记过的直线交于 为▱ABCD的对称中心， 为的中点， 同理： 所以针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是一样的， 故选C 【变式4-3】（2025·安徽合肥·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，一共有7种等可能性，其中能使为等腰直角三角形的有4种，如图所示： 故使为等腰直角三角形的概率是． 故答案为：． 题型05 列举法求概率 【例5-1】（2025·安徽合肥·三模）我们把十位上数字比百位和个位上数字都大的三位数称为“”型数，如586，352等．那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，该数是“A”型数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：2，3，4这三个数可以组成的三位数有，共6个，其中是“A”型数的有，共2个， ∴从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，该数是“A”型数的概率为， 故选：C． 【例5-2】（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）从长度分别为1，3，4，6，7的五条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从五条线段中任意选取三条，所有可能有： ， ， ， ， ， ， 其中构成三角形的有共3种， ∴能构成三角形的概率是， 故选：D． 【例5-3】（2025·安徽马鞍山·三模）某科技节新增了机器人编程、无人机操控、打印、虚拟现实设计四个竞赛项目．学校为普及相关知识，在四个实验室分别开展对应项目的体验活动，要求每名学生选择其中一项参与．九（1）班准备了四枚外观相同的电子芯片，分别编号为1，2，3，4（对应上述四个项目），放在不透明的芯片盒中．若一次性从芯片盒中随机抽取两枚芯片，则两枚芯片编号的差值超过2的概率是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，一共有1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4这6种情况，其中两枚芯片编号的差值超过2的只有1、4这种情况， ∴两枚芯片编号的差值超过2的概率是， 故答案为：． 【变式5-1】（2025·安徽亳州·模拟预测）如图所示的纸片是由2个灰色和4个白色小正方形组成，剪去两个白色小正方形，剩下的纸片是轴对称图形的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，总共有6种情况，有1，2，5，6，共4种情况能使得剩下的纸片是轴对称图形， 则所求概率为． 故选：C． 【变式5-2】（24-25九年级下·安徽合肥·月考）如果一个两位数中两个数字之差的绝对值不超过3，则称该两位数为“幸运数”．用3，6，9这三个数字随机组成一个无重复数字的两位数，恰好是“幸运数”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：用3、6、9组成无重复数字的两位数共有6种可能：36、39、63、69、93、96， 判断每个数是否为“幸运数”（两数字之差的绝对值）： 36：，符合条件； 39：，不符合； 63：，符合条件； 69：，符合条件； 93：，不符合； 96：，符合条件； 符合条件的数有4个（36、63、69、96），故概率为． 故选：D． 【变式5-3】（2025·安徽·模拟预测）为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成A，B，C，D四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、毛豆四种蔬菜（如图所示），每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，如果A部分种植白菜，则A，B，C，D四部分种植蔬菜的方式如下： 白菜、茄子，辣椒、毛豆； 白菜、茄子、毛豆、辣椒； 白菜、辣椒、茄子、毛豆； 白菜、辣椒、毛豆、茄子； 白菜、毛豆、茄子、辣椒； 白菜、毛豆、辣椒、茄子． 共有6种等可能的结果，其中白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的结果有2种． 类似的，如果部分种植茄子，辣椒或毛豆结果均一样， （白菜与辣椒两种蔬菜不相邻）． 故选：A． 题型06 列表法或树状图法求概率 【例6】随着人工智能技术的兴起，越来越多的人开始尝试用它进行创作．小华计划课余时间利用人工智能辅助自己进行小说创作，于是他对人工智能软件进行了一定的了解． (1)小华先寻找了一些能够帮助他梳理小说脉络结构的人工智能软件：、通义千问、智谱清言、文心一言，他计划从这四款软件中随机选择一款软件进行学习并应用，选到“”的概率为___________； (2)小华还想在小说中加入一些插图，因此他又找到四款具备辅助绘图功能的人工智能软件：悠船、可灵、即梦，他准备从这四款软件中随机选择两款软件进行学习并应用，请用列表或画树状图的方法求他恰好选中“可灵”与“即梦”这两款软件的概率． （四款软件：悠船、可灵、即梦，依次记为） 【详解】（1）总共有4款软件，“DeepSeek”是其中1款，根据古典概型概率公式： （2）根据题意，列表如下：5分 第二种 第一种 Y K W J Y K ） W J 或 由列表（或画树状图）可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中，选中两种软件的结果有2种． （选中两种软件） 【变式6-1】（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵不等式组 简化得和 ∴解集为 整数解个数为 令 得 从中选两个不同的数作为和， 总情况数 满足的对为、、，共3种 ∴概率 故选：C． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽六安·期末）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，求天平恢复平衡的概率． 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 【答案】 【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下： 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有4种， 天平恢复平衡的概率为． 【变式6-3】滨兰实验秋季研学时，安排九年级乘坐，，三辆车，其中小明与小刚都可以从这三辆车中任选一辆搭乘． (1)求小明乘车的概率； (2)请用列表法或画树状图的方法求出小明与小刚同车的概率有多大． 【详解】（1）解：三辆车随机选择一辆， ∴小明乘车的概率为； （2）解：画树状图如下： 由树状图知，共有9种等可能结果，其中小明与小刚同车的有3种情况， 所以小明与小刚同车的概率为 【变式6-4】（2025·安徽·模拟预测）为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）： 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次共调查了 名学生，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是 名； (2)补全条形统计图；扇形统计图中阅读类所占圆心角的度数为 ； (3)若该校有1600名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“劳技类”社团活动？ (4)某班有3名男生和2名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 【详解】（1）解：本次共调查学生人数为（人）， 喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是（人）， 故答案为：100；25； （2）解：由（1）可知，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是（人）， 补全条形统计图如图所示： 阅读类所占圆心角的度数为：； 故答案为：； （3）解：， 答：大约有320名学生喜爱“劳技类”社团活动； （4）解：画树状图，如下： 共有20种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为12种。所以，抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为． 题型07 游戏的公平性 【例7-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 【答案】A 【详解】解： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 共有六种等可能性结果，其中能配成紫色的有三种，不能配成紫色的有三种， ∴， ∴规则公平． 故选：A． 【例7-2】（24-25九年级上·安徽六安·期末）小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜． 问上述游戏规则公平吗？请说明理由． 【详解】解：妹妹从其余六个小正方形中任选一个放置勋章， 所以总共有 6 种等可能的结果． 通过观察图形，我们发现妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的情况有 4 种， 小华获胜的概率：． 妹妹获胜的概率：． 因为，即小华获胜的概率大于妹妹获胜的概率， 所以此游戏规则不公平． 【例7-3】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动，在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． 【详解】（1）解：根据题意得，树状图如下： 在通过最后一个进口时，乘积是5的倍数的有15、20、30、40，共4种， 在通过最后一个进口时，乘积的结果共有种， 则小军能进入迷宫中心的概率是； （2）解：不公平，理由如下： 由（1）可知，小张和小李各得1分的概率为， 由（1）中树状图可知，在最后一个进口处所得乘积不是5的倍数的奇数有3、9，共2种情况， 则小张得3分的概率为， 在最后一个进口处所得乘积不是5的倍数的偶数有4、12、6、18、8、24，共6种情况 则小李得3分的概率为， 由于， 所以游戏不公平， 改为：将第二道环上的数4改为除5以外的任一奇数，游戏就公平了． 【变式7-1】（2025·安徽合肥·二模）五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 【答案】A 【详解】解：同时掷两枚筛子，其点数之和的结果如下表所示： 第二枚第一枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格可知，共有36种等可能结果，其中点数之和正好能被3整除的有12种，点数之和除以3后余数是1的有12种，点数之和除以3后余数是2的有12种，他们获得电影票的概率都是，即为，所以这个游戏是公平的， 故选：A． 【变式7-2】（25-26九年级上·安徽宿州·月考）学校组织综合实践活动，有10名同学参加，其中男生6人，女生4人． (1)若从这10人中随机选取一人作为领队，求选到男生的概率． (2)若某项实践活动只在甲、乙两人中选一人，准备以游戏的方式决定由谁参加，规则如下：将四张牌面数字分别为1，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请说明理由． 【详解】（1）解：∵这个活动有10名同学，其中男生6人，女生4人， ∴从10名同学中随机选取1人作为领队，选到男生的概率是：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可得：从1，3，4，5，四张扑克牌中任取2张，一共有12种等可能的结果，其中牌面数字之和为奇数的结果有6种，牌面数字之和为偶数的结果有6种， 故牌面数字之和为奇数的概率是：， 牌面数字之和为偶数的概率是， ∴甲能参加的概率等于乙能参加的概率， ∴这个游戏公平． 【变式7-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． (1)请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． (2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 【详解】（1）列表如下： 第一次 第二次 （2）不公平． 理由：如图，落在圆上或圆外． 这个游戏不公平． 一、单选题 1．（23-24九年级下·安徽淮南·期末）下列事件中属于随机事件的是（　　） A．正数大于负数 B．三角形的内角和是 C．乘坐公共汽车恰好有座位 D．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类．解题的关键是掌握必然事件是一定条件下，一定会发生的事件，不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事件，随机事件是一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件的分类，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、正数大于负数是必然事件，不符合题意； B、三角形的内角和是是必然事件，不符合题意； C、乘坐公共汽车恰好有座位是随机事件，符合题意； D、从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球是不可能事件，不符合题意； 故选C． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）下列事件是必然事件的是（   ） A．打开手机就有未接电话 B．学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人 【答案】D 【分析】本题主要考查了必然事件，掌握必然事件是一定发生的事件成为解题的关键． 根据必然事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 打开手机就有未接电话是随机事件，不符合题意； B． 学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖是随机事件，不符合题意； C． 从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6是不可能事件，不符合题意； D． 五个人分成四组，这四组中有一组有两人是必然事件，符合题意． 故选D． 3．（2023·安徽宣城·二模）在实验室中有四瓶试剂，分别是稀盐酸、溶液、溶液以及水，现小马准备从四瓶试剂中任选两瓶做实验，则选出的两瓶试剂可以发生化学反应的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率的应用，通过列表列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设稀盐酸、溶液、溶液以及水分别为A、B、C、D，其中只有稀盐酸与溶液可以发生化学反应， 列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中选出的两瓶试剂可以发生化学反应的有2种， ∴选出的两瓶试剂可以发生化学反应的概率为， 故选：A． 4．（2025·安徽蚌埠·三模）在数学活动课上，老师将6种生活现象制成下图所示看上去无差别的卡片，并分成两组，从每组中分别随机抽取一张，抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查列表法以及概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．列出所有情况再根据概率公式求解即可． 【详解】解：把第一组卡片依次记为，第二组卡片依次记为，其中B（酒精燃烧）、C（铁棒生锈）和E（牛奶变质）为化学变化， 从每组中随机抽取一张的可能结果为，，，，，，，共9种等可能结果， 其中符合题意的结果数为2，即（）和，故所求概率为． 故选：A． 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）有一个正五边形（如图所示的正五边形）的小花园，每个顶点处各有一个花坛，已知花坛中已经种植了凌霄，花坛中已经种植了三角梅，在剩余三个花坛中随机种上凤仙花、木槿、月季（每个花坛中只能种植一种花卉），则凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，由于花坛中已经种植了凌霄，花坛中已经种植了三角梅，则列举种植凤仙花、木槿、月季的可能结果，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率的方法是解题的关键． 【详解】解：∵花坛中已经种植了凌霄，花坛中已经种植了三角梅， ∴种植凤仙花、木槿、月季的可能结果为 凤仙花、木槿、月季； 凤仙花、月季、木槿； 月季、凤仙花、木槿； 月季、木槿、凤仙花； 凤仙花、月季、木槿； 凤仙花、木槿、月季； ∴一共有种等可能结果，凤仙花与木槿两种花卉相邻的结果有种， ∴凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是， 故选：． 6．（2023·安徽宣城·一模）中国传统节日，是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，形式多样、内容丰富．传统节日的形成，是一个民族或国家的历史文化长期积淀凝聚的过程，被人民誉为“民俗荟萃”．小文购买了“传统节日”主题邮票，他要将“清明”、“端午”、“中秋”、“春节”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“春节”和“端午”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法计算概率公式，熟练掌握用列表法或画树状图法计算概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及小乐抽到的两张邮票恰好是“春节”和“端午”的结果数，再利用概率公式可得出答案，注意抽取一张后不放回． 【详解】解：将“清明”、“端午”、“中秋”、“春节”四张邮票分别记为，，，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“春节”和“端午”的结果有：，，共种， ∴小乐抽到的两张邮票恰好是“春节”和“端午”的概率为． 故选：A． 7．（21-22九年级下·安徽芜湖·自主招生）两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上的面的数字之积能被整除的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用列表法求古典概率，解题的关键是明确题意，列出相应的表格，计算出相应的概率．根据题意，列举出所有的可能性，从而得到数字之积能被整除的概率． 【详解】解：由题意可得，同时掷两枚骰子，所得的结果是： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共36种情况    且每种情况出现的可能性相同，所得结果之积为：，，，， ，，积能被整除的概率， 故选：D． 8．（22-23九年级下·安徽淮南·自主招生）小明将1枚质地均匀的硬币朝水平地面抛3次，记三次中恰有1次正面朝上的概率为，小华将3枚质地均匀的硬币朝水平地面同时抛出，记三枚硬币中恰有1枚正面朝上的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列举出所有情况，比较概率得到正确选项即可． 【详解】解：将1枚质地均匀的硬币朝水平地面抛3次，三次情况如下： 共有8种情况，1次正面向上、2次反面向上的情况共有3种， ； 将3枚质地均匀的硬币朝水平地面同时抛出，三枚硬币情况如下： 共有8种情况，1枚正面向上、2枚反面向上的情况共有3种， ； ． 故选：B． 9．（2025·安徽·模拟预测）学校从甲、乙、丙、丁四人中抽选两人作为代表参加省数学竞赛，则甲、乙中至少有一人被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查用列表法或画树状图法求概率．正确运用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙中至少有一人被选中此活动的情况数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，甲乙两人至少有一人参加此活动的有10种情况， ∴甲、乙中至少有一人被选中的概率为：． 故选：C． 10．（2024·安徽·模拟预测）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，概率公式，解一元一次不等式，难度较大，正确运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意可知，则．①当时，；②当时， ，；③当时，，分别求解计算即可． 【详解】解：由题意可知． ∵，m，n均为正整数， ∴． ①当时，， ∴， ∴， ∴n的值可以是1，2，3，4，对应的m的值分别为3，4，5，6， 此时的值可以是8，12，16，20． ②当时， ，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． ③当时，， ∴， ∴，不符合题意． 综上可知，不超过20的智慧数有5个，分别为8，12，15，16，20，其中是奇数的有1个，故所求概率为． 故选：D． 二、填空题 11．（2025·安徽·二模）一只不透明的袋子中装有3个白球，1个红球，这些球除颜色外都相同．若从袋子里任意摸出一个球，则摸出红球的概率为 【答案】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有3个白球，1个红球，这些球除颜色外都相同， ∴摸出红球的概率为， 故答案为：． 12．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图是小明自制的正方形飞镖盘，如果他每次投掷飞镖都击中飞镖盘，那么他随机投掷一枚飞镖，恰好击中阴影区域的概率是 ． 【答案】/ 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了概率公式求概率，解题的关键是数形结合．根据图形得出大正方形被分为16个相同的小正方形，其中阴影部分的占据了4个小正方形，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据图形得出大正方形被分为16个相同的小正方形，其中阴影部分的占据了4个小正方形， 小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中阴影区域的概率是：， 故答案为：． 13．（2025·安徽·模拟预测）有三支外表完全相同的笔，其中一支墨水为红色，另外两支墨水为黑色．小明从这三支笔中任取一支，然后放回；小红又从这三支笔中任取一支，然后放回．则小明和小红取出的笔，墨水颜色相同的概率为 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题的关键． 列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：令红色墨水笔为，两支黑色墨水笔为、，列表得： 小红         小明 共有9种等可能出现的结果，墨水颜色相同的情况有5种， ∴小明和小红取出的笔，墨水颜色相同的概率为， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）第届华中图书交易会于年月日至日在武汉国际会展中心举办．若小张随机从三个人口中选择一个进入，再随机从两个出口中选择一个离开，则小张从口进入，口离开的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率和树状图，画树状图后，得到所有可能的结果总数以及从口进入且从口离开的结果只有种，进而求概率． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，所有可能的结果总数为种， 其中，从口进入且从口离开的结果只有种， 根据概率公式，即：． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）某一物理实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，、为能正常发光的灯泡．任意闭合开关，，中的两个，那么能让灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 列表得出共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果有2种，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：由电路图可知，闭合开关和，能让灯泡发光， 列表如下： 共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果有2种，即，， 能让灯泡发光的概率为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）六个面上分别标有1，1，2，3，3，5六个数字的均匀立方体表面如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标，按照这样的规定，每掷一次该立方体，就能得到平面内一个点的坐标．已知小明前两次得到的两个点能确定一条直线，且这条直线经过点，那么他第三次掷得的点也在这条直线上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的求法与运用，正方体的相对面，一次函数，掌握相关知识是解决问题．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）．首先得出总共有多少个点，然后通过计算找出满足条件的点，再根据概率公式求解． 【详解】解：由题意知：每掷一次可能得到6个点的坐标是（其中有两个点是重合的） ，，，，，， 通过描点，可以发现，过，，三点在同一直线上， 验证：设经过，的直线为，代入两点坐标得： 解得， 则解析式为， 当时，， 即直线经过， 同理可求经过，和，的直线都是， 即过，，三点中的任意两点所确定的直线都经过点， ∴小明第三次掷得的点也在直线上的概率是． 故答案为：． 三、解答题 17．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如果k是随机投掷一个骰子朝上一面出现的数字（骰子六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），求关于x的一元二次方程有两个不等实数根的概率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，求概率. 先求出k的取值范围，得到符合题意的数字，进而根据概率公式计算即可. 【详解】解：若一元二次方程有两个不等实数根， 则，且， 解得且， 则符合题意的数字为2，3，4， 故方程有两个不等实数根的概率． 18．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯．已知他们分别在1至4层的任意一层出电梯． 4 3 2 1 车库 (1)如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是______； (2)请你用列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表得出所有等可能的结果数以及甲、乙在相邻楼层出电梯的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，乙在层出电梯的概率为， ∴乙和甲在同一层楼出电梯的概率是． 故答案为：． （2）解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 一共出现16种等可能的结果，其中甲、乙在相邻楼层出电梯的结果有6种， （甲、乙在相邻楼层出电梯）． 19．（22-23九年级下·安徽·自主招生）随着选修课的全面开展，我校决定围绕“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题： (1)求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整； (2)在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率． 【答案】(1)400名，图见解析 (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图、扇形统计图、条形统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的互补性，求条形统计图与扇形统计图相关数据，画条形统计图，列表法或树状图法求概率，是解题的关键．概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）结合两图科技的数据求出抽查的总人数，再求出扇形图中演讲和英语的数据和条形图中书法的数据，补全条形图和扇形图的数据； （2）列出树状图，根据概率公式解答即可． 【详解】（1）解：一共抽查了名学生． 扇形统计图， 演讲：， 英语：； 条形统计图， 书法：人． 图形如图所示： （2）解：设第一小组中男为A，女为B，则第二小组中两男为a、b； 树状图： 共有12种等可能情况，其中有一名女生且来自同一小组的等可能情况有2种情况，概率为：． 答：所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率为． 20．（2025·安徽·模拟预测）2025年1月20日，发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：A：决策类人工智能；B：人工智能机器人；C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． (1)①此次共调查了_____人，扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为____； ②请将条形统计图（图1）补充完整； (2)将表示四个类型的字母A，B，C，D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 【答案】(1)①50，72；②见解析 (2) 【分析】（1）①利用Ａ的人数除以其所占的百分比即可得到结论，再利用圆心角的意义解答即可；②求出的人数，即可补全图象． （2）利用画树状图法解答即可． 本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，样本容量的计算，画树状图法求概率，熟练掌握圆心角，样本容量，概率的计算是解题的关键． 【详解】（1）①解：根据题意，得（人）， C类所占圆心角为：， 故答案为：50，72； ②解：根据题意，得C类的人数为：（人）， 补全图形如下： ． （2）解：根据题意，画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种， 故抽取到的两张卡片内容不一致的概率为 21．（2024·安徽·模拟预测）某中学随机抽取九年级部分学生参加冬季山林防火知识测试，将成绩分成A，B， C，D四个等级，并绘制成如下不完整的统计图表： 成绩n/分 等级 频数 A 2 B C 15 D 6 (1)抽取的学生人数为_______，扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为_______°． (2)九（1）班有8位同学参加测试，成绩(单位：分)分别为：80，80，70，70，70，70，100，100，则这8位同学成绩的中位数为_______分，众数为_______分； (3)若从成绩为A，B两个等级的学生中任选两位参加市级测试，求其中至少有一位是A等级的概率． 【答案】(1)25，28.8 (2)75，70 (3) 【分析】本题主要考查从统计图表获取信息，众数、中位数，树状图，解题的关键是获取信息，准确列出树状图． （1）根据C等级的人数及占比，得到样本总数及B等级的学生数，求出B等级学生占比得到圆心角即可； （2）根据众数、中位数的概念求解即可； （3）根据题意A，B等级的共有4名学生，列出树状图，求概率即可． 【详解】（1）由统计图表可知成绩为C等级的有15人，占， 所以抽取的学生人数为（人）； 成绩在B等级的学生有（人）， 占总人数的， 所在扇形的圆心角度数为， 故答案为：25；28.8． （2）这8位同学成绩从小到大排序为：80，80，70，70，70，70，100，100， 中位数为第四和第五位的均值75，众数为70， 故答案为：75；70． （3）成绩为A，B等级的共有4名学生，设为， 任选2人的情况，列树状图如下， 共12种情况，其中至少有一位A等级的有10种， 即概率为， 所以其中至少有一位是A等级的概率为． 22．（2024·安徽·二模）某校为了解学生每天课外阅读的时间（单位：小时），随机调查了该校的部分学生，并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图 请根据以上信息，完成下列问题： (1)将条形统计图补充完整； (2)求扇形统计图中每天阅读2小时对应的圆心角的度数； (3)现从每天阅读时长为2小时的学生中选出4名学生，其中恰有1名男生和3名女生，再从这4名学生中任意抽取2名学生分享阅读心得，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到2名女生的概率． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，列表法或树状图法求概率； （1）根据每天阅读小时的人数和所占百分比求出本次调查的总人数，进而求出每天阅读1小时的人数，即可补全条形统计图； （2）用乘以每天阅读2小时的人数所占的比例即可； （3）画树状图得出所有情况数和抽到2名女生的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：本次调查的总人数为（人）， 每天阅读1小时的人数为（人）， 补全条形统计图如图： （2）每天阅读2小时对应的圆心角的度数为：； （3）画树状图如图： 由树状图得：共有12种等可能的情况，其中抽到2名女生的情况有6种，所以刚好抽到2名女生的概率为． 23．（2021·安徽安庆·三模）小昕的口袋中有5把相似的钥匙，其中2把钥匙（记为）能打开教室前门锁，而剩余的3把钥匙（记为）不能打开教室前门锁． (1)小昕从口袋中随便摸出一把钥匙有_______种等可能情况； (2)小昕从口袋中随便摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是_______； (3)请用树状图或列表等方法，求出小昕从口袋中第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的概率． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比； （1）根据钥匙的数量即可判断； （2）直接利用概率公式求解即可求得答案； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：一个口袋中装有5把不同的钥匙，分别为，，，，， 小昕从口袋中随便摸出一把钥匙有种等可能情况， 故答案为：； （2）解：一个口袋中装有5把不同的钥匙，分别为，，，，， （取出一个或， 故答案为：； （3）解：画树状图得： 共有20种等可能的结果，第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的有6种可能， 第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的概率． 24．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）中秋期间，为了解同学们对市场上不同种月饼的喜爱情况，学校的实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： 关于学校学生对不同品种月饼喜爱情况的调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 学校九年级部分学生 数据的整理与描述 品种 ：莲蓉月饼 ：五仁月饼 ：豆沙月饼 ：水果月饼 ：冰皮月饼 数据分析及应用 （1）扇形统计图中， ，请补全条形统计图； （2）该学校总人数为人，请你估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数； （3）甲、乙两位同学根据调查的数据，发现，，三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用画树状图法求出他们恰好选择同一种月饼的概率． 【答案】（1），补全条形统计图见解析；（2）估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数为人；（3）． 【分析】本题考查了样本容量，圆心角的计算，画条形统计图，频数的计算，利用画树状图求解随机事件的概率，通过样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解题的关键． （1）根据频数除以所占百分比等于样本容量，再求解圆心角的度数；根据频数之和等于样本容量，确定组的人数，完善统计图即可； （2）利用样本估计总体的思想，计算解答即可． （3）画树状图，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（人），，故; 喜欢豆沙月饼的人数为：（人）; 补全条形统计图如图所示． （2）解：根据题意，得（人）． 答：估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数为人． （3）由题意，画树状图如下： 由树状图可知，一共有种等可能的结果，其中两位同学选择同一种月饼有种可能的结果． （甲、乙两同学选择同一种月饼）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $