6.3.1·平面向量的基本定理【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.3.1·平面向量的基本定理】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.平面向量基本定理的定义（核心考点） 知识点：如果两个不共线的向量、，那么对于平面内的任意一个向量，有且只有一对实数、，使得；我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（也叫基向量） 易错辨析：①忽略基底的“不共线”前提，误将共线向量当作基底（共线向量无法表示平面内所有向量）；②误认为“平面内只有一组基底”，实则基底不唯一，任意两个不共线的非零向量均可作为基底；③漏记“有且只有一对实数、”，误将“唯一”省略（分解结果具有唯一性，是定理核心）；④误将零向量纳入基底（零向量与任意向量共线，不能作为基底） 重点记忆：①定理核心口诀：“不共线两向量，能表示所有向量，分解唯一”；②基底的两个必备条件（缺一不可）：一是不共线，二是非零向量；③平面内任意向量都能由一组基底唯一线性表示，“线性表示”即的形式（数乘+加法）；④定理的本质：将平面内任意向量转化为基底的组合，实现向量的“统一表示” 常考结论：①若、为基底，则的充要条件是；②平面内任意两个不共线的向量，都能构成一组基底；③若，且、不共线，则、（唯一性的具体体现） 2.基底的选取与核心特征 知识点：基底是平面内表示所有向量的“工具向量”，选取需满足两个核心条件：①基底必须是两个不共线的非零向量；②平面内的任意向量都能由这两个向量唯一线性表示；常见基底：平面直角坐标系中，x轴、y轴正方向的单位向量、（称为标准基底），此时任意向量可表示为（x、y为实数） 易错辨析：①误认为“基底必须是单位向量”，实则基底无需是单位向量，任意不共线非零向量均可（标准基底是特殊情况）；②选取共线向量作为基底，试图表示平面内所有向量（共线向量只能表示与其共线的向量，无法表示不共线向量）；③误将单个向量当作基底（基底必须是两个向量，单个向量无法表示平面内所有向量）；④认为“基底固定不变”，实则可根据解题需求灵活选取基底 重点记忆：①基底选取的灵活性：同一平面内，可根据题型需求选取不同基底（如三角形中，常选取三角形的两条边对应的向量作为基底）；②标准基底的特殊性：，且，是最常用的基底；③禁止选取的向量：共线向量、零向量，均不能作为基底；④基底的“表示能力”：一组基底能表示平面内所有向量，包括零向量（零向量可表示为） 常考结论：①若、为基底，则与共线的向量可表示为，与共线的向量可表示为；②标准基底中，向量的模长（为后续坐标运算铺垫）；③若两个基底和等价，则、可由、线性表示，反之亦然 3.向量的线性分解 知识点：根据平面向量基本定理，将平面内任意一个向量表示为一组基底、的线性组合，这个过程叫做向量的线性分解；核心步骤：①确定合适的基底；②将目标向量转化为基底对应的向量组合；③利用向量运算律化简，求出唯一的、 易错辨析：①线性分解时，误将系数、当作向量（系数是实数，非向量）；②分解过程中，误用向量运算律，如误算为；③忽略分解的唯一性，求出多组不相等的、；④分解时，未将目标向量与基底建立关联，无从下手 重点记忆：①线性分解的关键：找到目标向量与基底之间的联系（常通过向量加减、数乘运算转化）；②系数、的几何意义：是在方向上的“分量系数”，是在方向上的“分量系数”；③常见分解技巧：在三角形中，利用“首尾相接”的向量加减法则，将目标向量分解为三角形两边对应的基底；④分解结果验证：将求出的、代入，验证是否等于 常考结论：①若与共线，则，即；若与共线，则，即；②若，则是以、为邻边的平行四边形的对角线向量；③线性分解中，系数、可正、可负、可零（零表示目标向量与对应基底垂直或共线于另一基底） 4.平面向量基本定理的推论 知识点：基于平面向量基本定理，衍生3条核心推论，适配考试拓展题型：①推论1：若两个向量、可由同一组基底线性表示，即、，则的充要条件是且；②推论2：平面内三点A、B、C共线的充要条件是，存在实数，使得（、可作为基底）；③推论3：若、均为平面内的基底，则存在唯一的实数对、，使得、（基底间的相互表示） 易错辨析：①推论1中，忽略“同一组基底”前提，误将不同基底表示的向量等式，直接得出系数相等；②推论2中，误将三点共线的条件写为，遗漏“”这一关键条件；③推论3中，误认为基底间的相互表示系数不唯一，实则系数由两个基底唯一确定；④运用推论2时，误将写成，混淆向量表示形式 重点记忆：①推论1是“向量相等”的线性表示判定方法，核心是“同一基底、系数对应相等”；②推论2是“三点共线”的高频判定方法，比共线定理更简洁，可直接套用（记准“”和“”的系数）；③推论3的本质：基底之间可相互线性表示，体现了基底的灵活性，解题时可根据需求转化基底；④推论2的延伸：若，则C为AB的中点，即（中点公式，高频考点） 常考结论：①由推论2可推导：若A、B、C三点共线，且，则，与推论2一致；②若，且，则的终点在由、起点和终点确定的直线上；③基底转化时，系数矩阵可逆（保证转化唯一） 5.平面向量基本定理的常见应用 知识点：定理的核心应用集中在3个高频场景，配套解题方法和公式，可直接复制套用：①应用1：判定两个向量是否共线（结合推论1，同一基底表示下，系数对应成比例）；②应用2：证明三点共线（套用推论2，验证是否成立）；③应用3：化简向量表达式（选取合适基底，将复杂向量转化为基底的线性组合，再化简系数） 易错辨析：①应用1中，未用同一基底表示两个向量，直接判断系数成比例；②应用2中，证明三点共线时，遗漏“”，仅写出；③应用3中，选取的基底共线，导致无法化简或化简错误；④化简时，误将基底当作共线向量，误用数乘运算律 重点记忆：①应用解题核心：“基底化”，即将所有向量转化为同一组基底的线性表示，再结合定理及推论解题；②选取基底的技巧：优先选取夹角已知、模长已知的向量作为基底（如直角三角形中，选取两条直角边对应的向量）；③三点共线证明的步骤：先表示出三个点对应的位置向量，再验证是否满足推论2的形式；④化简向量表达式的步骤：基底选取→向量分解→系数化简→得出结果 常考结论：①若、，则的充要条件是（系数交叉相乘相等）；②中点向量公式（高频）：若M为AB中点，则；③若A、B、C三点共线，且，则（推论2的具体应用） 二、高频易错+核心公式） 核心易错点总览：1.基底选取：忽略“不共线、非零”两个前提，误选共线向量、零向量或单个向量作为基底；2.定理理解：漏记“分解结果唯一”，混淆向量与系数的属性（系数是实数）；3.推论应用：三点共线证明遗漏“”，不同基底间直接比较系数；4.线性分解：误用运算律、分解不唯一、未验证结果 核心公式汇总：1.定理核心公式：（、不共线，、为唯一实数）；2.基底零向量结论：；3.三点共线公式：（A、B、C共线）；4.中点公式：（M为AB中点）；5.向量共线系数条件：（、， 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：基底的概念及辨析】 【多选题】（25-26高一上·辽宁·期末）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ）经典例题1例题 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. （2026高三·全国·专题练习）平面向量基本定理经典例题2例题 如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使 ．若 ，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解． 【答案】 不共线 不共线 互相垂直 【多选题】（24-25高一下·福建泉州·期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ）小试牛刀1 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】CD 【分析】由共线定理和基底定义逐一分析即可得解. 【详解】对于A，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线可作为一组基底，故A不正确； 对于B，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线可作为一组基底，故B不正确； 对于C，因为，所以不能作为基底，故C正确. 对于D，因为，所以不能作为基底，故D正确. 故选：CD （24-25高一下·北京石景山·期末）已知平面向量，满足，，且与的夹角为．小试牛刀2 (1)求以及； (2)若向量与不能作为平面向量的一组基底，求实数λ的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量数量积的定义求出的值，再运用向量数量积的运算律计算即可； （2）根据平面的基底概念可得与共线，再利用向量共线的充要条件即可求得λ的值. 【详解】（1）， 则， 故． （2）因为向量与不能作为平面向量的一组基底， 所以与共线． 则存在实数k，使得， 又因为与不共线，所以，解得， 所以实数的值为． 【多选题】（24-25高一下·甘肃白银·期末）设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（   ）小试牛刀3 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABD 【分析】根据基底的概念只需要判断各选项的向量是否共线即可. 【详解】不共线的向量可以作为一组基，所以不能作为一组基的便是共线向量， 对于A，因为，所以和不共线，可以作为基底； 对于B，因为，所以和不共线，可以作为基底； 对于C，因为，所以和共线，不可以作为基底； 对于D，因为，所以和不共线，可以作为基底． 故选：ABD． 【题型2：用基底表示向量】 （25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则下列等式中成立的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】因为 ， 所以， 即 ， 所以， 故选：C （25-26高一上·辽宁锦州·期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.经典例题2例题    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算可得； （2）设，则可用及表示，再利用平面向量基本定理可求. 【详解】（1）证明：因为所以， 所以，整理得； （2）设， 则 ， 又 ， 由平面向量基本定理得所以，解得 （24-25高一下·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，点在边上，由，得， 则，即，而，， 所以． 故选：B 【多选题】（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形中， ，．且 为的中点．若 ，，则（    ）小试牛刀2    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由平面向量运算法则逐项计算即可. 【详解】对于A：，故选项 A 正确； 对于B：由 知 在 上，且 ，则 ， 计算得：，故选项B错误； 对于C： 为 中点，则 ，于是： ，故选项C正确； 对于D： ，其中 ， 则：，故选项 D 正确. 故选：ACD （25-26高三上·河北邢台·月考）在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可. 【详解】因为在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G， 所以 ． 故选：D. 【题型3：平面向量基本定理求参数】 （25-26高一上·北京西城·期末）在中，E，F为BC边的两个三等分点，若，则 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，求得和，得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】因为为边上的两个三等分点，可得， 则， ， 所以 又因为，所以， 所以，所以. 故答案为：. （25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .经典例题2例题    【答案】 【分析】设，利用基底表示，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： （25-26高三上·湖南·月考）已知点G为的重心，若，则（   ）小试牛刀1 A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【详解】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B （24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. （25-26高三上·河南·月考）在中，若，则（   ）小试牛刀3 A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先将用和表示，再结合已知条件将用表示，最后根据向量的线性运算将用和表示，从而求出和的值，进而得到的值. 【详解】因为，所以，又因为两向量有公共点，所以点三点共线，又, 又， 所以，解得，， 因此. 故选：C． 【题型4：平面向量基本定理证明共线】 （25-26高一上·北京顺义·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，．经典例题1例题 (1)用基底分别表示向量； (2)若，用平面向量证明三点共线． 【答案】(1); (2)证明见解析 【分析】利用向量的线性运算即可求解； 利用两向量的数乘关系来证明向量共线，即可证明三点共线. 【详解】（1）由向量的减法可得：， 由向量的加法可得：， 因为在平行四边形中，是的中点，所以， 同理：； （2）由， 则，所以，即三点共线. （25-26高一上·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．经典例题2例题    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以， （2）因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. （24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.小试牛刀1    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见详解 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）结合（1）得，从而，根据向量共线定理证明. 【详解】（1）由平行四边形，可得; ，， ，即. （2）由（1），又， 所以， 所以三点共线. （24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在中，分别是边的中点，，.小试牛刀2    (1)用表示； (2)求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量的线性运算解题即可； （2）先根据平面向量共线定理证明共线，再根据向量有公共点，即可证明三点共线. 【详解】（1）如图，延长到，使，连接，得到平行四边形， 则， .    （2）由（1）知，， ， ，所以， 所以共线，又因为有公共点，所以三点共线. （24-25高一上·北京·月考）三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点．小试牛刀3 (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 【答案】(1)图形见解析； (2)，； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，直接画图即可； （2）根据几何图形进行线性运算即可； （3）利用向量共线定理即可证明. 【详解】（1）如图，    （2）因为E为的中点，D为边上靠近点B的三等分点， 所以， 则， 所以； . （3）因为， 所以， 所以，即， 所以， 又因为有公共点， 所以三点共线.    【题型5：平面向量共线定理推论】 （24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C （25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图像和已知条件以及基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得 ，A正确； 对于B：，由A知. 所以，B正确； 对于C：因为，，， 所以. 因为点共线，所以设. 所以，化简得. 即，又， 所以，两式相加得，即，C正确； 对于D：由C知，所以. 所以D错误. 故选：D （25-26高三上·四川成都·月考）如图，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，连接，若，则 .小试牛刀1    【答案】/ 【分析】利用向量的线性运算和中点公式的向量运算即可求解. 【详解】由是线段的中点，可得， 又由是线段的中点，可得， 所以 ， 即， 故答案为： （2025高三·全国·专题练习）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设，则的值为（    ）小试牛刀2 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由重心以、表示，根据题目条件转化为、，最后由三点共线求得. 【详解】由于为的重心，所以， 由于、、三点共线，所以，， 故选：B. （23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，．设，，，．小试牛刀3    (1)化简：； (2)求证：为定值； 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）利用向量的运算法则求解； （2）由题意求得，结合三点共线，得到，即可求解. 【详解】（1）因为是的中点，所以， 又是的中点，所以， 所以. （2）由题，可得，， ， 因为三点共线，所以， 所以. 【题型6：平面向量共线求参数】 （25-26高一上·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线有得到，代入和求解即可. 【详解】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. （25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知向量不共线，，，其中．经典例题2例题 (1)若三点共线，求的值； (2)当时，若，用基底表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三点共线列方程组，由此求得的关系式； （2）由计算得到，将，代入即可求解. 【详解】（1）因为三点共线，则，设， 则有，即， 所以，且，得． （2）当时，，， 因为，； 所以 ， 得到， 所以． （2026高三·全国·专题练习）已知不共线，，设，如果，是否存在实数t使三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．小试牛刀1 【答案】存在实数. 【分析】利用向量的线性运算和共线的数乘关系，再结合平面向量基本定理，可得系数对应相等，即可求解. 【详解】存在． 由题设知，， ， 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得， 即， 又因为不共线，根据平面向量基本定理，可得， 故存在实数，使三点在一条直线上． （23-24高二上·辽宁·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ）小试牛刀2 A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】B 【分析】把，，三点共线转化为列出方程组，求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，，三点共线，所以存在唯一的，使得， 即， 即，解得：. 故选：B. （25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用向量共线定理得，再由向量的运算可得，结合条件，利用向量基本定理，即可求解. 【详解】因为三点共线，则，又点是直线外任一点， 所以，整理得到， 又，则，解得， 故选：C. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·江苏南京·月考）在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用梯形相似比，可得，再用向量的减法运算，可得，再化简代换即可得解. 【详解】 由梯形ABCD中，，可得， 即，则， 因为，，所以， 故选：B. 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用共线向量表示及平面向量线性运算即得. 【详解】如图，由可得， 则. 故选：C 3．（25-26高三上·安徽·月考）在中，点为重心，点在线段上，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算结合重心的几何性质即可求解. 【详解】根据题意，. 故选：A 4．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【详解】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 5．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. 6．（25-26高二上·河北石家庄·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，可得，结合已知和三点共线，即可求出的值. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C. 7．（25-26高三上·四川巴中·月考）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 8．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，为边的中点，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算表示相关向量进行求解即可. 【详解】因为为边的中点，所以， 又因为为的中点， 所以. 故选： 9．（25-26高三上·新疆·月考）在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是线段的中点，得到，再根据，利用求解. 【详解】因为是线段的中点， 所以. 因为，所以， 则. 故选：A 二、多选题 10．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（   ） A． B．点为的重心 C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A由得，对于B取的中点为，，利用重心的性质即可判断，对于C由，利用三点共线即可判断，对于D设中点为，计算，利用重心的性质得. 【详解】对于A：由有，故A错误； 对于B：取的中点为，由又，所以点共线，且为三等分点， 即为的重心，故B正确； 对于C：由，又三点共线，即，故C正确； 对于D：设中点为，则有，又，即， 所以，在中有，又为重心，所以，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解. 三、填空题 12．（24-25高一下·河南·期末）设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于 ． 【答案】12 【分析】先求，由A，B，D三点共线，利用共线向量定理得存在实数，使得，进而求解. 【详解】由题意有，， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 即，所以， 所以． 故答案为：. 13．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ． 【答案】 【分析】将用来表示，进而利用三点共线求得参数；假设，将用来表示，利用三点共线可得到的关系，再根据，解方程即可. 【详解】设，，则， 若，则， 因为B，M，D三点共线，则，得， 所以； 设，，则， 又B，M，D三点共线，则，得， 因为菱形ABCD的边长为1，，，， 所以，． 又， 所以， 整理，得， 解得，或（舍去）．故． 故答案为：、 14．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知非零向量､不共线，若，，，且三点共线，则 . 【答案】 【分析】表示出向量，然后利用共线定理和平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，所以， 又三点共线，且， 所以存在实数，使得，即， 因为非零向量､不共线，所以，解得. 故答案为： 15．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知平行四边形，，点满足，记．用表示 ；若，则 ． 【答案】 ； 【分析】根据平面向量基本定理以及定比分点，结合向量运算法则可得，用表示出，再由平面向量数量积运算律计算可得结果. 【详解】如下图所示：    根据题意可知 ； 易知 ； 又； 因为可知； 所以 ； 故答案为：；； 16．（25-26高三上·河北·月考）如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则 . 【答案】/0.4 【分析】设，在中，利用向量加减法的三角形法则表示出，进而表示出；设，同理，在中表示出，根据平面向量基本定理列出方程组，求出，即可得到的值，即可得解. 【详解】因为， 所以. 设，所以①. 因为为的中点，所以. 设，又， 所以 ②. 由①②可得，解得. 所以，所以. 故答案为： 四、解答题 17．（24-25高一下·山东淄博·月考）图，在平行四边形中，. (1)用向量，表示向量，. (2)若向量，证明：三点共线. (3)若，，，求. 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用平行向量基本定理得到，； （2）由于，故，故三点共线； （3），故转化为，根据向量数量积运算法则计算出答案. 【详解】（1），； （2）由（1）知，， 又，故，故三点共线； （3） . 18．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点． (1)记向量，，试以向量，为基底表示，； (2)若，求m，n的值； (3)求证：A，G，H三点共线． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的减法法则结合题意求解； （2）对结合（1）化简用，表示，而，然后列方程组可求得结果； （3）设，，由，，用用，表示，列方程组求出，从而可得，进而证得结论. 【详解】（1）因为在中，E，H分别是AD，BC的中点，， 所以， ． （2）由（1）知，， 所以， 因为，所以，解得； （3）， 设，，则 ， 又， 所以，解得，所以， ∴， ∴，即A，G，H三点共线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.3.1·平面向量的基本定理】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.平面向量基本定理的定义（核心考点） 知识点：如果两个不共线的向量、，那么对于平面内的任意一个向量，有且只有一对实数、，使得；我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（也叫基向量） 易错辨析：①忽略基底的“不共线”前提，误将共线向量当作基底（共线向量无法表示平面内所有向量）；②误认为“平面内只有一组基底”，实则基底不唯一，任意两个不共线的非零向量均可作为基底；③漏记“有且只有一对实数、”，误将“唯一”省略（分解结果具有唯一性，是定理核心）；④误将零向量纳入基底（零向量与任意向量共线，不能作为基底） 重点记忆：①定理核心口诀：“不共线两向量，能表示所有向量，分解唯一”；②基底的两个必备条件（缺一不可）：一是不共线，二是非零向量；③平面内任意向量都能由一组基底唯一线性表示，“线性表示”即的形式（数乘+加法）；④定理的本质：将平面内任意向量转化为基底的组合，实现向量的“统一表示” 常考结论：①若、为基底，则的充要条件是；②平面内任意两个不共线的向量，都能构成一组基底；③若，且、不共线，则、（唯一性的具体体现） 2.基底的选取与核心特征 知识点：基底是平面内表示所有向量的“工具向量”，选取需满足两个核心条件：①基底必须是两个不共线的非零向量；②平面内的任意向量都能由这两个向量唯一线性表示；常见基底：平面直角坐标系中，x轴、y轴正方向的单位向量、（称为标准基底），此时任意向量可表示为（x、y为实数） 易错辨析：①误认为“基底必须是单位向量”，实则基底无需是单位向量，任意不共线非零向量均可（标准基底是特殊情况）；②选取共线向量作为基底，试图表示平面内所有向量（共线向量只能表示与其共线的向量，无法表示不共线向量）；③误将单个向量当作基底（基底必须是两个向量，单个向量无法表示平面内所有向量）；④认为“基底固定不变”，实则可根据解题需求灵活选取基底 重点记忆：①基底选取的灵活性：同一平面内，可根据题型需求选取不同基底（如三角形中，常选取三角形的两条边对应的向量作为基底）；②标准基底的特殊性：，且，是最常用的基底；③禁止选取的向量：共线向量、零向量，均不能作为基底；④基底的“表示能力”：一组基底能表示平面内所有向量，包括零向量（零向量可表示为） 常考结论：①若、为基底，则与共线的向量可表示为，与共线的向量可表示为；②标准基底中，向量的模长（为后续坐标运算铺垫）；③若两个基底和等价，则、可由、线性表示，反之亦然 3.向量的线性分解 知识点：根据平面向量基本定理，将平面内任意一个向量表示为一组基底、的线性组合，这个过程叫做向量的线性分解；核心步骤：①确定合适的基底；②将目标向量转化为基底对应的向量组合；③利用向量运算律化简，求出唯一的、 易错辨析：①线性分解时，误将系数、当作向量（系数是实数，非向量）；②分解过程中，误用向量运算律，如误算为；③忽略分解的唯一性，求出多组不相等的、；④分解时，未将目标向量与基底建立关联，无从下手 重点记忆：①线性分解的关键：找到目标向量与基底之间的联系（常通过向量加减、数乘运算转化）；②系数、的几何意义：是在方向上的“分量系数”，是在方向上的“分量系数”；③常见分解技巧：在三角形中，利用“首尾相接”的向量加减法则，将目标向量分解为三角形两边对应的基底；④分解结果验证：将求出的、代入，验证是否等于 常考结论：①若与共线，则，即；若与共线，则，即；②若，则是以、为邻边的平行四边形的对角线向量；③线性分解中，系数、可正、可负、可零（零表示目标向量与对应基底垂直或共线于另一基底） 4.平面向量基本定理的推论 知识点：基于平面向量基本定理，衍生3条核心推论，适配考试拓展题型：①推论1：若两个向量、可由同一组基底线性表示，即、，则的充要条件是且；②推论2：平面内三点A、B、C共线的充要条件是，存在实数，使得（、可作为基底）；③推论3：若、均为平面内的基底，则存在唯一的实数对、，使得、（基底间的相互表示） 易错辨析：①推论1中，忽略“同一组基底”前提，误将不同基底表示的向量等式，直接得出系数相等；②推论2中，误将三点共线的条件写为，遗漏“”这一关键条件；③推论3中，误认为基底间的相互表示系数不唯一，实则系数由两个基底唯一确定；④运用推论2时，误将写成，混淆向量表示形式 重点记忆：①推论1是“向量相等”的线性表示判定方法，核心是“同一基底、系数对应相等”；②推论2是“三点共线”的高频判定方法，比共线定理更简洁，可直接套用（记准“”和“”的系数）；③推论3的本质：基底之间可相互线性表示，体现了基底的灵活性，解题时可根据需求转化基底；④推论2的延伸：若，则C为AB的中点，即（中点公式，高频考点） 常考结论：①由推论2可推导：若A、B、C三点共线，且，则，与推论2一致；②若，且，则的终点在由、起点和终点确定的直线上；③基底转化时，系数矩阵可逆（保证转化唯一） 5.平面向量基本定理的常见应用 知识点：定理的核心应用集中在3个高频场景，配套解题方法和公式，可直接复制套用：①应用1：判定两个向量是否共线（结合推论1，同一基底表示下，系数对应成比例）；②应用2：证明三点共线（套用推论2，验证是否成立）；③应用3：化简向量表达式（选取合适基底，将复杂向量转化为基底的线性组合，再化简系数） 易错辨析：①应用1中，未用同一基底表示两个向量，直接判断系数成比例；②应用2中，证明三点共线时，遗漏“”，仅写出；③应用3中，选取的基底共线，导致无法化简或化简错误；④化简时，误将基底当作共线向量，误用数乘运算律 重点记忆：①应用解题核心：“基底化”，即将所有向量转化为同一组基底的线性表示，再结合定理及推论解题；②选取基底的技巧：优先选取夹角已知、模长已知的向量作为基底（如直角三角形中，选取两条直角边对应的向量）；③三点共线证明的步骤：先表示出三个点对应的位置向量，再验证是否满足推论2的形式；④化简向量表达式的步骤：基底选取→向量分解→系数化简→得出结果 常考结论：①若、，则的充要条件是（系数交叉相乘相等）；②中点向量公式（高频）：若M为AB中点，则；③若A、B、C三点共线，且，则（推论2的具体应用） 二、高频易错+核心公式） 核心易错点总览：1.基底选取：忽略“不共线、非零”两个前提，误选共线向量、零向量或单个向量作为基底；2.定理理解：漏记“分解结果唯一”，混淆向量与系数的属性（系数是实数）；3.推论应用：三点共线证明遗漏“”，不同基底间直接比较系数；4.线性分解：误用运算律、分解不唯一、未验证结果 核心公式汇总：1.定理核心公式：（、不共线，、为唯一实数）；2.基底零向量结论：；3.三点共线公式：（A、B、C共线）；4.中点公式：（M为AB中点）；5.向量共线系数条件：（、， 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：基底的概念及辨析】 【多选题】（25-26高一上·辽宁·期末）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ）经典例题1例题 A．和 B．和 C．和 D．和 （2026高三·全国·专题练习）平面向量基本定理经典例题2例题 如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使 ．若 ，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解． 【多选题】（24-25高一下·福建泉州·期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ）小试牛刀1 A．和 B．和 C．和 D．和 （24-25高一下·北京石景山·期末）已知平面向量，满足，，且与的夹角为．小试牛刀2 (1)求以及； (2)若向量与不能作为平面向量的一组基底，求实数λ的值． 【多选题】（24-25高一下·甘肃白银·期末）设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（   ）小试牛刀3 A．和 B．和 C．和 D．和 【题型2：用基底表示向量】 （25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则下列等式中成立的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·辽宁锦州·期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.经典例题2例题    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. （24-25高一下·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形中， ，．且 为的中点．若 ，，则（    ）小试牛刀2    A． B． C． D． （25-26高三上·河北邢台·月考）在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：平面向量基本定理求参数】 （25-26高一上·北京西城·期末）在中，E，F为BC边的两个三等分点，若，则 ．经典例题1例题 （25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .经典例题2例题    （25-26高三上·湖南·月考）已知点G为的重心，若，则（   ）小试牛刀1 A．0 B．1 C． D．3 （24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·河南·月考）在中，若，则（   ）小试牛刀3 A． B． C．1 D． 【题型4：平面向量基本定理证明共线】 （25-26高一上·北京顺义·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，．经典例题1例题 (1)用基底分别表示向量； (2)若，用平面向量证明三点共线． （25-26高一上·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．经典例题2例题    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． （24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.小试牛刀1    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. （24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在中，分别是边的中点，，.小试牛刀2    (1)用表示； (2)求证：三点共线. （24-25高一上·北京·月考）三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点．小试牛刀3 (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 【题型5：平面向量共线定理推论】 （24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．3 D．4 （25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D．的最小值为 （25-26高三上·四川成都·月考）如图，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，连接，若，则 .小试牛刀1    （2025高三·全国·专题练习）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设，则的值为（    ）小试牛刀2 A．2 B．3 C．4 D．5 （23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，．设，，，．小试牛刀3    (1)化简：； (2)求证：为定值； 【题型6：平面向量共线求参数】 （25-26高一上·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知向量不共线，，，其中．经典例题2例题 (1)若三点共线，求的值； (2)当时，若，用基底表示． （2026高三·全国·专题练习）已知不共线，，设，如果，是否存在实数t使三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．小试牛刀1 （23-24高二上·辽宁·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ）小试牛刀2 A．1 B．0 C．3 D．2 （25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·江苏南京·月考）在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽·月考）在中，点为重心，点在线段上，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 6．（25-26高二上·河北石家庄·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·四川巴中·月考）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，为边的中点，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·新疆·月考）在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（   ） A． B．点为的重心 C． D． 11．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 三、填空题 12．（24-25高一下·河南·期末）设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于 ． 13．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ． 14．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知非零向量､不共线，若，，，且三点共线，则 . 15．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知平行四边形，，点满足，记．用表示 ；若，则 ． 16．（25-26高三上·河北·月考）如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则 . 四、解答题 17．（24-25高一下·山东淄博·月考）图，在平行四边形中，. (1)用向量，表示向量，. (2)若向量，证明：三点共线. (3)若，，，求. 18．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点． (1)记向量，，试以向量，为基底表示，； (2)若，求m，n的值； (3)求证：A，G，H三点共线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $