广东省华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考数学试题

华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是公差不为零的等差数列，若，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（ ） A. 45% B. 30% C. 13.5% D. 13% 4. 有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ） A. 48种 B. 12种 C. 36种 D. 24种 5. 任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（ ） A. B. C. D. 6. 设动直线（）交圆于，两点（点为圆心），当最小时其余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若过点的直线与曲线和均相切，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知数列满足，则关于说法正确的是（ ） A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知二项式（其中，，）的展开式中存在常数项，则下列说法正确的是（ ） A. 的所有取值组成的集合中有且仅有3个元素 B. 若当取最大值时常数项为30，则 C. 若当取最小值时函数的图象在点处的切线与轴平行，则 D. 若二项展开式中的所有项的系数和为0，则 10. 已知为坐标原点，椭圆的长轴长为4，离心率为，过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，连接，并分别延长交椭圆于，两点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的方程为 B. 若，则 C. 若直线，的斜率分别为，，则 D. 11. 在棱长为的正四面体中，，分别为棱和（包括端点）的动点，直线与平面、平面所成角分别为，，则（ ） A. 点到平面和平面的距离之和是定值 B. 的正负由点位置确定，与点位置无关 C. 的最大值为 D. 正四面体顶点在球的球面上，当时，则过点截球的截面面积最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 等比数列的前n项和为 ， 已知成等差数列，则 的公比为________________. 13. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 14. 已知函数的定义域为，且满足，，则的最小值为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，，，分别为角，，的对边，已知，. （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的面积. 16. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的任一点. （1）若劣弧中点为（如图1），过点作出平面平面，请说明平面的作法，并证明平面平面； （2）现定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段叫做两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.当为半圆弧的中点（如图2）所示，设平面平面，，求异面直线与的距离的最大值. 17. 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球， 取球结果 2个红球 2个黑球 红､黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 （1）消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望； （2）若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件. （i）求和； （ii）求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率. 18. 已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率等于2，右焦点到其渐近线的距离等于. （1）求双曲线的方程； （2）经过点的直线与双曲线交于、两点，以为直径的圆记作. （ⅰ）求证：恒过某个定点，并求出此定点的坐标； （ⅱ）是否存在某个定圆与相切，若存在，请求出此定圆的方程，若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）讨论函数在区间内的零点个数； （2）若，使得对恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个不相等的实根，，求证：. 华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）连接，平面即为所求作的平面 ， 证明如下： ∵在圆台中，平面平面 ， ∵为劣弧 中点，为圆的半径，∴ ， 又 ∵平面平面 ， 又 ∵平面 平面平面 . （2） 【17题答案】 【答案】（1）150元 （2）（i），；（ii） 【18题答案】 【答案】（1）； （2） （ⅰ），当过点的直线斜率不为0时，设为， 联立与得， 整理可得， 要想直线与双曲线交于、两点， 需满足，解得， 设，则， 所以， 所以，， ， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以方程为， 由对称性可知，过的定点应在轴上， 故中，令得 ，解得或， 故与轴交点为，， 当直线斜率为0时，直线为， 此时的坐标分别为，则方程为，经过点， 综上，恒过某个定点，此定点的坐标为； （ⅱ）存在，定圆为 【19题答案】 【答案】（1）当时，在区间内的零点个数为0； 当时，在区间内的零点个数为1 （2）； （3）方程， 代入有， 即有两个不相等的实根，， 不妨设，则有， 构造函数，则， 所以在R上单调递减， 故，得. ，即. 下证， 令，则只要证， 设，则， 故当时，单调递增，故，则. 故，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $