非对称韦达定理的处理技巧讲义-2026届高三数学二轮复习

非对称韦达定理的处理技巧 在圆锥曲线解答题第二问证明某一个量为定值时，同学们比较熟悉的解题策略是：联立 直线与圆锥曲线方程，消元得到ax2+bx+c=0(或y2+by+c=0),再运用韦达定理 进行“整体代换”，能把该量化简为由x1,x2(或y,y2)组成的一切对称式，如：x+2, ,X+巧，k-,上+上等，代换后表达式中不再出现，5（或，片）的其 X1 X2 他形式，则利用韦达定理可求得该量的值。 但有时我们还会遇到一类“非对称”的结构，指的是x,x2系数不相等，如 入x,+x,2≠4)等，在此表达式中我们使用韦达定理后还会剩下独自存在的x或x,即 配对失效。以下是6道典例。 一、抓住两根之和、积的关系，代换化简 例1、A-2,0),A(2,0),直线A,M,A,M相交于点M,且斜率之积为- ，动点M的 4 轨迹为曲线E (1)求曲线E的方程； (2)过点F1,0作直线1交曲线E于P、Q两点，且点P位于x轴上方，记直线AQ, A,P的斜率分别为k,k,证明：么为定值 k. 解：(1)设M,小，kMk,=y= 3 =x+2x-2x-4-4 E:兰+2=1(x+-2且x*2) 则43 x=my+1 (2)设直线1：x=my+1,Q(x,y,P(x2,y2,联立x2,y2 =1 43 6m y+y2= k=出 得3m2+4y2+6my-0=0,则 3m2+4 x+2 -9 yy2=3mn2+4 七2-2 测点=上。当-2-m,-=m少，由市达定理知3引+，=2w k2+2 y2 y2(my+3)myy2+3y2 13 则=」 )出+)出2y+2乃 k2 +为+g 39 2+3 例2、己知椭圆C: 。+y2=1的右焦点为F,过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C交 2 于A、B两点，直线I:x=2与x轴相交于H点，过点A作AD⊥1，垂足为D, 证明：直线BD过定点E,并求出E的坐标 x=my+1 证：设直线AB:x=y+1,Ax,,B(x2,y2),联立 2+2=1 2m y1+y2=- 得m2+2y2+2my-1=0,则 m+2,片+y2=2my,D2,小 -1 m2+2 直线BD的方程：y=-义(x-2)+y,由对称性知若直线BD过定点，则定点必在x轴 x2-2 上，数令y=0,得x=5=2-x-2=2-m山，将X+=2m,代入 y2-y1 y2-片 得x0= 2-为坐 、3,故定点为E y2-y 2 二、一元化思想：将x用七表示（或将七2用x表示） 、已知4、B分别为题手+少户=1的右现点、上顶点，C、D在桶国上，且C0力 AB,记直线AC、BD的斜率分别为k1,k2,求证：kk2为定值 证：A2,0,B0,1,ks=2 设直线CDy=-x+m,Cx,y,D,,) 1 2 1 y=- x+m 联立 2 →x2-2x+2m2-2=0, x1+x2=2m 区+21 xx2=2m2-2 无22之27大 kk3=少.h-1 2+m1 1 二25+m-1 -2 X2 1 m-1x-mx+m(m-1) 2 44-+小+受+mm- XX2-2x2 X1x2-2x2 m-1-m2+5+mm-1）0-】-m 代入韦达定理，kk2=2 -22 +当 2 2m2-2-2x2 2m2-2-2x2 1(m2-1-2m+）_1 庄鹰到+5=2m,则=2m-,则kk,3m-12m+4 y+x2=1 例4、椭圆4 ,短轴的左右两个端点分别为A、B,直线1： y=+1与x轴、y轴分别交于两点E,F,与椭圆交于C、D两点 (1)若CE=FD,求I的方程； (2) 设AD、BC的斜率分别为k,k,且k:k,=2:1,求k的值 y=kx+1 +x=1→k+4+2-3=0 解：(1)设Dx,),Cx,联立4 2k x1+X2= k2+4 -3 则品中4 ,若CE=FD, -2k2 则为-1令片+%1今+=+4 =-1→k2=4→k=±2 则1的方程为y=±2x+1 3x+x小=2k=片，=乃 (2)由(1)可知， x1+1, x2-1, k,=2:1=少5-1-+1-1=2 因为 ,所以k2x+1y2x+12+1, 在出2-c,+x-1_西+(+x-k+-=2 kx2+x1+2+1kxx2+(x1+x2+(k-1x2+1 -3k+-2k-1-(k+1x k2+4k2+4 +2k 2k -3k =2 -2k+1+(k-1x ，注意到 2+4,= k2+4 k2+4k2+4 -3张+2水-1-k++4 k2+4k2+4 则 -3k+-2k+1+k-1x =2 k2+4k2+4 k-3k-4+k2+4k+压_k-4k++k+4k+1五=2 化简得k2-5k+4+k2+4k-1x2(k-4k-1+K2+4k-1x2, k+1=2→k=3 则k-1 +y=1 例5、已知椭圆4 A、B分别是椭圆的左右顶点，过点P1,0)的直线I交椭圆于 M、N两点，MN的中点为R,直线O0交直线x=4于点O,求证：kwkw-km】 为定值 证：设直线：x=my+1,Mx,),N(x2,2), 2m x=my+1 y+y2= m2+4 →m2+4y2+2my-3=0 +y2=1 -3 联立(4 yiy2=- ,则 m2+4 m+4,=mm+1=4 -m 22。七m24.o400y三、0 4, 4 [x=4 联立P-t→04m k5=m飞w三x十2aw 4 ,则 Γ3，又 x2-2 =-w22店分 记 =-Y2 (m2+3y+3m_1,(m2+3yy2+3my2-1 (m2+3yy2+3my2 my2-13my,+3)3m2yy2+3my2-my1-33m2yy2+3m(y+y2)-4my,-3 =1. (m2+3.-3 +3my2 -3m2-9 m2+4 1。m2+4 +3my2 m2.-3 +3m.2m,-4m-33-2m+-4m m2+ m2+4 m2+4 2m 2m y+y2=- 由 m2+4,得 mti-n y2= -3m2-9 k=1.m2+4+3m 2m m2+4乃 -9m2+1-3mw1x3_ 1.m2+4 3 -12m2+1-4my, 3-12m2+0-4my 344 所以 m2+4 m2+4 C. 例6、设F为椭圆C:2+y=1 的右焦点，过点(2,0)的直线与椭圆C交于A、B两点， k 设直线AF、BF的斜率分别为k,k,k,≠0，求证：k2为定值 AB x=my+2 Ax,y) B(x2,y2) 证：设直线 ，联立 [x2 4m +y=l→m2+2w2+4mw+2=0 y1+y2=- m2+2 2 x=my+2 ,则 1y2= 则 m2+2 y1+y2=-2my1y2 k=》k2=，金=上-1-my,+1-m刚山+y x1-1, 2-1,则k2x-12y2my1+1my2+y2, -4业+片-乃5+y yi-y2 k=y少，+上=2 =2 2 -=-1 6m4+为4”+为-，”+为” 2 2 2