第20卷 平面向量的概念及线性运算 2026年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学考点双析卷》教师讲解卷

编写说明：河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学考点双析卷》，依据河北省高职单招（面向中职毕业生）数学科目考试说明及历年真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学考点双析卷》的第20卷。 河北省高职单招《数学考点双析卷》 第20卷 平面向量的概念及线性运算 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共20小题，每小题4分，共80分） 1．如图所示，M是线段OB的中点，设向量，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 2．在边长为的正三角形中，的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，向量，，，在一条直线上，且，则（    ） A． B． C． D． 4．在平行四边形中，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形ABCD中，下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，是线段的中点，设向量，则可以用表示为（    ）    A． B． C． D． 8．在中，，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 9．若，均为非零向量，且向量，则下列说法正确的是（   ） A．与共线，且方向相反 B．与垂直 C．与共线，且方向相同 D．与互为相反向量 10．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（   ）. A． B． C． D． 11．如下图所示，在平行四边形中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．下列命题中正确的是（ ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 D．若与是共线向量，则点必在同一条直线上 13．在平行四边形中，（   ） A． B． C． D． 14．下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 15．非零向量的充要条件是（    ） A． B．且 C． D．且与同向 16．在四边形中，有，且，则这个四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 17．已知边长为1的等边，，则（　　） A． B．3 C． D．6 18．已知正方形的边长是2，是的中点，则（   ） A． B． C．3 D．5 则， ， 19．如图，平行四边形中，，设，则（ ） A． B． C． D． 20．已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 二、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 21．.( ) 22．在所在平面内，若点满足，则四边形是平行四边形．( ) 23．若为非零向量，则是与反向的单位向量.( ) 24．的化简结果为( ) 25． ( ) 26．若四边形ABCD为菱形，且边长为5，则．( ) 27．向量的模等于向量的模的倍. ( ) 28．若，则( ) 29．单位向量均相等．( ) 30．若向量，满足，则( ) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学考点双析卷》，依据河北省高职单招（面向中职毕业生）数学科目考试说明及历年真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学考点双析卷》的第20卷。 河北省高职单招《数学考点双析卷》 第20卷 平面向量的概念及线性运算 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共20小题，每小题4分，共80分） 1．如图所示，M是线段OB的中点，设向量，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】有向量的加法运算即可求解. 【详解】因为M是线段OB的中点,所以; ． 故选: B 2．在边长为的正三角形中，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法法则结合菱形的结构特征即可求解. 【详解】以为邻边作菱形，则.    由图形可知，的长度等于等边的边上的高的倍. 即，因此，. 故选：D. 3．如图所示，向量，，，在一条直线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算在几何中的应用即可求解. 【详解】因为向量，，，在一条直线上，且， 所以， 所以，即， 即. 故选：D. 4．在平行四边形中，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的平行四边形法则即可得解. 【详解】 根据平行四边形法则可得， 故选：. 5．已知平面向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的减法法则可求解. 【详解】. 故选：D 6．如图，在平行四边形ABCD中，下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平行四边形的几何性质，可得答案. 【详解】由向量减法的三角形法则可得：，即A正确； 根据相等向量的概念可得：，则，即B错误； 由向量加法的三角形法则可得：，即C正确； 根据平面向量加法的平行四边形法则可得：，所以D正确； 故选：B 7．如图所示，是线段的中点，设向量，则可以用表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的数乘和减法法则计算即可. 【详解】因为向量，所以. 因为是线段的中点，所以. . 故选：C. 8．在中，，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算的三角形法则，确定是三角形第三边即可求解. 【详解】在中，因，则， 又，于是有，即的三边长相等， 所以是等边三角形. 故选：B. 9．若，均为非零向量，且向量，则下列说法正确的是（   ） A．与共线，且方向相反 B．与垂直 C．与共线，且方向相同 D．与互为相反向量 【答案】A 【分析】根据共线向量的概念分析即可. 【详解】已知，均为非零向量，且向量， 可知与共线，且方向相反，故A正确， C错误， 与共线不垂直，故B错误， 与方向相反，但长度不相同，所以不是相反向量，故D错误， 故选：A. 10．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法法则和减法法则判断即可. 【详解】A：在平行四边形ABCD中，因为， 又因为，所以，故A正确， B：由加法的四边形法则可得，故B正确， C：由减法的三角形法则可得，所以，故C错误. D：在平行四边形ABCD中，，所以，故D正确. 故选：C.    11．如下图所示，在平行四边形中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算，相等向量的概念，即可判断求解． 【详解】由题意，可得，故选项A错误； 因为，故选项B错误； 因为，所以，故选项C错误； 因为，所以选项D正确． 故选：D． 12．下列命题中正确的是（ ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 D．若与是共线向量，则点必在同一条直线上 【答案】A 【分析】根据相等向量，共线向量的定义判断各选项. 【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误； 两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误； 与是共线向量，也可能是AB平行于CD，点A，B，C，D不在同一条直线上，故D错误. 故选：A. 13．在平行四边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量加法的运算法则结合相等向量的定义，即可求解. 【详解】因为，在平行四边形中有， 所以. 故选：C. 14．下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据向量平行，向量相等及零向量的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，向量的方向不一定相同，模不一定相等， 故不一定成立，故A不正确； 对于B，向量的模相等时，方向不一定相同，不一定成立，故B不正确； 对于C，向量的相等具有传递性，故若，，则，故C正确； 对于D，若为零向量，则，，但不一定成立，故D不正确； 故选：C. 15．非零向量的充要条件是（    ） A． B．且 C． D．且与同向 【答案】D 【分析】利用向量相等的定义，结合充要条件的相关知识即可得解. 【详解】因为代表、两个向量模相等， 代表、两个向量共线，方向相同或相反， 而模相等且方向相同的两个向量称为相等向量， 所以非零向量的充要条件是且与同向. 故选：D. 16．在四边形中，有，且，则这个四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】根据向量相等和向量模之间的关系即可判断. 【详解】由题，四边形中，， 则，又知， 则四边形为等腰梯形. 故选：A 17．已知边长为1的等边，，则（　　） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算，将用，表示，再根据向量内积的运算可得结果. 【详解】如图， . 故选：A 18．已知正方形的边长是2，是的中点，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算和内积的概念，即可求解. 【详解】根据题意画出图形，连接、， 则， ， 已知，，， 故， 故选：C. 19．如图，平行四边形中，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件,将所求据图变形,即可得出结果. 【详解】 ． 故选:B． 20．已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例排除ABD，利用向量相等与加法的几何意义判断C，从而得解. 【详解】A：当，且时，，，故A不成立； B：当，且时，，故B不成立； C：因为与方向相反，则与方向相同， 所以，故C成立； D：当，且时，，故D不成立. 故选：C. 二、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 21．.( ) 【答案】错误 【分析】根据向量的加法运算即可求解. 【详解】当同向时，， 当反向时，， 当即不同向也不反向时， 结合向量的三角形法则和三角形边长的性质可得. 故答案为：错误. 22．在所在平面内，若点满足，则四边形是平行四边形．( ) 【答案】正确 【分析】根据向量加法加减法运算和向量共线的概念，即可求解. 【详解】在所在平面内，因为点满足， 所以，即且， 故四边形是平行四边形. 故答案为：正确. 23．若为非零向量，则是与反向的单位向量.( ) 【答案】正确 【分析】根据单位向量的定义以及向量数乘与原向量方向关系来判断即可. 【详解】根据向量数乘的性质，当时，与方向相反. 在中，，因为， 所以， 所以与方向相反. 故答案为：正确. 24．的化简结果为( ) 【答案】正确 【分析】根据向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故答案为：正确 25． ( ) 【答案】正确 【分析】根据向量的运算法则即可判断对错. 【详解】，. 故答案为：正确. 26．若四边形ABCD为菱形，且边长为5，则．( ) 【答案】正确 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】如图，四边形ABCD为菱形，且边长为5，    则. 故答案为：正确. 27．向量的模等于向量的模的倍. ( ) 【答案】错误 【分析】根据向量的数乘运算的概念即可判断． 【详解】因为，所以当时，， 故答案为：错误. 28．若，则( ) 【答案】正确 【分析】根据向量概念以及向量平行求解即可. 【详解】若，则两向量方向相反，因此. 故答案为：正确. 29．单位向量均相等．( ) 【答案】错误 【分析】根据相等向量概念易得答案. 【详解】单位向量的模相等，但是方向不一定相同， 故单位向量不一定相等． 故答案为：错误. 30．若向量，满足，则( ) 【答案】错误 【分析】根据向量概念易得答案. 【详解】若向量，满足，但是，的方向可以是任意的，所以不一定成立， 故答案为：错误. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $