圆的面积 教案-2025-2026学年六年级上册数学人教版

《圆的面积》教学设计 教学内容： 人教版数学六年级上册65页、例1。 教学目标： 1、 在学生理解了圆面积的含义后，有对圆面积公式探究的动机。 2、在学生进一步体会转化与等积变形的数学思想中，形成圆面积公式推导的知识过程，并让学生初步感受极限思想，发展学生的空间观念。 3、在学生猜想、动手操作中，培养学生小组合作意识和探究精神；在应用中让学生体会数学的应用价值，体验数学与生活的密切联系。 教学重点： 学生推导圆面积公式的思维过程，运用圆面积公式解决生活问题。 教学难点： 推导圆面积公式的思维过程。 教学准备： 圆形纸片、剪刀、学习单、电脑课件、智慧中小学课程资源。 学生学情分析： 学生已经会用数方格的方法来得出各种平面图形的面积，对圆的知识有了一些初步的了解。大部分同学会通过裁剪、平移、旋转的方法把图形转化成已经学过的图形，他们有了通过类比推理得出面积公式的数学思想。在对圆和圆的周长有了初步的认识后，学生利用已有的知识和经验，容易受到转化思想的启发对圆进行切割、平移、拼接等各种操作，以达到转化成已有图形的目的，来推导得出圆的面积公式。但前面几种图形的转化都是线段图形之间的转化，学生还没有转化曲线图形的经历，因此它们不能把曲线图形和线段图形之间建立必然的联系。通过课前调查，很多同学已经初步了解了圆的面积公式，但对其形成过程一知半解。因此，这就需要在教师的启发引导下，如何把圆转化成为已知而且便于计算的图形，并体会用不同的操作与思维方法来构建这一知识的形成过程。 教材分析： 这一节课对圆面积公式的探究是延续前面平面直观几何的知识，同时是小学平面几何的最后阶段，也为后面将要学到的圆柱和圆锥作了准备。教材首先通过一个实际情境提出圆面积的概念，让学生体会到圆的面积公式在生产生活中的实际作用以及学习它的必要性，感受数学知识与生活的紧密联系。本节课的教学，把等积变形、转化、极限、推理等数学思想方法渗透到了知识形成过程中。把圆转化为已经学过的图形，自然地渗透了转化思想。将圆平均分成若干个扇形，拼接成平行四边形这一形变过程中面积不变，渗透了等积变形的思想。猜想如果分的份数足够多，就基本上是一个长方形了，这个过程让学生体会到了数学知识海洋里“无限逼近”的极限思想。通过把近似的长方形与圆的对应关系进行比较的过程中进行等量代换，在推导出圆面积计算公式的知识形成过程中，培养学生的推理能力。借助信息技术手段，更加直观地展示出曲线图形转化为线段图形的过程，体会信息技术帮助我们解决问题的便捷性。在学生推导出圆的面积计算公式以后，用此公式来解决本节课开头的实际问题。 教学媒体与资源的选择与应用： 充分利用“智慧中小学”课程资源，利用信息化手段，与本节课电脑课件进行教学资源的整合。在回顾复习阶段，运用电脑课件展示出平行四边形转化为长方形，三角形和梯形转化为平行四边形，充分体现出了信息技术手段在课堂教学中的直观性。在新知探究阶段，把圆沿半径平均分成偶数份，拼接成长方形，这个内容截取“智慧中小学”课程中的现有资源，通过电脑动画的演示，把一个圆平均分成128份、640份后拼接成一个长方形，可以有效解决实际操作中不可能完成的任务，借助信息技术手段更有利于培养学生的抽象思维能力。本节课还引用了“智慧中小学”课程资源中的一段学生动手实践活动影像，把一个洋葱沿着截面切开后得到一个圆，再分别沿半径和直径两种方法切开，分别拼接成一个三角形和平行四边形，更加直观形象地推导出圆的面积公式。让学生体验到了数学与生活的紧密联系。 教学实施过程： 1、 复习导入。 学生代表回顾有关圆的知识，同学互评。 二、创设情景，生成问题 1、电脑课件出示课本65页主题情景图： 问：图中要解决什么问题？ 生：要求草坪的占地面积。草坪是一个圆形，也就是求圆的面积。 师：运用前面的知识能解决这个问题吗？ 生：不能，我们还没学圆的面积公式。 2、揭示本节课教学内容：我们一起来探讨如何计算圆的面积。 （设计意图：激发学生对圆面积公式探究的动机，在具体情境中提出本节课的数学问题，让学生感受到数学知识来源于生活。） 三、大胆猜测 1、 我们已经知道了圆的周长与它的半径和直径的关系，那么你认为哪些条件会影响一个圆面积的大小？ 生：与圆的半径有关系，因为我在用圆规画圆时，要想让圆画得大些，那么两脚间的距离就要张开得越大。 生：圆的直径决定圆的大小。 生：与圆的周长有关系，我如果用两根不同长度的铁丝来弯成两个圆，较长铁丝弯成的圆要大些，那么它的面积肯定大些。 师：同学们说得都有道理，我们先来画出两个半径不同的圆，看看谁的面积大些？ 电脑课件演示：画出半径5厘米和8厘米的两个圆，问：哪个圆的面积大？ 生：非常容易地看出来，半径为8厘米的圆面积要大些。 2、 电脑课件演示：在由边长为1cm小正形组成的方格中画出一个半径为5厘米的圆。 师：谁能想办法得出这个圆的面积是多少？ 生：数出这个圆大约占了多少个小方格，就是多少平方厘米。 问：用这种方法你可以非常准确地得到圆的面积吗？ 生：不能，只能推算出这个圆面积的大致范围。 3、 你想不想用更好的办法更快的推算出一个圆的面积呢？ 生：最好的办法是用面积公式来直接求。 （设计意图：学生初步猜想出圆的大小可能与半径、直径、周长有关系，通过电脑课件快速画出两个圆，直观感受到圆的面积大小与半径有着直接的联系。并用数格子的办法得出半径为5厘米圆的面积的大致范围。但数格子的方法费时费力，而且不能得到准确的结果。激发学生对探究圆面积公式的兴趣。） 四、回顾复习，初探方法 1、问：我们学过哪些平面图形？想一想，如何得出面积公式的？ 电脑动画分别演示：平行四边形转化为长方形、两个三角形转化成平行四边形，两个梯形转化成平行四边形的过程。 师：图形在转化中运用到了哪些方法？ 生：切割、平移、旋转的方法。 师：转化是数学学习的一种很好且很有用的思想和方法。转化的目的是为了将图形转化成已学过的图形。 2、启发：拿出课前准备好的圆形纸片，尝试一下把圆转化成已学过的图形。 （设计意图：回顾以前学过的平面图形面积公式的推导，并用电脑动画演示了这一过程，激发学生对圆面积公式的探究欲望，指明了用转化的方法来对圆的面积公式进行探究。） 5、 尝试转化，推导公式。 师：我们在对圆进行剪拼时，你觉得把圆怎样剪开最为合适？ 生：沿着半径剪比较合适，因为把圆沿半径剪开就可以得到很多近似的三角形。我们就可以把这些三角形来拼接成已学过的平面图形。 师：那么这样圆最容易转化成我们学过的哪些平面图形？ 生：可能是三角形、平行四边形、长方形、正方形。 （一）、探究转化的方法。 1、学生拿出准备好的圆形纸片，提出实验要求：今天我们一起来动手活动，请同学们读读要求。 （1）、把圆对折若干次，用笔沿着折痕画出圆的半径。 （2）、沿着半径，用剪刀把圆成多个近似的三角形。 （3）、观察这些三角形特征，尝试拼接成学过的图形。 2、学生先自己动手操作，然后小组内讨论、比较、纠正拼成的图形，教师在各个小组巡回指导。 3、在各小组间选典型代表汇报，将拼成的近似平行四边形展示在黑板上。 （二）、展示不同的等份数拼成的不平行四边形，感受极限的数学思想。 1、老师引导学生在不同平行四边形中发现规律。 教师整理小组代表在黑板上贴的平行四边形：按把圆沿半径分成4等份、6等份、8等份、10等份……的顺序从左到右贴。 师：你在些近似的平行四边形中发现了什么？ 生：我发现图形的上下两条边开始是弯曲的，不像平行四边形，而右边图形上下两边变直些了，越来越像一个平行四边形了。 师：如果把圆平均分的份数增加很多，你觉得拼成的图形会怎样呢？ 生：上下两条边就完全变直，可能会越来越接近于一个长方形。 电脑动画演示：将圆16等份、32等份……直到640等份，图形几乎拼接成了长方形，引导学生发现规律：当分成的份数足够多时，拼成的图形就是长方形。 （设计意图：通过把圆沿半径剪开分成不同的份数，发现平均分成的份数越多，拼接成的图形越接近于平行四边形，通过电脑课件的演示，克服了当平均分成的份数越来越多时手工剪拼的费时费力，更加直观形象地展示了化圆为方、化曲为直的剪拼过程。让学生更容易想像到当圆平均分成的份数足够多时，圆就转化成为了一个长方形，感悟到数学极限思想。） 2、小组讨论，师生共同探究中形成圆面积公式的知识过程。 （1）电脑课件展示出把圆分成640份，并拼接成长方形。 讨论：观察圆和长方形，你有什么发现？ 通过转化可以求出圆的面积吗？ 填写学习单： 我发现： 圆的半径是 r，长方形的长近似于（ ），宽近似于（ ）。 因为长方形的面积=（ ）×（ ）， 所以圆的面积=（ ）× （ ）。 如果用 S 表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是：_________ （2） 小组代表汇报。 （3）教师演示电脑课件，对学生的回答进行总结。并板书如下： 长方形面积 = 长 × 宽 圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径 S = πr × r S = πr² （4） 小结：圆的面积与半径的关系是 S =πr² 师：我们在推导圆的面积公式过程中，把圆平均分成了8等份、32等份、128等份、640等份等等，如果继续分割下去，就会把圆这个曲线图形转化成为长方形的直线图形，我们把数学中的这种思想方法称为化曲为直。想一想，我们还可以运用化曲为直的思想把圆转化成为其它的平面图形吗？ （设计意图：通过把圆转化成长方形，它们的面积不变，渗透了等积变形的数学思想。并在比较圆和长方形各部分间关系的过程中推导出了圆的面积公式。） （三）、引用“智慧中小学”课程资源。让学生进一步感受“化曲为直”，“化圆为方”的思想，体验不同的方法推导出圆的面积公式。 电脑播放“智慧中小学”课程资源里学生动手实践活动影像。 方法：选择两个圆形洋葱沿着直径两边切开，就可以看到它是由一层一层的圆围成。 1、沿着一条半径剪开后，从洋葱的最外层开始，由外到内一环一环的展开，发现圆形洋葱转化成了一个近似的三角形。最外层的圆就成了三角形的底边，洋葱最中心的点就成了三角形的顶点。三角形的高与圆的半径相等，根据三角形面积公式推导出圆的面积。 2、沿着一条直径剪开，把圆分成了两个半圆，把其中一个半圆从最外层往里依次展开，半圆的弧就成了三角形底边，中心就成了三角形的顶点，这两个半圆这样分别展开后，得到两个近似的三角形，经过平移动就拼成了一个近似的平行四边形。根据平行四边形的面积公式推导出圆的面积。 3、归纳：这位同学真会想办法，善于观察，利用生活中的经验来解决了我们学习上问题，他通过洋葱的切割、拼摆出不同的图形来推导出了圆的面积公式。这样用不同的方法去解决同一问题，可以让我们的思维更灵活。 （设计意图：充分利用“智慧中小学”课程资源，播放一段学生动手实践活动，把一个洋葱切开成一个圆，可以发现是由很多个大小不同的圆围成。沿着半径和直径分别剪开，由外到内把圆拉直后拼接成一个三角形和一个平行四边形，推导出了圆的面积公式，进一步理解了等积变形的数学思想。同时让学生体会到了可以用不同的方法推导出圆的面积公式，培养了学生的思维的灵活性以及数学算法多样化的乐趣。激发了学生在生活中善于发现数学问题。） （四）、再次出示前面草坪主题图。 师：根据圆面积公式，我们要知道哪些条件才能求出这个圆形草坪的面积？ 生：半径 师：如果没有直接告诉你圆形草坪的半径呢？ 生：我们可以想办法先把半径求出来。 六、教学例1 圆形草坪的直径是20m，每平方米草皮8元。铺满这个草坪需要多少元？ 1、学生读题，理解题意。 2、尝试分步解答。 3、学生板演，同学互评，纠正，进行做题格式的完善。 七、课堂小结。 1、这节课你对圆又作了哪些深入的了解？ 2、我们运用了哪些数学方法？ 8、 作业设计。 分层练习，拓展思维，学生自主完成学习单。 第一层：基本练习 1、求下面各个圆的面积。（独立完成） （1）半径为4分米； （2）直径为12米。 （3）周长为25.12厘米。 第二层：综合练习。（讨论完成） 2、 小华在学习了圆后，他为自己制作了一个半径为10厘米的飞镖盘，为了美观，他在圆盘的外边贴了一圈装饰条。你能帮他算出这个飞镖盘的面积吗？需要多长的装饰条呢？ 第三层：拓展练习。（选做。） 3、在学了圆的面积后，小刚同学用两根3.14米长的铁丝，分别围成一个圆和一个正方形，请你帮他算一算谁的面积大？ 评价和反思： 为了实施有效的教学活动，在课堂教学中对学生进行数学核心素养的培养，这节课的教学中，我注重了以下几点： 1、 大胆猜测，激发探究。 根据已有的学习经验对新知进行猜测，是数学学习中的一种方法，电脑课件画出两个半径大小有同的圆，非常直观的验证了学生对圆面积的大小可能与半径有关系的猜测。然后在方格中画出一个半径为5厘米的圆，再次探索它的面积是多少，激发了学生的好奇心和未知欲，发现用数方格的方法不能得到一个准确值。从而体会推导出圆面积公式的必要性，为进一步开展探究活动作好了“预埋”。 2、动手操作，并借助信息技术手段，直观感受知识的形成。 圆面积公式的推导思维过程，是本节课的重难点，教学中学生动手实践，把圆拼接成近似的长方形。但要想让它更加接近一个长方形，必然费时费力，而且只能停留在猜测的阶段，借助信息技术手段就很好地解决学生动手实践中遇到的困难。运用电脑动画的演示，把一个圆平均分成了640份，拼接成的图形基本上就是一个长方形，学生更容易感悟到数学化曲为直和极限思想，非常直观的展现出了圆与拼接后长方形的对应关系。这样学生始终参与到如何把圆转化成平行四边形或长方形的探究活动过程中，从而感受到了知识的形成过程。 3、融入实践活动，感受数学与生活的紧密联系。 在推导出圆的面积公式后，引入“智慧中小学”课程资源中的一段学生实践活动，通过把一个圆形洋葱展开成一个三角形与平行四边形来推导出圆的面积公式，激发学生参与实践活动的兴趣，启发了学生在生活中发现数学问题和解决数学问题的意识，同时也进一步加强了对圆面积公式及转化思想的理解。 4、分层练习，体验应用价值。 数学来源于生活，并为生活服务。圆面积公式的推导，是为了便于生活中的应用，所以全班同学必须达到练习中的第一层次要求，对于学有余力的学生提出更高的要求，体现了分层教学理念以及数学对生活的应用价值。 当然，对这节课的教学还存在一些思考： 数学教学中要注重培养学生的探究精神和小组合作意识，在进行圆的转化过程中，学生可能还会想到更多的转化方法，那么在教学中不可能把学生的每一种想法都进行探讨，由于课堂学习时间的限制，有些特殊可行的方法只能留在课余时间去完成。 1 学科网（北京）股份有限公司 $