专题12 线性规划（讲义）-2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第12个专题，内容为线性规划。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题12 线性规划 一、课标解读 (1) 理解决策变量、目标函数、约束条件、可行域及最优解等基本概念。 (2) 能根据实际情境建立线性规划数学模型（确定变量、目标函数与约束条件）。 (3) 掌握用图解法求解二元线性规划问题，包括可行域绘制与最优解确定。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 22 线性规划 10 （1）题型：一个解答题. （2）分值：10分. （3）内容：线性规划 2024 解答题 22 线性规划 10 2023 解答题 22 线性规划 10 2022 解答题 22 线性规划 10 三、考点预测 根据2022-2025年的真题考情，预估2026年湖南省对口招生考试会有1道题目考查线性规划。分值共10分.具体考点可能涉及如下内容： · 线性规划 四、知识梳理 （1） 二元一次不等式表示的平面区域 1.线性规划问题的有关概念 概念 解释 约束条件 问题中变量需满足的所有不等式或等式条件。 线性约束条件 约束条件均为关于变量的一次不等式或等式。 目标函数 根据问题需求构造的关于变量的函数，用以求最大值或最小值。 线性目标函数 目标函数为关于变量的一次函数。 可行解 满足所有约束条件的解。 可行域 所有可行解在坐标平面内构成的区域。 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解。 线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题。 2.二元一次不等式（组）表示的平面区域 （1）平面区域的基本性质：二元一次不等式（或<0）表示直线某一侧的所有点组成的区域. 边界线画法：不等式含等号（如或）时，画实线表示包含边界；不含等号时，画虚线表示不包含边界。 区域符号特性：在同一侧区域内，符号一致；不同区域符号相反。 （2）二元一次不等式组的平面区域：表示的平面区域是各不等式对应区域的公共部分（即所有不等式解集的交集）。 （3）判定平面区域的方法 方法 步骤 斜截式定侧法 将不等式化为（或），取直线上方（“>”）或下方（“<”）区域。 选点定侧法 取直线外一点（如原点），若坐标满足不等式，则其所在侧为解集区域；否则为另一侧。 一般式简易定侧法 对于（或<0）： 时，“>”取直线上方，“<”取下方； 时相反； 时，“>”取直线右侧，“<”取左侧。 3.建立线性规划模型的一般方法 （1）确定决策变量，并用字母表示。 （2）分析约束条件，列出线性不等式（组）。 （3）构造线性目标函数，明确求最大值或最小值。 （4）求可行域，结合图形确定最优解（通常为可行域的顶点）。 说明：可行域是封闭或有界的凸多边形区域；最优解存在时，必在可行域的顶点处取得。 （2） 线性规划问题 解决线性规划问题的两种方法 （1） 图解法 步骤 具体操作说明 要点归纳 1.列出约束条件与目标函数 明确问题中的决策变量（如），将所有约束条件（线性不等式组）和目标函数（如）以数学形式列出。 确保约束条件完整，目标函数需为线性表达式。 2.画出可行域 在平面直角坐标系中，画出每个约束条件对应的直线，并根据不等式方向（如或）确定对应半平面，所有半平面的交集即为可行域。 可行域为封闭或开放的凸多边形区域；需标注边界直线方程及交点。 3.作目标函数的0等值线 画出目标函数的0等值线，即令的直线，用于后续平移操作。 0等值线为后续平移确定方向和基准。 4.平移0等值线，确定最优解位置 将0等值线沿增大（或减小）方向平行移动，观察其与可行域的最后（或最先）接触点，该点通常为可行域的顶点，即最优解。 最优解必在顶点处（顶点定理）；若目标函数等值线与可行域某边平行，则可能有无穷多解。 5.求最值 确定最优解对应的顶点坐标，代入目标函数中计算最大值或最小值。 若为无穷多解，则所有对应的点均满足最优。 （2） 列表法 步骤 说明 1.整理约束条件：将所有约束转化为等式或不等式，明确变量范围。 2.整理约束条件：根据约束方程求解所有可能的交点（包括变量取边界值的情况）。 3.筛选可行解：剔除不满足所有约束的解，保留可行解集合。 4.计算目标函数值：代入每个可行解，比较结果。 5.确定最优解：选择使目标函数最大（小）的解。 适用于离散或简单连续问题； 需穷举所有可能解，计算量大； 适用于变量较少的情形（如两个变量）。 五、10分钟小测验 1．不等式组所表示的平面区域的面积为（　　） A．1 B． C． D． 2．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（ ） A．－ B．2 C．5 D．8 3．在已知点、、、中，在不等式所表示的平面区域内的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点S 4．已知实数满足，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D．2 5．二元一次不等式组所表示的平面区域用阴影区域表示是（     ） A．   B．   C．   D．   6．已知实数满足约束条件则目标函数取得最小值时的最优解所在的点为（    ） A． B． C． D． 7．满足约束条件的平面区域的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 8．某公司生产A，B两种产品，其中生产每吨A产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨B产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨．如果A产品的利润为300元/吨，B产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为（    ） A．18000元 B．16000元 C．14000元 D．12000元 9．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工人，瓦工人，则关于工资满足的不等关系是 A． B． C． D． 10．已知x，y满足，则目标函数的取值范围是（　　）. A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【答案解析】 1．D 【分析】画出可行域，根据图中坐标计算即可解得. 【详解】解：作出不等式组对应的区域为如图，令分别代入和， 可得，， 联立解得, 故 故选：D. 2．C 【分析】作出可行域，根据可行域求解最大值即可解得. 【详解】画出可行域如图所示， 由解得，设， 则目标函数，经过点时在y轴上的截距最大， 所以在点处取得最大值 最大值为. 故选：C 3．D 【分析】根据题意，可将点的坐标代入不等式，检验是否满足不等式，即可判断求解. 【详解】由题意，将点代入不等式得，不满足不等式， 故点不在不等式所表示的平面区域内，故选项A不符合题意； 将点代入不等式得，不满足不等式， 故点不在不等式所表示的平面区域内，故选项B不符合题意； 将点代入不等式得，不满足不等式， 故点不在不等式所表示的平面区域内，故选项C不符合题意； 将点代入不等式得，满足不等式， 故点S在不等式所表示的平面区域内，故选项D符合题意； 故选：D. 4．C 【分析】由约束条件作出可行域，令化为斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得到答案. 【详解】由约束条件作出可行域如图，    联立，解得，则， 令，化为， 由图可知，当直线过点时， 直线在轴上的截距最大，最大为， 所以的最大值是1， 故选：C. 5．D 【分析】根据二元一次不等式组的特点分析即可求解. 【详解】由题意可知，表示的平面区域为直线的下方， 表示的平面区域为直线及直线的下方， 其图像为    故选：D. 6．B 【分析】先作出可行域，再平移直线至临界点即可求解最优解. 【详解】由题意作出可行域，如图中阴影部分所示， 转化目标函数为 ， 在轴上上下平移直线，可知当直线经过点时， 直线在轴上的截距最小，此时最小， 所以目标函数取得最小值时的最优解所在的点为． 故选:B．    7．C 【分析】作出可行域求面积即可. 【详解】作出该约束条件的可行域，如图所示： 由得，由得， 由得， 以为底，到的距离为高计算面积，，， 所以面积. 故选：. 8．C 【分析】设出A，B两种产品的生产吨数，列出不等关系，运用线性规划知识进行求解. 【详解】解：设A产品生产吨，B产品生产吨，所获得的利润为， 由题意得，约束条件为， 画出约束条件的可行域，如图所示， 作直线，当此直线平移过点时，取得最大值， 故， 所以该颜料公司一天内可获得的最大利润为元. 故选：C. 9．D 【分析】木工所付工资与瓦工所付工资的和小于现有工资预算. 【详解】由题意，可得，化简得. 故答案为: D. 【点睛】应用题答题的关键是审题，此题为简单题. 10．A 【分析】先由x，y的限制条件，画出满足的可行域，再由目标函数在可行域内取最小值、最大值即可. 【详解】由x，y满足，画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，      将目标函数化为， 由图可知可在可行域内平移， 当经过点时，取最大值， 由，点，的最大值为， 当经过点时，取最小值， 由，点，的最小值为， 所以的取值范围是. 故选：A. 六、经典例题解析 线性规划 【例1】（2020·湖南对口升学高考）某服装工人加工上衣和裤子，加工一件上衣可获利50元，加工一条裤子可获利20元；加工一件上衣需要2小时，加工一条裤子需要1小时．由于布料限制，该工人每天最多加工3件上衣和4条裤子，且每天工作不超过8小时，问：该工人如何安排生产才能使每天获得的利润最大？利润最大值是多少？ 【答案】每天3件上衣2条裤子，最大利润190元 【知识点】线性规划问题的应用、图解法、二元一次不等式表示的平面区域 【分析】根据所给题意，列出约束条件，求解目标函数，求解即可. 【详解】设每天生产x件上衣，y件裤子，可能获得的盈利额为z元， 则约束条件为，组成的点如图， 目标函数为， 由，解得， 所以生产3件上衣和2件裤子，可获得的盈利最大,最大为元. 综上，每天3件上衣2条裤子，最大利润190元. 【例2】（2021·湖南对口升学高考）某学校租用A，B两种型号的客车安排900名学生外出研学.A，B两种车辆的载客量与租金如下表所示∶ 车辆型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） A 60 3600 B 36 2400 学校要求租车总数不超过23辆，且A型车不多于B型车7辆.该学校如何规划租车，才能使租金最少？并求出租金的最小值. 【答案】A型车和B型车分别为和辆时，租金最少，租金的最小值是元. 【分析】首先设A型车和B型车分别为辆，根据条件列出目标函数和约束条件，数形结合即可解决. 【详解】设A型车和B型车分别为辆，则租金为， 依题意，需满足，即，如图，作出可行域，    令，目标函数变形为，即， 当直线平移至点时，目标函数取得最小值， 由解得，，即. 此时元. 所以A型车和B型车分别为辆和辆时，租金最少，租金的最小值是元. 【例3】（2022·湖南对口升学高考）某工厂生产甲、乙两种电子产品，每生产一件甲产品需要，配件分别为4件和2件；每生产一件乙产品需要，配件分别为4件和6件.该厂每天可从配件厂最多获得配件20件和配件18件，且生产一件甲产品的利润为4千元，生产一件乙产品的利润为5千元.问如何安排生产，才能使工厂每天利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】生产甲种产品3件，乙种产品2件，获得最大利润为22千元 【分析】根据题意列出不等式，作出可行域，再求最大值. 【详解】设甲、乙两种电子产品分别生产件，件， 则每天利润， 由题意得， 即， 画出可行域，如图所示：    由得， 最大，即直线的纵截距最大， 作出直线：，平移直线至可行域， 当直线经过点时，直线的纵截距最大， 由， 解得， 即， 所以的最大值为（千元）， 则生产家中产品3件，乙种产品2件，获得最大利润为22千元. 【例4】（2023·湖南对口升学高考）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲地至乙地的长途客运业务，每车每天出车一次，A，B两种型号的车辆的载客量分别为30人和50人，营运成本分别为1200元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过28辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车8辆．如果要求每天运送从甲地去乙地的旅客不少于1000人，那么公司应配备A型车、B型车各多少辆，才能使得公司的营运成本最低，最低是多少元？ 【答案】公司应配备A型车20辆，B型车8辆，才能使得公司的营运成本最低，最低是43200元. 【分析】根据题意作出可行域，进而求解. 【详解】设应配备A型车，B型车各x辆，y辆，营运成本为z元， 则有 作出平面区域图    由得， 平移， 当直线过的交点时， 在y轴上截距最小， 联立， 则， 所以公司应配备A型车20辆，B型车8辆，才能使得公司的营运成本最低，最低是43200元. 【例5】（2024·湖南对口升学高考）某公司生产甲、乙两种产品，知生产1件甲产品需要A原料1千克，B原料2千克，生产1件乙产品需要A原料2千克，B原料1千克．每件甲产品利润是150元，每件乙产品利润是200元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A原料不超过8千克，原料不超过10千克，该公司应如何安排甲、乙两种产品每天的生产任务，才能使公司从这两种产品中获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】答案见解析 【分析】设甲、乙两种产品每天的生产件数分别为,,利润为,根据题意列出约束条件和目标函数，作出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解. 【详解】 分析：设甲、乙两种产品每天各生产件、件，获得的利润为．则： ， 其图像为    且目标函数为，作出可行域，如图中阴影部分所示. 由，解得， 由得， 平移直线，当直线经过点时，取最大值， 所以当时，. 所以该公司每天生产甲产品4件，乙产品2件时，能获得最大利润，最大利润为1000元. 【例6】（2025·湖南对口升学高考）某快递公司接到两类快件，且数量足够多，基本数据如下表： 快件类别 体积（立方分米/件） 重量（千克/件） 快递员工资（元/件） A 20 10 7 10 20 9 快递员小李接受派送任务，他的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为220千克. (1)在某次派送中，公司要求类快件只送两件，求小李此次送货可获得的工资收益的最大值； (2)小李应如何安排两类快件送货，才能使一次性送货获得的工资收益最多. 【答案】(1)130 (2)16件A类快件、3件类快件时，工资收益最多 【难度】0.15 【知识点】二元一次不等式组表示的平面区域、图解法、线性规划问题的应用 【分析】（1）根据题意，列出线性约束条件，及目标函数，结合一次函数的单调性，即可求解； （2）根据题意，列出线性约束条件，及目标函数，作出可行域，即可求得最优解，继而求解. 【详解】（1）设送A类快件件，工资收益为元， 已知类快件送件，根据载货车最大容积立方分米、最大载重量千克， 可得约束条件，即，所以， 所以且， 目标函数，因为，随增大而增大， 所以当时，元， 即此次送货工资收益最大值为元. （2）设送A类快件件，类快件件，工资收益， 约束条件为，化简得， 画出可行域（由、及坐标轴围成的区域），如下图所示：    联立，即解得，即, 又目标函数，即， 所以当直线在轴上的截距最大时，收益取得最大值， 令，则，即，将直线像可行域平移，当经过点P时，截距最大， 即当，时，收益取得最大值，即， 即送16件A类快件、3件类快件时，工资收益最多. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】解题策略与技巧 第一步：审题建模。先读题，找出两个未知量（通常设为x、y）；再找出所有限制条件（比如“不超过”“至少”“不少于”），转化为二元一次不等式（组）；最后明确题目要求的最值（最大/最小），写出目标函数（形如z=ax+by，a、b为已知数）。 第二步：画可行域。1. 在平面直角坐标系中，画出每个约束条件对应的直线（不等号是“≤”“≥”画实线，“<”“>”画虚线）；2. 找特殊点（优先选原点(0,0)），代入约束不等式，判断不等式成立的区域，用阴影标出所有区域的公共部分，就是可行域（满足所有条件的x、y取值范围）。 第三步：找最优解。中职数学中，最优解（使目标函数取最值的x、y）几乎都在可行域的顶点上。1. 找出可行域所有顶点的坐标（可通过解两条直线的方程组得到）；2. 把每个顶点坐标代入目标函数z=ax+by，计算出对应的z值；3. 对比所有z值，最大的就是最大值，最小的就是最小值，对应的顶点坐标就是最优解。 第四步：验结果。把找到的最优解代入所有约束不等式，检查是否都成立；再核对目标函数的计算过程，确保没有计算错误，避免因粗心丢分。 【专题内容总结2】易错点 1.约束条件转化时，别搞反不等号（比如“不少于”是“≥”，“不超过”是“≤”）； 2.画直线时，虚实线别画错，否则可行域会找错； 3.顶点坐标求解时，解方程组要细心，避免计算失误； 4.若题目要求x、y为非负整数（比如人数、件数），需在可行域内找符合条件的整数点，再计算z值。 【专题内容总结3】备考策略 1.基础优先，吃透核心步骤：备考先不贪难，重点练“审题建模→画可行域→找顶点→算最值”四步，每天练2-3道基础题（无复杂约束、无整数要求），确保每一步都不出错，比如能快速转化约束条件、准确画出可行域。 2.聚焦高频考点，针对性刷题：中职线性规划考点固定，重点练3类题——求目标函数最大值/最小值、已知最值求参数、简单整数解问题（如人数、件数），避开偏题、难题，刷题不在多，在于每道题都能对应到解题步骤。 3.重视错题复盘，避免重复踩坑：整理错题本，标注每道错题的错误原因（比如不等号搞反、顶点坐标算错、虚实线画错），每天花10分钟复盘错题，重复练习同类错题，直到不再出错，这是提分最关键的一步。 4.熟练掌握工具，节省应试时间：练熟平面直角坐标系画图技巧，记住“原点代入判断区域”的快捷方法；解直线方程组时，多验算一遍，避免计算失误；考试时先做线性规划基础题，再做难题，合理分配时间。 5.总结技巧，灵活应对变式题：记住“最优解大概率在可行域顶点”的规律，若可行域是多边形，直接找所有顶点代入计算；遇到含参数的题目，先固定参数练基础，再慢慢理解参数对可行域、最值的影响，不慌不乱。 6.贴合考情，不盲目拔高：中职考试以基础和中档题为主，备考重点放在基础步骤和高频题型上，不用钻研复杂的多元约束、非线性结合题型，确保基础题不丢分，中档题能拿分，就能应对考试。 · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $