2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

2026年1月高三数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 4．函数，若，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 7．椭圆：的左、右顶点为，，椭圆C的右焦点为F，点P是椭圆C上异于，的一动点，过F作直线的垂线，垂足为M，若椭圆C的离心率为，三角形的面积最大值为6，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知是锐角三角形，，且，则的最大内接正方形的面积为（   ） A． B．1 C． D．4 9．函数满足：当时，且，，若函数（且）共有6个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共10分） 10．下列说法正确的是（   ） A．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的分位数是23 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 11．在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当点为棱的中点时，直线与直线平行 C．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D．过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则 ． 13．记等差数列的前项和为，若则 . 14．数列满足，数列满足，.将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，设的前n项和为，则 （请用数字作答）. 四、解答题（共80分） 15．（本题16分）已知数列 的首项 且满足 (1)求证: 是等比数列； (2)求数列 的前n项和 16．（本题16分）函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 17．（本题16分）如图，在四棱锥中，为等腰三角形，底面，，，，，，M为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面和平面所成夹角的正弦值. 18．（本题16分）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)当时，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围. 19．（本题16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C A B C A C ABD 题号 11 答案 AD 12． 13．2 14．12182 15．(1)（1）因，则， 又，所以， 从而，则是以为首项，公比为4的等比数列. (2) 16．(1)； （2）当时，， 因为，从而要证，即证， 令，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，设的解为， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 17．(1)（1）取的中点N，连接，，如图所示：    在中，因为M，N分别是棱，的中点，所以为的中位线， 所以，且，易知，， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面. (2) 18．(1)由题可知函数的定义域为， ， 当时，，所以的单调递增区间是； 当时，令，解得（舍去）， 所以时，时，时，， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是． 综上所述，时，的单调递增区间是，无单调减区间； 时，的单调递减区间是，单调递增区间是． (2) 1） （2）由题可知，可得， 只需证明当时，恒成立， 等价于，令，则， 设，对称轴， 故有． 令， 则， 所以在区间上单调递增，且， 所以，所以恒成立. 即，均有恒成立， 所以实数的取值范围为． 19．(1) (2)（i）；（ii） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $