第21卷 平面向量的数量积 2026年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学考点双析卷》教师讲解卷

编写说明：河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学考点双析卷》，依据河北省高职单招（面向中职毕业生）数学科目考试说明及历年真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学考点双析卷》的第21卷。 河北省高职单招《数学考点双析卷》 第21卷 平面向量的数量积 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共20小题，每小题4分，共80分） 1．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直关系的向量表示和向量的模的性质即可求解. 【详解】因为，所以. 因为，, 所以， 所以. 故选：C. 2．已知单位向量与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的定义及向量垂直的充要条件即可求解. 【详解】依题意，， 由，得， 所以. 故选：C. 3．若，，与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用内积公式求内积即可. 【详解】因为，，与的夹角为， ； 故选：C. 4．在△ABC中，，，，则（ ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先求出向量与向量的夹角，再根据向量数量积的定义即可求得. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C. 5．已知中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的内积定义即可求解. 【详解】．    故选: D 6．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD的中点，则的值是（    ）． A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则与向量的内积即可求解. 【详解】因为E，F分别是BC，CD的中点， 所以 . 故选：C. 7．已知且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的定义求两向量夹角的余弦值，进而求角的度数. 【详解】， ， ， ， ， ． 故选：C. 8．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直内积为零，结合内积的定义即可求解. 【详解】设向量与的夹角为，其中， 因为，且， 所以，即， 得到 又，所以，得到， 由于，所以， 故选：D. 9．已知,,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的内积即可得解. 【详解】． 故选:. 10．在三角形中，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先判断出三角形为等边三角形，再向量的内积公式求解即可. 【详解】∵， ∴三角形为等边三角形， ∴. 故选：C. 11．在中，，则（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的概念，确定两向量的夹角，再利用内积的定义可求解. 【详解】在中，， 所以. 所以. 故选：C 12．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意代入平面向量的求角公式即可得解. 【详解】，因为， 所以， 故选：. 13．设，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合夹角公式即可得解. 【详解】，与的夹角为， 则， 因为，所以， 故选：. 14．已知，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件结合向量内积公式即可求解. 【详解】解：由于，且， 则， 解得， 又， 则向量的夹角为． 故选：A． 15．已知向量，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意结合平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】向量，， 则， 故选：. 16．已知边长为1的等边，，则（　　） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算，将用，表示，再根据向量内积的运算可得结果. 【详解】如图， . 故选：A 17．已知正方形的边长是2，是的中点，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算和内积的概念，即可求解. 【详解】根据题意画出图形，连接、， 则， ， 已知，，， 故， 故选：C. 18．已知向量、满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量内积的运算法则求得，从而求得，由此得解. 【详解】因为，， 所以， 所以，则， 因为，所以. 故选：B. 19．等边三角形的边长为1则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到的模与夹角，从而利用向量内积的定义即可得解. 【详解】因为是边长为1的等边三角形，所以， 因为中，，又与的夹角是的补角 所以向量与的夹角， 则. 故选：A. 20．已知平面向量，的夹角为，且，，则（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】将等式两边分别平方，结合平面向量的内积公式即可得解. 【详解】因为平面向量，的夹角为，则， 所以， 化简得，解得（舍）或， 故选：. 二、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 21．是一个向量．( ) 【答案】正确 【分析】根据向量的内积定义即可判定. 【详解】向量的内积结果为实数，实数与向量的乘积依然为向量. 故答案为：正确. 22．两个向量的内积仍然是向量．( ) 【答案】错误 【分析】根据向量的内积的定义即可判断. 【详解】两个向量的内积是实数． 故答案为：错误. 23．已知，则．( ) 【答案】正确 【分析】根据向量模的计算可得结果. 【详解】由题可得， . 故答案为：正确 24．已知向量，共线，且，，则．( ) 【答案】错误 【分析】由两向量共线可得两向量的夹角，求出向量的内积即可判断对错. 【详解】已知向量，共线，则两向量可能同向也可能反向，则夹角为或， 所以或， 则， 故答案为：错误. 25．.( ) 【答案】错误 【分析】根据内积的定义分析判断. 【详解】因为，, 当且仅当，即时，成立， 则错误； 故答案为：错误. 26．已知，，，则．( ) 【答案】正确 【分析】根据向量内积的公式即可求解. 【详解】已知， ， 又因为，所以， 故答案为：正确. 27．若则．( ) 【答案】错误 【分析】根据向量内积的定义可求解. 【详解】由题可得， . 故答案为：错误 28．若向量，满足，则或.( ) 【答案】错误 【分析】根据向量数量积的性质求解即可. 【详解】当且或者非零向量与垂直时，均成立， 故答案为：错误. 29．若A，B，C不共线，且．则( ) 【答案】正确 【分析】由模长计算出，即可得到. 【详解】， ， 因为， 所以， 即， 所以. 故答案为：正确. 30．在中，，则是锐角三角形.( ) 【答案】错误 【分析】利用向量内积的定义分析得角是锐角，进而得以判断. 【详解】因为在中，，即， 所以，又，故角是锐角， 但无法确定另两个角是否都是锐角， 故不一定是锐角三角形，即该说法错误. 故答案为：错误. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学考点双析卷》，依据河北省高职单招（面向中职毕业生）数学科目考试说明及历年真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学考点双析卷》的第21卷。 河北省高职单招《数学考点双析卷》 第21卷 平面向量的数量积 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共20小题，每小题4分，共80分） 1．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 2．已知单位向量与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 3．若，，与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D． 4．在△ABC中，，，，则（ ） A．12 B．6 C． D． 5．已知中，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD的中点，则的值是（    ）． A． B． C．1 D． 7．已知且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．已知,,,则（    ） A． B． C． D． 10．在三角形中，，则（    ） A． B． C． D．2 11．在中，，则（    ） A．6 B．4 C． D． 12．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 13．设，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 14．已知，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 15．已知向量，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 16．已知边长为1的等边，，则（　　） A． B．3 C． D．6 17．已知正方形的边长是2，是的中点，则（   ） A． B． C．3 D．5 则， ， 18．已知向量、满足，，，则（    ） A． B． C． D． 19．等边三角形的边长为1则（    ） A． B． C． D． 20．已知平面向量，的夹角为，且，，则（   ） A．1 B．2 C． D．4 二、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 21．是一个向量．( ) 22．两个向量的内积仍然是向量．( ) 23．已知，则．( ) 24．已知向量，共线，且，，则．( ) 25．.( ) 26．已知，，，则．( ) 27．若则．( ) 28．若向量，满足，则或.( ) 29．若A，B，C不共线，且．则( ) 30．在中，，则是锐角三角形.( ) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $